第四章 三角形单元测试卷 （含解析）北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册第四章三角形单元测试卷
一、选择题
1．在如图所示的图形中，三角形的个数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，，，若，则等于（　　）
A．30° B．50° C．60° D．100°
3．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．梯形 C．四边形 D．五边形
4．用尺规作△ABC的作图痕迹如下，则此作图的已知条件是（　　）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　）
A．① B．② C．③ D．①和③
6．若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
8．如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF，添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（　　）
A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
9． 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（　　）
A．已知两角及夹边 B．已知三边
C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角
10．如图，要测量池塘两岸相对的两点，间的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使．再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．依据是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　 　.
12．如图，在△ABC中，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．若△ABD≌△CAE，则△ABC形状为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　 　．
14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为　 　．
三、作图题
15．请用直尺（不带刻度）、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，线段．
求作：，使．
四、解答题
16． 已知、、为的三边长，且、满足，为方程的解，求的周长．
17．如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
18．五边形ABCDE的对角线AC、AD分别平分和，若，试证明：.
19．如图，在等边三角形中，点M为边上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P，于点H．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
五、综合题
20．在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积．
（2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝　 　．
21． 如图所示，已知于点，≌．
（1）若，，求的长．
（2）求证：．
22．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：
（1）△ABF≌△CDE；
（2）AB∥CD.
23．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝∠DBO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，梯形、四边形以及五边形都不具有稳定性．
故答案为：A.
【分析】根据三角形具有稳定性，即可得解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由△ABC的作图痕迹可知， 作图的已知条件是两边及夹角.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定方法判定。全等三角形的判定有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
6．【答案】B
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB==，BC=，AC=2．
A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故本选项错误；
B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故本选项错误；
C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=AC=2，则由SSS推知△ACF与△ABC全等，故本选项正确；
D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到相关线段间的等量关系．然后利用勾股定理进行验证．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴；
可得
在 △AEC≌△DFB 中
∴△AEC≌△DFB(AAS)，故添加能判断△AEC≌△DFB；
B:添加EC=BF,不能判断△AEC≌△DFB；
C:添加AB=CD,可得AB+BC=CD+BC,即AC=DB;
在 △AEC≌△DFB 中
∴△AEC≌△DFB(SAS)，故添加AB=CD能判断△AEC≌△DFB；
D:添加∠E=∠F,在 △AEC≌△DFB 中
∴△AEC≌△DFB(ASA)，故添加AB=CD能判断△AEC≌△DFB；
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的判定SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可解答。
9．【答案】A
【解析】【解答】由图象可得：已知线段AB，∠CAB=∠，∠CBA=∠，
故答案为：A，
【分析】观察图象可知已知线段AB，，，进而求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：
，，，
，
小明用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定与性质求解。由，，，证明，从而得到．
11．【答案】22
【解析】【解答】解：由题意得，题目未明确哪一条边为腰，则需分情况讨论：
①当腰长为4时，不满足三角形三边关系，构不成三角形，无法求周长；
②当腰长为9时，满足三角形三边关系，所以三角形周长=4+9+9=22。
故答案为：22。
【分析】利用三角形三边关系来分别确定第三边的长度，即可求解。
12．【答案】等腰直角三角形
13．【答案】3
【解析】【解答】解： BE⊥AD，CF⊥AD,∠BEA=∠AFC= 90°,∠BAE+∠ABE= 90°,
∠BAC=90°，
∠BAE+∠FAC= 90°,∠FAC=∠ABE,
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC，∠ABE=∠FAC，AB= AC，
△ABE≌△CAF (AAS)，
AF= BE，AE= CF,
BE=4, CF= 1,
AF= BE=4，AE= CF= 1,EF= AF- AE=4-1=3,
故答案为: 3.
【分析】先证明△ABE≌△CAF (AAS)，再根据全等三角形的性质得AF= BE=4，AE= CF=1，进一步可求出EF的长.
