2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形下列汉字中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在实数、、、、、中，无理数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.估计的值是在
( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
5.若点在一次函数的图象上，则点一定不在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.如图，某公园的三个出口，，构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等．则公共厕所应该在
( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点
C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点
7.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是( )
A. B. C. D.
8.若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.地球上的海洋面积约为，将精确到，并用科学记数法表示这个近似数为______．
10.已知，如图：≌，，则 ______度
11.工人师傅常将空调架做成三角形，这是利用了三角形的______性
12.如图，，，添加条件______，可以根据“”得到≌．
13.已知函数是关于的一次函数，则 ______
14.摄氏温度用符号表示，单位是摄氏度，华氏温度用符号表示，单位是华氏度已知两种温度的换算公式为，则水的沸点，换算成华氏温度为______
15.如图，数轴上的点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为______．
16.如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是______．
三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
求下列各式中的：
；
．
19.本小题分
如图，公路旁设有一个公交站台和一个救助站，公交站台到、两村庄的距离相等，救助站则到两村庄的距离之和是公路旁所有位置中最短的．
用直尺和圆规，在图中画出公交站台的位置；
用直尺和圆规，在图中画出救助站的位置．
20.本小题分
在公园中，计划按如图所示的方式加固树苗，两根固定的木棒与树苗在同一平面内，结绳处到地面距离，木棒从结绳处到底端的长度，求两根木棒底端的距离的长？
21.本小题分
如图，在中，，、在上，且，求证：．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，点和．
如果点在轴上，点在轴上，求、的值；
点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由；
如果轴，且，求、的值．
23.本小题分
如图，在中，，垂足为，，，．
求证：是直角三角形；
______， ______， ______；
发现：“的三边分别是对应三边的______倍”；
猜想：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形吗？若是请说明理由，若不是，请举出反例．
24.本小题分
正比例函数和一次函数的图象交于点，且一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
求正比例函数和一次函数的表达式；
利用图象，求关于的不等式的解集；
将正比例函数图象平移到经过点，此时新的函数图象交轴于点，求的面积．
25.本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共个，这两种吉祥物的进价如表：
吉祥物名称 琮琮 莲莲
进价元个
问：若购进“琮琮”个，则总费用为______元；
若购进“琮琮”个，求总费用关于的函数表达式，并求出总费用为元时，该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
26.本小题分
【发现】数学作业本上，横线互相平行，并且是等距的，我们称为“等距平行线”，有同学发现，任意画一条直线与这些平行线相交，被平行线截得的每一段都相等．
【任务一】如图，两直线、与一组等距平行线相交，两直线的交点正好落在中间平行线上，与这组平行线垂直，，求证：；
【任务二】如图，有同学发现：的三个顶点都在等距平行线上，且与中间一条线交于点，若有，则，这个结论正确吗？请说明理由；
【任务三】如图，有同学发现：过点作直线，分别交上下两条平行线于点、，若有，亦能得到，你能证明吗？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3.【答案】
【解析】解：，
在实数、、、、、中，无理数的个数有、、，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
直接利用接近的有理数进而分析得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的整数是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
点在一次函数的图象上，
点一定不在第一象限．
故选：．
结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．这里根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答即可．
【详解】解：公共厕所到出口、的距离相等，
公共厕所到在线段的垂直平分线上，
公共厕所到出口、的距离相等，
公共厕所到在线段的垂直平分线上，
公共厕所到出口、的距离相等，
公共厕所到在线段的垂直平分线上，
所以，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点，
故选．
7.【答案】
【解析】解：直角三角形斜边上中线长，
斜边，
面积
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可求出答案．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积，熟记性质求出斜边的长度是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一次函数经过点，
，．
函数值随的增大而减小，则；
解关于，
移项得：，即；
两边同时除以，因为，因而解集是．
故选：．
根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，近似数．表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于 有位，所以可以确定的值．
【解答】
