安徽省合肥六中高新校区2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥六中高新校区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.逢年过节抑或新婚喜庆、人们把美丽鲜艳的剪纸贴在雪白的窗纸或明亮的玻璃窗上、墙上、门上、灯笼上，节日的气氛便被渲染得非常浓郁喜庆在下列四幅剪纸中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组线段中，成比例的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
3.在中，，，，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，，，平分，交于，交延长线于，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，的半径为，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中，线段的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知，且，则的值为______．
12.如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是______．
13.如图，在和中，，，，点在上，与交于点，连接，则 ______．
14.如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在第一象限，点，双曲线把分成两部分，若．
双曲线与边，分别交于，两点，的值为______．
连接，则的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在点发球，且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式．
求羽毛球飞行路线中离地最大高度．
已知羽毛球球网高度为，发球点与球网的水平距离为，通过计算说明这次发球是否能过网？
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
以原点为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的倍后的．
画出绕点顺时针旋转后得到的．
18.本小题分
如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得测角仪的高为米，、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直．
求点的铅垂高度；
求旗杆的高度结果精确到米参考数据：，，，，
19.本小题分
如图在中，为上一点，平分，．
求证：∽；
若，，求的长．
20.本小题分
如图，内接于，为直径，过作，交的延长线于点，过作的切线交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．
21.本小题分
一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，与轴交于．
求，，的值；
观察图象，直接写出不等式的解集；
延长交反比例函数图象于点，求的面积．
22.本小题分
在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，且．
如图，若，求的度数；
如图，当，且时，求的长；
如图，作的角平分线交于点，若，，求的值．
23.本小题分
平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于，与轴交于、两点在的右侧，顶点坐标为．
求抛物线解析式；
点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值；
在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：、，
选项A不成比例；
B、，
选项B不成比例；
C、，
选项C不成比例；
D、，
选项D成比例．
故选D．
分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
本题考查比例线段．
3.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
故选：．
根据余弦等于邻边比斜边，进行求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握余弦的定义，是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：因为在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，
所以，
A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题主要考查反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟练求出正多边形的中心角是解题的关键．
连接、，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】
解：连接、，
正多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
，，
．
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
小正方形的边长为，
大正方形的面积为，
，
大正方形的面积，
，
，
，
，
即小正方形的边长为．
故选：．
根据大正方形的面积，结合即可求解
本题考查了勾股定理的证明，正确得出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，
，
，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
直线经过一、二、四象限，
由图象可知，当时，，
，
反比例函数的图象必在一、三象限，
故B、、D错误，A正确；
故选：．
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，由当时，，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，进而得到，从而得到，则，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
本题主要考查了相平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
点为边的中点，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行线分线段成比例可求，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，利用参数表示线段长度是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接、、，连接，并延长至，使，连接，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
的最大值为，
的最大值，
故选：．
连接、、，连接，并延长至，使，连接，，首先说明是等边三角形，再说明，利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，构造三角形中位线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．直接利用已知比例式假设出，，的值，进而利用，得出答案．
【解答】
解：，
设，，．
，
，解得，
故．
12.【答案】
【解析】解：观察图象可知，，
，，，，
，
∽．
故答案为：．
利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，，
≌，，
，
∽，
，即，
．
故答案为：．
先证明≌，得出，由，可得，进而证明∽，根据对应边成不了即可解答．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，作轴于，轴于，
设，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
又，
．
又、在上，
．
，．
故答案为：．
如图，连接，作轴于，于．
．
．
由题意，，
又由得，，
，．
．
连接．
，
又，
．
又，即，
．
．
．
．
故答案为：．
依据题意，作轴于，轴于，设，从而，再表示出，，从而可得，计算可以得解；
依据题意，连接，作轴于，于，从而，进而，再结合题意得，故可得，又由，从而，最后可以计算得解．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，正确表示线段长度的比是解题的关键．
15.【答案】解：原式
．
【解析】先把特殊角的三角函数值代入，再把二次根式化成最简二次根式，然后进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质和化简二次根式．
16.【答案】解：由题意，，
羽毛球飞行路线中离地最大高度为．
由题意，令，
．
，
这次发球能过网．
【解析】依据题意，将变形为，进而可以判断得解；
依据题意，令，代入求得，再由，进而可以判断得解．
本题主要考查二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并学会用待定系数法求函数解析式是关键．
17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．

【解析】把点、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、，的对应点、、即可得到 ．
本题考查了作图位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
18.【答案】解：延长交于点，
由题意得：，米，
斜坡的坡度为，
，
在中，，
，
米，米，
点的铅垂高度为米；
过点作，垂足为，
由题意得：，米，米，
米，
在中，，
米，
米，
旗杆的高度约为米．
【解析】延长交于点，根据题意可得：，米，，然后在中，利用特殊角的三角函数值可得，从而利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，米，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长．从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】证明：平分，
，
，
，
．
，
∽；
解：，，
，
，
．
∽，
，
，
．
∽，
，
，
．
【解析】利用角平分线的定义，等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
利用相似三角形的性质定理解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
切圆于，
半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
．
【解析】连接，由切线的性质定理推出，由余角的性质推出，即可证明；
由勾股定理求出，得到，求出，由勾股定理求出，由∽，得到：：，代入有关数据即可求出．
本题考查切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由切线的性质得到；证明∽．
21.【答案】解：反比例函数的图象经过，
，
，
，
，
，
点、在的图象上，
，
解得：，
，，；
由图象可得：不等式的解集为或；
由可知一次函数为，
令，则，
，
，
，
延长交反比例函数图象于点，则点与点关于原点对称，
，
．
【解析】把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得；
求得的坐标，然后根据即可求得的面积，根据反比例函数的对称性即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，以及三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，，
在矩形中，，，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
，，
∽，
，
，，
，
，
平分，，，
，
又，
≌，
，
，
在中，，
，
或舍去，
的值为．
【解析】根据，得，从而得出，再利用翻折的性质可得答案；
利用“一线三等角”得出∽，则，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案；
过点作于点，则∽，根据相似三角形的性质求出，根据角平分线的性质得出，根据折叠的性质、全等三角形的判定与性质求出，由勾股定理得，据此求解即可．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造∽是解题的关键．
23.【答案】解：顶点坐标为，
设二次函数的顶点式为，
抛物线与轴交于，
，
解得，．
二次函数的解析式为；
由题意，由得，抛物线解析式为．
顶点．
令，
．
或．
抛物线与轴的交点，．
由，得，直线为．
由题意，当平行于的直线与抛物线相切时，最大．
可设直线为，由抛物线为，
此时方程为，
则．
．
为，又为，
．
直线与轴夹角，
的最大值为．
存在，理由：
如图，当，
则，
即，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的坐标为：，
当时，
即，
解得：，
则点；
当点在点的上方时，
则，设点，
则，
解得：舍去或，
则点，
综上，点的坐标为：或
【解析】根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解；
当平行于的直线与抛物线只有一个交点时，最大，即可求解；当，则，即，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
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