2023-2024学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第届亚运会于年月日至月日在杭州举行，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在下列条件中，不能作为判断≌的条件是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第位的科学家圆周率，按照四舍五入法对精确到千分位是( )
A. B. C. D.
4.若点与点关于原点成中心对称，则的值是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，用圆规以直角顶点为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于、，若再以为圆心，以为半径画弧，与弧交于点，并作射线，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列有关一次函数的说法中，错误的是( )
A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 的值随着的增大而减小
C. 当时， D. 函数图象与轴交点坐标为
8.如图，点、、、在网格中小正方形的格点处，与相交于点，若小正方形的边长为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.的平方根是______．
10.如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是______．
11.等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______．
12.已知直角三角形两直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为______．
13.如图，是等边三角形，若，，，则 ______
14.年月日，盐城马拉松在盐南体育中心开跑，葛老师和包老师参加了其中的迷你健身跑项目，图中、分别表示葛老师和包老师前往终点所跑的路程随时间变化的函数图象，以下说法：这是全长为的比赛；葛老师比包老师迟分钟到达终点；葛老师出发分钟时遇到包老师；葛老师的平均速度为米分钟其中正确的有______填序号
15.观察下面几组勾股数，并寻找规律：
，，；
，，；
，，；
请你写出以上规律的第组勾股数：______．
16.如图，在一次函数的图象上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是______注：直线是指过且垂直于轴的直线
三、解答题：本题共10小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
求的值：．
18.本小题分
已知，如图，，求证：．
19.本小题分
利用网格线画图：
在上找一点，使点到和的距离相等；
在射线上找一点，使．
20.本小题分
已知与成正比例，且时，．
求与的函数关系式；
将所得函数图象向上平移个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
21.本小题分
如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为，求周长的最小值．
22.本小题分
九章算术是我国古代数学名著书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高丈丈尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平当木棒下端沿地面从处向右滑尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到墙脚处、、在同一水平线上，求木棒的长为多少尺．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点、两点给出如下定义：若点到，轴的距离的较大值等于点到，轴的距离的较大值，则称、两点为“等距点”如点和点就是等距点．
下列各点中，是的等距点的有______；填序号
已知点的坐标是，点的坐标是，若点与点是“等距点”，求点的坐标．
24.本小题分
某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少元？
该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为每本元，精装练习本的进价为每本元，设购买普通练习本本，获得的利润为元；
求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
该商店应如何进货，才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
25.本小题分
学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决问题．
从数的角度，当时，；当时，；当时， ______；显然，和均为某个一次函数的一部分．
从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象：
列表：完成表格
______ ______
描点；连线．
对于函数，有以下结论：
该函数图象关于轴对称；
该函数有最大值；
随的增大而增大；
其中正确的有：______填序号；
方程有______个解；
若关于的方程无解，则的取值范围是______；
函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是______．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴负半轴交于点．
如图，若点，点关于轴的对称点为点，求直线的函数表达式；
在的条件下，点是线段上不与点、重合的一个动点．
如图，，，垂足分别为点、，试探究的值是否变化，若不变求出的值；若变化，说明理由；
点是线段上的一点，且满足直接写出当为等腰三角形时点的坐标；
如图，若，动点在线段上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形找不到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故不是轴对称图形；
选项D的图形能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：中可用定理可判定≌；
中可根据定理判定≌；
中，，，不能推出≌，故本选项错误；
中可根据定理判定≌．
故选C．
根据全等三角形的判定定理、、、、直角三角形还有判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的理解，熟练地运用全等三角形的判定定理进行说理是解此题的关键，注意对应相等．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据题意将圆周率精确到小数部分的第三位，再根据小数部分的第四位是，运用四舍五入法即可求出结果．
本题考查了圆和近似数的问题，解题的关键是根据四舍五入法来求近似数．
4.【答案】
【解析】解：由题可知，，；
与关于原点成中心对称；
，；
，；
；
故选：．
如果两个点关于原点成中心对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接计算即可求解．
本题主要考查中心对称坐标的变化规律，正确记忆相关规律是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：用圆规以直角顶点为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于、两点，
，
以为圆心，以为半径画弧，与弧交于点，
，
，
为等边三角形，
，
，
故选：．
根据题意得出为等边三角形，从而得出的度数，再利用角度和差即可求解．
此题考查了等边三角形的判定及等腰直角三角形，解题的关键是掌握等边三角形的性质及其应用．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
根据折叠的性质可知：，
，
，
即的长为，
故选：．
根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出．
本题考查图形的折叠与勾股定理，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．
7.【答案】
【解析】解：一次函数解析式为，，，
函数图象经过第一、二、四象限，的值随着的增大而减小，函数图象与轴交点坐标为，
当时，，
四个选项中，只有选项说法错误，
故选：．
根据一次函数图象的性质以及与轴的交点进行判断即可．
本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
利用，可知∽，可得，再利用勾股定理可以求出的长，最后利用比例求出的长．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长和利用相似三角形的性质得出线段的比．
