德阳市高中2023级第一学期教学质量监测考试
数学试卷
说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效：考试结束后，将答题卡交回，
2．本试卷满分100分，120分钟完卷．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 若集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 下列函数中与是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 方程的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A 或 B. 或 C. D.
7. 当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（ ）．（精确到百年，参考数据：）
A. 3800年 B. 4200年 C. 4600年 D. 5000年
8. 已知：，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．）
9. 若，则可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列选项中，的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在上函数，能断定4是周期的是（ ）
A. 满足 B. 满足
C. 奇函数满足 D. 奇函数满足
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．将答案直接填在答题卡上）
13. 若，则__________．
14. 已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______.
15. 若角的终边过点，则角的终边与单位圆的交点坐标为______.
16. 函数有零点，则的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
17. 化简求值：
（1）；
（2）已知：，求的值．
18. 若集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
19. 已知．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）当，求的值域．
20. 已知函数（常数）.
（1）若函数在定义域内单调递增，求的值；
（2）若函数是奇函数，求证：在上单调递增.
21. 连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元．
（1）若2024年投入10百万元，求的值；
（2）若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围．
22. 对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：
（1）求三次函数的对称中心；
（2）若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值；
（3）若，求值.德阳市高中2023级第一学期教学质量监测考试
数学试卷
说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效：考试结束后，将答题卡交回，
2．本试卷满分100分，120分钟完卷．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义求解即可.
【详解】易知既满足，又满足的数只有，故，显然B正确.
故选：B
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.
故选：A.
3. 下列函数中与是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每个选项对应函数的定义域和解析式即可判断.
【详解】对于A：，合题意；
对于B：定义域，不合题意；
对于C：当为偶数时，，不合题意；
对于D：当为偶数时，定义域为，不合题意；
故选：A
4. ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可.
【详解】.
故选：C
5. 方程的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，根据零点存在定理即可判定.
【详解】令，当时，，所以，
当时，易知严格增，
又，，
根据零点存在定理得方程的解所在的区间为，
故选：B.
6. 若，则（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把化为，再利用齐次式进行弦化切代入求解.
【详解】
.
故选：D
7. 当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（ ）．（精确到百年，参考数据：）
A. 3800年 B. 4200年 C. 4600年 D. 5000年
【答案】C
【解析】
【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案．
【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则
，
这头大象大约生活在距今约4600年，
故选：C.
8. 已知：，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数和对数函数的单调性，借助0，1和帮助判定即可得出答案.
【详解】由题可知，
所以，
，
因为，所以，
则，所以，
所以，故，即.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握指数和对数函数的单调性，从而得解.
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．）
9. 若，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据选项逐个求解正弦值即可判断.
【详解】对于A，，符合题意；对于B，，不合题意；
对于C，，不合题意；对于D，，符合题意；
故选：AD
10. 若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系.
【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，
可得.
故选：BC
11. 下列选项中，的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由充分必要条件的概念，结合指数函数、对数函数、幂函数单调性，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，得，又函数的定义域为，
当，时，无意义，即不满足，
故是的充分不必要条件，满足题意；
对于B，若，则，但由得不到，例如，但，
当时，有，故是的必要不充分条件，不合题意；
对于C，若，由函数在定义域上单调递增，所以，但由得不到，
例如，但，反之，若，则，从而，
故是的必要不充分条件，不合题意；
对于D，若，则，有，当，时，无意义，
即不满足，故是的充分不必要条件，满足题意.
故选：AD
12. 定义在上的函数，能断定4是周期的是（ ）
A. 满足 B. 满足
C. 奇函数满足 D. 奇函数满足
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据每个选项的恒等式和奇偶性，赋值变形即可判定.
【详解】对于A：，所以8是周期，不能判定4是函数的周期，故A错误；
对于B：，
故合题意；
对于C：因为为奇函数，，所以，故合题意；
对于D：因为为奇函数，，
所以，故合题意；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．将答案直接填在答题卡上）
13. 若，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.
【详解】因为，
所以或，
若，，不满足互异性；
若或2，又，所以，
故答案为：2.
14. 已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
，即，
该扇形的面积，
当且仅当时取等号.
该扇形的面积的最大值为.
故答案：.
【点睛】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.
15. 若角的终边过点，则角的终边与单位圆的交点坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数定义得，，根据诱导公式求得，，即可求得角的终边与单位圆的交点坐标.
【详解】因为三角函数定义及角的终边过点
，，
所以，，
所以角的终边与单位圆的交点坐标为.
故答案为：
16. 函数有零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出定义域，然后将零点问题转化成方程有解问题，最终转化成求值域的问题，构造函数，根据函数的单调性即可求解.
【详解】由题得，
函数有零点，
即在有解，
即在有解，
令，
因为与都是递增的，
所以增，
所以，又当时，，
所以，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
17. 化简求值：
（1）；
（2）已知：，求的值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据指数、对数、幂的运算性质化简求解；
（2）对数化成指数，然后根据指数运算性质求解.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
，
，
故．
18. 若集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集运算求解即可；
（2）根据交集运算得，然后根据和分类讨论求解即可
【小问1详解】
当时，集合，
又集合，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
①当，即时，；
②当，即时，要使，则必须，解得.
综上，的取值范围是.
19 已知．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）当，求的值域．
【答案】19. 最小正周期，
20.
【解析】
【分析】（1）根据余弦函数的周期以及单调性，即可求得答案；
（2）根据时，确定，结合余弦函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知，
故函数的最小正周期，
令，解得，
故的单调递减区间为．
【小问2详解】
当时，，
则，
故时，的值域为.
20. 已知函数（为常数）.
（1）若函数在定义域内单调递增，求的值；
（2）若函数是奇函数，求证：在上单调递增.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）按照、及分类讨论，根据单调性的定义及性质即可求解；
（2）先由函数是奇函数求得，再根据单调性的定义结合指数函数的单调性按照步骤证明即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
①当时，在上显然单调递增；
②当时，取，因为，
所以在上不可能单调递增；
③当时，取，因为，
所以在上不可能单调递增；
综上，若函数在定义域内单调递增，则.
【小问2详解】
令，函数定义域为，
若是奇函数，则，所以，
当时，，定义域为R，因为，
所以是奇函数，，设
，
因为且在上单调递增，所以，则，
所以，即，所以在上单调递增.
21. 连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元．
（1）若2024年投入10百万元，求的值；
（2）若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）列出方程，求出答案；
（2）求出的解析式，需当时单调递增，考虑当，和两种情况，结合特殊点的函数值，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
由题意，
即，，解得；
【小问2详解】
设第年投入百万元，则
由题意，必须当时单调递增，
①当时，显然单调递增，
②，
③接下来，只需当时单调递增，
，当且仅当时取等，
，
因为，
解得，
综上，的取值范围为．
22. 对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：
（1）求三次函数的对称中心；
（2）若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）法一：利用因式分解将函数解析式变为，利用函数平移及奇函数的性质求得对称中心；法二：利用待定系数法将函数解析式变为，利用函数平移及奇函数的性质求得对称中心；
（2）根据关于直线对称设为，利用系数相等求解即可；
（3）先根据三次函数的对称性得，然后将题干式子化为，求解即可.
【小问1详解】
法一：
，
可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到，
故三次函数的对称中心为.
法二：
令
，
则，解得：，
即，
可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到，
故三次函数的对称中心为.
【小问2详解】
若函数关于直线对称，
则，
所以，解得.
【小问3详解】
令，由（1）知，由奇函数平移得到，其对称中心为，
又在上单调递增，故在上单调递增，所以，
可化为，所以，故.
