11.1 因式分解课件 17张PPT 2023-2024学年初中数学冀教版七年级下册

(共17张PPT)
第 十一 章 因式分解
11.1 因式分解
一、学习目标
1.知道因式分解的概念；
2.能理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系；
3.能够解决与因式分解相关的几类问题.
二、新课导入
在小学，我们学过整数的因数分解，如9=3×3,28=2×2×7；
那么对于一个多项式是否也能进行类似地分解呢？
走进本课，答案即将揭晓！
三、概念剖析
在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如，
a2-2ab+b2=(a-b)2 ,
a2+2ab+b2=(a+b)2 ,
a2-b2=(a+b)(a-b),
na+nb+nc=n(a+b+c).
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，
也叫做将多项式分解因式.
其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
三、概念剖析
思考
1.多项式相乘的结果是什么？
2.一个多项式进行因式分解的结果是什么？
多项式
几个整式乘积的形式
三、概念剖析
(1)(a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2 ；
(2)(x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).
(3)(x+y)(x-y)=x2-y2，x2-y2=(x+y)(x-y)
观察：多项式的乘法运算与多项式的因式分解之间有什么关系？
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2-y2
(x+y)(x-y)
因式分解
整式乘法
四、典型例题
例1.下列由左到右的变形中，是因式分解的为(　 )
A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x＋1＝x(1＋ )
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋3x＝(x＋4)(x－4)
解析：根据因式分解的概念，A，B选项的右边不是几个整式相乘的形式，
D项左右两边不相等，所以A，B，D选项不是因式分解；
只有C选项符合因式分解的定义．故选C.
C
不是整式
不是相乘的形式
左右两边不相等
四、典型例题
归纳总结：判断多项式变形是不是因式分解的方法：
1.看“形式”，即看等式右边是不是乘积的形式，
积中每一个因式是不是整式；
2.看“实质”，看左、右两边是否相等．
【当堂检测】
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B．x2+2x-1=(x+1)(x-1)+2x
C．m2-4m+4=m（m-4）+4
D．-6x2+3x=-3x(2x-1)
D
四、典型例题
例2.(1)观察下列多项式的因式分解，指出它们的各因式.
①a2-a=a(a-1)；②x2-4=(x+2)(x-2)；③x2+2x+1=(x+1)2.
解：①多项式a2-a的各因式分别是a和(a-1)；
③多项式x2+2x+1有两个相同的因式(x+1).
②多项式x2-4的各因式分别是(x+2)和(x-2)；
四、典型例题
例2.(2)请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里.
①3x+6=3( )； ②a2+ab=a( ).
③9x2-4=(3x+2)( )；④x2+4x+4=(x+2)( ).
解：①(3x+6)÷3=x+2，故括号内应填：x+2；
②(a2+ab)÷a=a+b，故括号内应填：a+b；
③∵(3x+2)(3x-2)=9x2-4，∴括号内应填：3x-2；
④∵(x+2)2=x2+4x+4，∴括号内应填：x+2.
x+2
a+b
3x-2
x+2
四、典型例题
归纳总结：给出多项式一个因式确定另一个因式的方法：
1.若给出的因式为单项式，则考虑利用多项式除以单项式计算出另一个因式.
2.若给出的因式为多项式，则考虑利用乘法公式推理出另一个因式．
【当堂检测】
2.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里.
(1)2x+4=2( )； (2)x-xy=x( )；
(3)16x2 -1=(4x+1)( )；
(4)a2+6a+9=(a+3)( ).
x+2
1-y
4x-1
a+3
四、典型例题
例3.两个同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解
成(x＋1)(x＋5)；乙因看错了常数项而分解成(x－2)(x－4)．求原多项式.
分析：把(x+1)(x+5)展开，其中一次项系数错误，但二次项及常数项均正确，再把(x-2)(x-4)展开，其中常数项错误，但二次项和一次项均正确．两个式子结合可求这个二次三项式．
解：
所以这个二次三项式是x2－6x＋5.
因为甲：(x＋1)(x＋5)＝x2＋6x＋5，
乙：(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8，
四、典型例题
归纳总结：因式分解和整式乘法的关系：
多项式的因式分解与整式乘法是一个相反的变形过程，如果知道因式分解
的结果，那么可以利用整式乘法确定被分解的多项式．
【当堂检测】
3.若将x2+px-q分解因式的结果是(x-3)(x+5)，则p的值为(　　)
A．-15 B．-2
C．8 D．2
D
五、课堂总结
因式分解的概念
把一个多项式分解成几个 乘积的形式，叫做多项式的因式分解，
也叫做将多项式分解因式．其中每个整式都叫做这个多项式的因式．
多项式的因式分解与乘法运算是 的变形过程．
整式
相反
点拨：对于多项式的因式分解要掌握以下几点：
(3)多项式的因式分解是一个恒等变形．
(2)因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式；
(1)等号的左边必须是一个多项式；