第一章 直角三角形的边角关系同步练习 2023-2024学年北师大版九年级数学下册（含答案）

第一章 直角三角形的边角关系同步练习2023-2024学年北师大版九年级数学下册
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）如图，Rt△ABC中，AB=3，∠B=40°，则AC=（　　）
A．3cos50° B．3tan40°
C．3sin50° D．
2．（3分）已知 中， ，CD是AB上的高，则 =（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B.已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A，C，E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
5．（3分）已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
6．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理.如图2连接EG并延长交D的延长线于点M，如tanM＝，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．1.4
7．（3分）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成的角最小时，tan等于（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）在 △ 中，∠ ，如果 ， ，那么cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，车库宽 的长为3米，一辆宽为1.8米（即 ）的汽车正直停入车库 ，车门 长为1.2米，当左侧车门 接触到墙壁时，车门与车身的夹角 为 ，此时右侧车门开至最大的宽度 的长为（　　）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
二、填空题(共4题；共12分)
11．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为　 　 ．
12．（3分）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为　 　米．
13．（3分）如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 　 　.
14．（3分）如图，将矩形折叠，使得点落在边的三等分点上，且，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为　 　.
三、计算题(共2题；共14分)
15．（4分）计算：
16．（10分）
（1）（5分）计算：|-2|+（1- ）0- -3tan45°
（2）（5分）化简：（m+1） -m（m+2）
四、解答题(共7题；共44分)
17．（5分）据调查：超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小明用所学知识对一条笔直公路上车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD＝200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处时的时间为10s，问此车是否超过了该路段10m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参专数据： 1.41， 1.73）
18．（5分）如图，小明在距离地面36米的 处测得 处的俯角为15°， 处的俯角为60°；若斜面 坡度 ，则斜坡 的长是多少米？
19．（6分）一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.732，结果取整数）
20．（6分）在中，是针角，交BC的延长线于点D，E，分别为AC，AB的中点，.连结DF，EF，设DF与EC交于点.
（1）（3分）求证：.
（2）（3分）若时，求AC的长.
21．（6分）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1，现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2， 表示窗户的高， 表示遮阳莲，且 ，遮阳莲与窗户所在平面的夹角 等于 ．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为 ；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为 ，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度 ．
22．（8分）如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．
23．（8分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角 ，木箱的长( )为2米，高( )和宽都是1.6米．通过计算判断：当 ，木箱底部顶点 与坡面底部点 重合时，木箱上部顶点 会不会触碰到汽车货厢顶部．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】2.4
13．【答案】20
14．【答案】
15．【答案】解：原式=2－－2×＋－8×
=；
16．【答案】（1）原式；
（2）原式=m2+2m+1-m2-2m
=1.
17．【答案】解：由题意得：∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，
在Rt△CDB中，tan∠DCB＝ ，
解得：DB＝200，
在Rt△CDA中，tan∠DCA＝ ，
解得：DA＝200 ，
∴AB＝DA-DB＝200 -200≈146（米），
轿车速度v＝ ，
答：此车超过了该路段10m/s的限制速度.
18．【答案】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面 坡度 ，
∴ ，
∴∠ABF＝30°，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，
∴∠HBP＝60°，
∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，
∴PB＝AB，
∵PH＝36m， ，
即 ，
解得： ，
故 （m）.
19．【答案】解：辅助线如图所示：
BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，
有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，
∴∠BAD=30°，
∵AB=20海里，
∴BD=10海里，
在Rt△ABD中，AD= =10 ≈17.32海里，
在Rt△BCE中，sin37°= ，
∴CE=BC sin37°≈0.6×10=6海里，
∵cos37°= ，
∴EB=BC cos37°≈0.8×10=8海里，
EF=AD=17.32海里，
∴FC=EF﹣CE=11.32海里，
AF=ED=EB+BD=18海里，
在Rt△AFC中，
AC= = ≈21.26海里，
21.26×3≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
20．【答案】（1）证明：∵ E，F分别为AC，AB的中点，
∴ BC=2FE，FE∥BD，
∵ ∠FCE=∠CED，
∴ CF∥DE，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ OD=OF；
（2）解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∵ 点F为AB的中点，
∴ AB=2DF=4OF=10，
∵ tanB=，
∴ 设AD=4x，则BD=3x，
∴ AB=5x=10，
∴ AD=8，BD=6，
∵ BC=2FE，FE=CD，
∴ 3CD=BD，即CD=2，
∵ AD=8，∠ADC=90°，
∴ AC=.
21．【答案】解：如图， 为冬天的太阳光线，
为夏天的太阳光线， 水平线
过 作 于
由
由
经检验： 符合题意
22．【答案】解：延长AE交BD的延长线于点F，作EG⊥DF，垂足为G，∵DC∥AF，∴△BCD∽△BAF．∴ ，即 ，解得BF=19（m）．∵EG∥AB，∴△FEG∽△DCB．∴ ，即 ，解得FG=2EG．设EG=x，则FG=2x，DG=19-9-2x=10-2x．在Rt△DEG中，由勾股定理，得x2+（10-2x）2=52，解得，x1=3，x2=5（舍去）．∴DG=4．∴左斜坡的坡比i= =3：4
23．【答案】解：∵ 米， ，∴ 米，∴ 米，∵ 米，∴ 米，作 于点 ，作 于点 ，∵ 米， ， ，∴ ， ，∴， =0.6米，即解得EK=1.28∴ ，∴木箱上部顶点 不会触碰到汽车货厢顶部．