9.【答案】
【解析】解：，
的平方根是，
故答案为：．
运用平方根和平方运算间的互逆关系进行求解．
此题考查了运用平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
10.【答案】
【解析】解：直线与相交于点，
关于的方程的解是．
故答案为：．
根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握直线与的交点横坐标就是关于的方程的解．
11.【答案】
【解析】解：当是腰长时，三角形的三边长分别为，，，
，
不能构成三角形；
当是腰长时，三角形的三边长分别为，，，
，
能构成三角形，
周长为：，
综上所述，三角形的周长为：，
故答案为：．
分两种情况：当是腰长时，当是腰长时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再根据三角形的周长公式进行计算即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在中，
，，
是边上的中线
．
首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边，再根据直角三角形的性质进行计算．
考查了勾股定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
．
故答案为：．
根据是证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等．
14.【答案】
【解析】解：由图象可知，比赛的全长为，葛老师比包老师早到达终点，
正确，不正确；
葛老师的平均速度为千米分钟，
千米分钟米分钟，
不正确；
分钟，
葛老师跑千米用时分钟，此时与包老师相遇，
正确；
综上，正确，不正确，
故答案为：．
直接根据图象判断即可；
根据速度路程时间计算即可；
根据葛老师的平均速度，计算出他跑千米时所用的时间即可．
本题考查一次函数的应用，从函数图象获得有用的数学信息是本题的关键．
15.【答案】，，
【解析】解：，，；
，，；
，，；
，，；
故答案为：，，．
先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：点在一次函数的图象上，
设点的坐标为，
点和点关于直线对称，
点和点的纵坐标相同，
可设点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，，，
点在的边上，
，
由，得：，
由，得：，
．
设点，根据点和点关于直线对称得点，再根据点在的边上得，由得，由得，由此可得的取值范围．
此题主要考查了一次函数图象上的点，不等式的应用，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键
17.【答案】解：
；
，
，
或，
或．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方根的意义，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
【解析】由，，根据“”证明≌，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边并且适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
19.【答案】解：如图，点即为所求．
如图，点即为所求．

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．
20.【答案】解：设，
把，代入得：，即，
则与函数关系式为，即；
将直线向上平移个单位后得到的直线是：；
当时，．
当时，，
平移后的图象与轴交点的坐标是，与轴的交点坐标是，
则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：．
【解析】由与成正比例，设出关系式，把与的值代入的值，即可确定出解析式；
该函数的图象向上平个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
21.【答案】解：连接、，
，点为的中点，，
，，
，且，
，
解得，
直线垂直平分，
点与点关于直线对称，
点在线段上，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
周长的最小值为．
【解析】连接、，由，，点为的中点，得，，则，求得，因为直线垂直平分，点在线段上，所以，则，由，得，则，所以周长的最小值为．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的面积公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：设木棒的长为尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
答：木棒的长为尺．
【解析】设木棒的长为尺，则尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意可得，
点到轴的距离较大，这个距离为，
点到轴的距离较大，这个距离为，故符合题意；
点到轴的距离较大，这个距离为，故符合题意；
点到轴的距离较大，这个距离为，故不符合题意；
故答案为：；
由题意可得，
点的坐标是，到轴的距离较大，这个距离为，
点的坐标是，点与点是“等距点”，
当时，，得，此时点的坐标为；
当时，，，此时不符合题意；
当时，，得，此时点的坐标为；
由上可得，点的坐标为或．
根据题目中的新定义，可以判断哪个小题中的点符合题意；
根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得点的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
24.【答案】解：设普通练习本和精装练习本的销售单价分别是元和元．
根据题意，得，解得，
普通练习本和精装练习本的销售单价分别是元和元．
根据题意，得购买精装练习本本，
，
，
，
关于的函数关系式为．
，，
随的减小而增大，
当时，取最大值，此时，
本，
该商店应购进本普通练习本和本精装练习本才能使销售总利润最大，最大利润是元．
【解析】分别设普通练习本和精装练习本的销售单价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可；
根据“获得的利润普通练习本每本的利润普通练习本的数量精装练习本每本的利润精装练习本的数量”求解即可，并根据题目的条件求出的取值范围；
根据随的增减情况及的取值范围，确定当为何值时取最大值，并将的值代入函数关系式求出的最大值即可．
本题考查一次函数及二元一次方程组的应用，求出函数关系式是解题的关键．
25.【答案】 或
【解析】解：当时，，
故答案为：；
当时，，
当时，，
故答案为：，；
函数图形如图所示：
对于函数，有以下结论：
该函数图象关于轴对称；正确；
该函数有最大值；正确；
随的增大而增大；错误．
故答案为：；
由图象得：当时，随的增大而增大，
当时，随想的增大而减小，
当时，最大值，且函数关于轴对称，
故答案为：；
由图象可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，
方程有个解；
故答案为：；
当时，函数的图象与直线没有交点，
若关于的方程无解，则的取值范围是；
故答案为：；
函数与的图象相交于，两点，由图象可知，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
根据绝对值的定义进行计算即可；
把、的值代入函数关系式进行计算即可；
根据图象解答即可；
利用函数的图象解答即可．
本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的关键．
26.【答案】解：当时，，
，
点，点关于轴的对称点为点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
的值不变，理由如下：
连接，
，
，
即，
；
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
；
当时，，
，
，
在中，，即，
解得，
；
当时，，
，
，此时点与重合或与重合，不符合题意；
综上所述：点坐标为或；
取的中点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
当轴时，的长最小，即长最小，
轴，时的中点，
，
线段长度的最小值为．
【解析】分别求，，再由待定系数法求直线的解析式即可；
连接，利用等积法，，可得，即可求是定值；
分三种情况讨论：当时，，可求；当时，，在中，利用勾股定理，
解得，可求；当时，，此时点与重合或与重合，不符合题意；
取的中点，连接，证明≌，则，当轴时，的长最小，即长最小，求出的最小值即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的心脏，勾股定理是解题的关键．
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