湖南省株洲市重点中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷（含答案）

2021-2022学年上学期高二数学期中测试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，95，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ）
A．91 B．92 C．93 D．94
3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥PO的底面半径为2，若圆锥PO被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥PO的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）
A． B． C． D．
8．已知M，N，P，Q四点均在椭圆：上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆O相交
C．存在k使得直线l与直线：平行
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
11．已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．面积的最小值为4
12．如图，在正方体中，，点E，F分别为，BC的中点，点P满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，，则平面
C．平面截正方体所得的截面的周长为
D．若，则四面体外接球的表面积为
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为______．
14．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是______．
15．已知点M是直线上的动点，点N在线段OM上（O是坐标原点），且满足，则动点N的轨迹方程为______．
16．已知四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形的PEFD周长最小时，则三棱锥外接球的体积为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18－22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．
（1）求C；
（2）若，D是AC的中点，且，求的面积．
18．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，点E为棱PC上的点，且．
（1）证明：；
（2）若，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．
20．双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
21．如图1，已知ABFE是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点．
（1）证明：；
（2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为．
22．已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆C的左，右焦点，点P是椭圆上任意一点且满足．
（1）求椭圆方程；
（2）设T为椭圆右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于T），直线MT，NT分别交直线于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．
参考答案
单选题CDAB BCAB
多选题BC BD ABD BD
填空题
13． 14．．
15． 16．
17．（1）在中，由及正弦定理得，即，
而，所以．
（2）在中，，在中，，
而，，，则，即，
由余弦定理得，而，解得，
．
18．（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，，，共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
19．（1）由ABCD为矩形可知：，又因为，，CD，，平面PCD，所以平面PCD，又，所以面PCD，又面PCD，故．
（2）由（1）可知，，，所以，在中，，所以；
又，，CD，面ABCD，所以面ABCD；
故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，，
又在中，，则，，，．
设面PBC的法向量，则即故，
设直线DE与面PBC所成角为θ，则．
故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为：．
20．（1）设双曲线的方程为，则，故，故双曲线的方程是．
（2）由，得，
由，且得，且，
设、，因为以AB为直径的圆过原点，所以，
所以，又，，
所以，
所以解得．
21．（1）∵由图1得：，，且，∴在图2中平面BCF，是二面角的平面角，则，∴是正三角形，且N是BC的中点，，又平面BCF，平面BCF，可得，而，BC，平面ABCD．∴平面ABCD，而平面ABCD，∴．
（2）因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设
∴，，，．
∵，∴．
∴，∴，
设平面ADE的法向量为
则，取，
设直线BM与平面ADE所成角为θ，
∴，
∴，∴或．
22．（1）解：因为，是椭圆C的左，右焦点，点P是椭圆上任意一点且满足，
所以，解得，
因为椭圆C的离心率为，
所以，解得．
所以，，
所以，椭圆方程为．
（2）解：由（1）知，，
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时，，
直线MT方程为，直线NT方程为，
所以，，，
所以，A，B两点的纵坐标之积为－9，
当直线l的斜率存在时，因为过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于T），
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，
设，，
则直线MT方程为，直线NT方程为，
因为直线MT，NT分别交直线于A，B两点
所以，，
联立直方程得，
所以，，，
所以，
，
所以，A，B两点的纵坐标之积为
所以，A，B两点的纵坐标之积为定值．