第十一章 因式分解复习课课件 30张PPT 2023-2024学年初中数学冀教版七年级下册

(共30张PPT)
第十一章 因式分解
复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题；
2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法
进行因式分解；
3.能利用因式分解的方法解决实际问题.
二、知识结构
因式分解
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
提公因式法
方法
公式法
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
公因式
整式乘法
三、知识回顾
知识点一 因式分解的概念
1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解.
3.多项式的因式分解是一个恒等变形．
2.因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式；
注意：1.等号的左边必须是一个多项式；
2.多项式的因式分解与乘法运算是相反的变形过程．
典型例题
例1.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 B．2x2－8＝2(x＋2)(x－2)
C．2x2－2x＋1＝2x(x－1)＋1 D．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B
解析：A项，是整式的乘法，故A不符合题意；B项，把一个多项式化成几个
整式的乘积的形式，故B符合题意；C项，没把一个多项式化成几个整式的
乘积的形式，故C不符合题意；D项，是整式的乘法，故D不符合题意．
典型例题
归纳总结：
(1)因式分解的最后结果是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式；
(2)因式分解与整式乘法是两个相反的过程，可以利用整式乘法检验
因式分解是否正确．
【当堂检测】
1.下列变形，是因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay
B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)
C. am2-a=a(m+1)(m-1)
D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.
C
知识点二 因式分解的方法及步骤
三、知识回顾
1.提公因式法分解因式
(1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项
系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数
最低的．
(2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
三、知识回顾
2.公式法分解因式
(1)因式分解中的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
平方差式的特征：
①可化为两个整式；②两项符号相反；③每一项都是整式的平方.
(2)因式分解中的完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2；
完全平方式的特征：(1)可化成三项式；(2)有两项符号相同,能写成两个
整式的平方的形式；(3)另一项是这两整式乘积的±2倍.
典型例题
例2.把下列各式分解因式：
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2； (2)a5－a；　　　　
(3)3(x2－4x)2－48； (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
解析：(1)中(x－y)2＝(y－x)2，可直接提取公因式y－x；
(2)(3)先提公因式，再用公式法分解；(4)直接用公式法进行因式分解．
典型例题
解：
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2
＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
＝a(a2＋1)(a2－1)
(2)a5－a＝a(a4－1)
＝2x(y－x)．
＝(y－x)(x＋y－y＋x)
＝(y－x)[x＋y－(y－x)]
＝x(y－x)＋y(y－x)－(y－x)2
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2； (2)a5－a；
典型例题
(3)3(x2－4x)2－48； (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
(3)3(x2－4x)2－48
＝(y＋2)2(y－2)2.
＝3(x－2)2(x2－4x－4)．
＝3(x2－4x＋4)(x2－4x－4)
＝3[(x2－4x)2－16]
(4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9
＝(y2－1)2－6(y2－1)＋9
＝(y2－1－3)2
典型例题
归纳总结：
因式分解的步骤是：
一提(提公因式)、二用(用公式法分解)、三检查(检查分解是否彻底)．
【当堂检测】
2．分解因式：
(1)a(x-y)-b(x-y)-c(y-x)= ；
(2)(m-n)2-(n-m)(m-2n)= ；
(3)3x3-27xy2= ；
(4)3x2y+12xy2+12y3= ．
(x-y)(a-b+c)
(m-n)·(2m-3n)
3x(x+3y)(x-3y)
3y(x+2y)2
【当堂检测】
(1) 18xy2 - 27x2y - 3y3 (2) 4a2- 16(a - 2)2.
3.因式分解(写出步骤).
解：
=-3y(3x-y)2.
(2) 4a2 -16(a - 2)2
(1) 18xy2-27x2y-3y3
=-3y(9x2-6xy+y2)
=(6a-8)(8-2a).
=[2a+4(a-2)][2a-4(a-2)]
=-4(3a-4)(a-4).
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992.
解：
(1)原式＝6×(5752－4252)
＝(1＋999)×(1－999)＝－998000.