解：将 精确到 ，并用科学记数法表示这个近似数为．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：≌，，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
11.【答案】稳定
【解析】解：工人师傅常将空调架做成三角形，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：添加，理由如下：
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
根据定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据一次函数的定义可得：，，
由，解得：或，
又，，
．
故答案为：．
根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，即可得出的值．
本题主要考查了一次函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
14.【答案】
【解析】解：将代入，得，
故答案为：．
将代入关于的函数关系式并计算即可．
本题考查函数值，将自变量的数值代入计算函数值是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
若点在点的左侧，则点表示的数为：；
若点在点的右侧，则点表示的数为：；
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，从而得到的长，分两种情况分别写出点表示的数即可．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，注意以为圆心，长为半径画弧，交数轴两个点．
16.【答案】
【解析】解：设，
连接，，
由题意知，，
则有，
即，
解得，
即．
故答案为：．
连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值．
本题考查了图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用二次根式的性质，绝对值的性质及立方根的定义计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原方程整理得：，
则；
原方程整理得：，
则，
解得：．
【解析】将原方程整理后利用平方根的定义求得的值即可；
将原方程整理后利用立方根的定义求得的值即可．
本题考查利用平方根或立方根的定义解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键．
19.【答案】解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求．

【解析】作线段的垂直平分线交直线于点，点即为所求；
作点关于直线的对称点，连接交直线一点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：，
，
，，
，
，
答：两根木棒底端的距离的长为．
【解析】根据勾股定理可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】证明：，，
，，
，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
根据等腰三角形的性质可得到，，再根据三角形外角的性质可推出，从而可利用判定≌，根据全等三角形的性质即可证得结论．
22.【答案】解：因为点在轴上，
所以，
解得．
因为点在轴上，
所以，
解得．
故，．
点和点不能同时在第三象限内．
当点在第三象限内时，
，且，
解得．
当点在第三象限内时，
，，
解得，．
显然找不到同时满足要求的的值，
所以点和点不能同时在第三象限内．
因为轴，
所以，
解得．
又因为，
所以，
解得或．
所以的值为，的值为或．
【解析】根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题．
根据第三象限内点的坐标特征即可解决问题．
根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，熟知坐标轴上及每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】
【解析】证明：，，，，
，，，
，
是直角三角形；
解：，，，，，
，，，
故答案为：；；；
发现：解：：由知，的三边分别是对应三边的倍，
故答案为：；
猜想：解：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形，理由如下：
设将三边扩大倍，则将三边为，，，
，
将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形．
根据勾股定理及线段的和差求出，，，则，根据勾股定理逆定理即可得解；
结合代入求解即可；
发现：由求解即可；
猜想：根据勾股定理逆定理求解即可．
此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟记勾股定理逆定理、勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：把代入得到：，
则正比例函数的解析式是；
把，代入得：，
解得，
则一次函数的解析式是：；
观察图象，关于的不等式的解集是；
在中，令，解得：，
则的坐标是，．
将正比例函数图象平移到经过点，则平移后的直线为，
令，则，解得，
，
，
．
【解析】把代入即可求得的值，求得正比例函数的解析式；把，代入，利用待定系数法，即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求解；
首先求得的坐标，然后确定平移后的直线解析式，进一步求得点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积的计算，理解线段的长度可以通过点的坐标表示，培养数形结合思想是关键．
25.【答案】
【解析】解：根据题意，得总费用为元，
故答案为：．
根据题意，得，
总费用关于的函数表达式为．
当时，得，解得，
个，
总费用为元时，该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各为个和个．
根据“总费用琮琮进价琮琮数量莲莲进价莲莲数量”解答即可；
根据“总费用琮琮进价琮琮数量莲莲进价莲莲数量”写出关于的函数表达式，当，求出对应的值，并求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，写出关于的函数表达式是本题的关键．
26.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
；
解：结论正确，理由如下：
，，
，
，，
，
，
；
证明：延长交于，
，
，
又，，
≌，
，
，，
，
又，
．
【解析】由“”可证≌，可得；
由等腰三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可求解；
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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