14．【答案】25米
【解析】【解答】解：根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE=25米．
故答案为：25米
【分析】根据全等三角形的判定与性质作答即可。
15．【答案】解：如图：
【解析】【分析】先作出∠MBN=，再在射线M上取一点A，使得AB=b，在射线BN上取一点C，使得BC=2a，再连接AC即可.
16．【答案】解：，
，解得
为方程的解，
或，
当，，时，，
不能组成三角形，故不合题意；
，
的周长，
【解析】【分析】先根据非负性得到b和c的值，进而根据一元一次方程的解即可得到a的值，进而结合三角形的三边关系进行分类讨论即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）证明：在和中
，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1)由已知AB=AC,可得∠B=∠C,根据三角形的内角和可得，,根据平角等于180°可得，,因为；
(2)根据全等三角形的判定AAS,即可得出BE=CD.
18．【答案】解：证明：在CD上取，连接AF.
∵
∴
∵AC分别平分
∴
在与中，
∴
∴
同理可证：
∴，
∴ .
19．【答案】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，等边三角形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）观察图形发现，AM在一个直角三角形中，又CN=AM，则尝试把CN也放到一个直角三角形内：过点N作NG⊥AC，交AC的延长线于点G，通过倒角，得到∠A=∠NCG=60°，继而证明（AAS），得到MH=NG，继续证明（AAS），推出PM=PN；
（2）由（1），得到PH=PG，由，得到AH=CG，同过线段之间的等量代换，得到2PH=AC，又AC=8，推出PH=4。
20．【答案】（1）解： ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
与 的面积相等．
．
．
（2）
【解析】【解答】解：（2） 为边 的中点，
．
， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
故答案为： ．
【分析】（1）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得 ， ， ， 的面积相等， 与 的面积相等，从而得出= ，据此即得结论；
（2）由（1）可得，从而得出结论.
21．【答案】（1）解：≌，
，
，
，
的长为；
（2）解：证明：，
，
，
≌，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到.
22．【答案】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
又∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在Rt△ABF与Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）
（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD
【解析】【分析】（1）利用等式的性质由AE=CF，可得AF=CE，根据垂直的定义可得∠AFB＝∠CED＝90°，根据“HL” 可证Rt△ABF≌Rt△CD.
（2）由（1）结论，利用全等三角形的对应角相等，可得∠C=∠A，根据内错角相等两直线平行即可求出结论.
23．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（AAS），
∴AC=BC；
（2）解：如图2，过点D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO=DM，
在△BOD和△AMD中，
，
∴△BOD≌△AMD（AAS），
∴OB=AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△DMC，
∴OC=MC，
∵∠CAO=∠DBO，∠DEA=∠DBO，
∴∠DAE=∠DEA，
∵DM⊥AC，
∴AM=EM，
∴OB=EM，
∵C(4，0)，
∴OC=4，
∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8；
（3）解：GH=OG+FH；
证明：如图3，在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO=DF，
在△DON和△DFH中，
，
∴△DON≌△DFH（SAS），
∴DN=DH，∠ODN=∠FDH，
∵∠GDH=∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH=∠GDO+∠ODN=∠GDN，
在△DGN和△DGH中，
，
∴△DGN≌△DGH（SAS），
∴GH=GN，
∵ON=FH，
∴GH=GN=OG+ON=OG+FH．
【解析】【分析】 (1) 证明△ACD≌△BCD（AAS）得出AC=BC。
(2)过点D作DM⊥AC于M ，证明 △BOD≌△AMD（AAS），得出OB=AM ，再证明 Rt△DOC和Rt△DMC，得出OB=EM ，最后证得 BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8 。
(3)在GO的延长线上取一点N，使ON=FH ，证明 △DON≌△DFH（SAS） ，得出 ∠GDH=∠GDO+∠ODN=∠GDN ，再证明 △DGN≌△DGH（SAS），最后证得GH=GN=OG+ON=OG+FH 。