＝6×1000×150＝900000.
＝6×(575＋425)×(575－425)
(2)原式＝20192－(2019－1)×(2019＋1)－9992
＝20192－(20192－1)－9992＝1－9992
三、知识回顾
问题1： 利用因式分解求代数式的值
代数式求值问题的解题思路是什么？化简代数式的方法有哪些？
典型例题
例3.若a－b＝－7，ab＝－2，求下列各式的值：
(1)a2b3－a3b2； (2)a3b－2a2b2＋ab3.
解：
(1)因为a－b＝－7，ab＝－2，
＝ab(a－b)2＝(－2)×(－7)2＝－98.
(2)a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)
所以a2b3－a3b2＝a2b2(b－a)＝(－2)2×7＝28.
典型例题
归纳总结：在代数式求值问题中，解题的基本思路是先化简代数式，
把代数式化简至最简后再代入求值．但在不同问题中，化简的方法也不同，
如：利用整式的加减、整式的乘法、分解因式等，因此，应根据具体的题目
特点，灵活选用化简代数式的方法．
【当堂检测】
5.若m－n＝0，求(m2+n2)2-4m2n2下的值.
解：
(m2+n2)2-4m2n2=(m2+n2)2-(2mn)2
=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)
=(m+n)2(m-n)2
当m-n=0，(m2+n2)2-4m2n2=0.
三、知识回顾
问题2： 与因式分解有关的数学思想
本章中整体思想主要体现在哪些方面？
典型例题
例4.已知a＋b＝3，ab＝5，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为________．
45
解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
点拨：先提取公因式，再将代数式化成完全平方式的形式，最后整体代入.
把a＋b＝3，ab＝5代入原式，得5×32＝45.
整体思想
典型例题
归纳总结：整体思想体现在求代数式的值中，需要把代数式变形成含有
已知代数式的形式；
【当堂检测】
(a+b)(a-b-1)
(x-1)(x2+1)
6.写出下列多项因式分解的结果.
(1)(a+b)(a-b)-a-b= ，
(2)x3-x2+x-1= .
【当堂检测】
7.已知a+b=5，ab=10，求a3b+2a2b2+ab3的值．
解：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
∵a+b=5,ab=10，
∴a3b+2a2b2+ab3=10×52=250.
典型例题
数形结合思想
例5.小戴同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片．
①拼成如图(b)所示的正方形，根据四张小纸片的面积之和等于大纸片(正方形)的面积，有a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，验证了完全平方公式(分解因式)；
典型例题
②拼成如图(c)所示的长方形，可得a2＋3ab＋2b2＝
(a＋2b)(a＋b)，多项式a2＋3ab＋2b2分解因式的结果
表示长方形长、宽的两个整式a＋2b与a＋b的积．
问题：
(1)自己动手试一试，利用拼图分解因式a2＋5ab＋6b2＝ .
(2)猜想面积为2a2＋5ab＋2b2的长方形的长、宽可能分别为：
.
(a+2b)(a+3b)
a＋2b，2a＋b或2a＋b，a＋2b
典型例题
归纳总结：本章中数形结合思想主要体现在用长方形纸片的图形面积来解释
因式分解．利用几何图形的面积可以把整式乘法与因式分解有机地联系起来．
拓展：由整式的乘法得(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；
那么反过来x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)也成立，在拼图过程中也验证了该式.
那么除了利用拼图将a2＋5ab＋6b2分解因式，也可以用如下方法：
a2＋5ab＋6b2=a2+(2b+3b)a+2b·3b=(a+2b)(a+3b).
【当堂检测】
(1)x2-5x+6； (2)x2﹣6x-7.
(1)原式=x2+[(-2)+(-3)]x+(-2)×(-3)=(x-2)(x-3)；
(2)原式=x2+[(-7)+1]+(-7)×1=(x-7)(x+1).
7.因式分解.
四、课堂总结
因式分解
概念
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.
与整式乘法的关系：互逆关系
因式分解的方法
提公因式法：1.确定公因式 2.提取公因式
公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2