云南省楚雄州楚雄市天人中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 云南省楚雄州楚雄市天人中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 10:33:12 | ||
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文档简介
2023-2024学年云南省楚雄州楚雄市天人中学九年级（上）开学数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列几组线段中，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.下列二次根式中，不是最简二次根式是( )
A. B. C. D.
3.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的一般形式是( )
A. B. C. D.
5.如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于( )
A. B. C. D.
6.已知、、是的三边长，且满足，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7.下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
9.某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11.如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是( )
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，，则点的横坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13.函数的自变量的取值范围是______ ．
14.已知，则______．
15.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______ ．
16.如果关于的方程无解，则的值为______．
17.如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，则点的坐标是______．
三、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
计算：
解方程：；
计算：．
19.本小题分
聚焦“双减”政策，某校利用课后服务时间开展了“感悟与构想”为主题的绘画比赛活动学校名学生全部参加了活动，结果所有学生成绩都不低于分满分分为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩分分组 频数 频率
表中 ______ ， ______ ；
这组数据的中位数落在______ 范围内：
若成绩不小于分为优秀，则全校大约有多少名学生获得优秀成绩．
20.本小题分
如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求的面积．
21.本小题分
如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？
22.本小题分
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
23.本小题分
现有正方形和一个以为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线、交于点、．
如图，若点与点重合，则与的数量关系是______ ；
如图，若点在正方形的中心即两对角线的交点，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
如图，若点在正方形的内部含边界，当时，请探究点在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
如图是点在正方形外部的一种情况当时，请你就“点的位置在各种情况下含外部移动所形成的图形”提出一个正确的结论不必说理
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D、，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，不合题意；
D、，不是最简二次根式，符合题意．
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质对选项、选项、选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：一元二次方程的一般形式是故选A．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，
是菱形，
，
是的中点，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
解得：，，
的形状为等腰直角三角形；
故选：．
首先根据题意可得满足，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得的形状为等腰直角三角形．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【解答】
解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，同时根据一元二次方程的定义考虑二次项系数不为，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：取中点，连接，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，是的中点，
，
四边形是菱形，
同理四边形是菱形，
，
故符合题意；
，，
，
，
垂直平分，
，
故符合题意；
是的中位线，是梯形的中位线，
，，
，
的面积，的面积，
的面积的面积，
，
，
故不符合题意；
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
故符合题意，
正确的是．
故选：．
由条件证明四边形、是菱形，由菱形的性质得到；由平行线等分线段定理，线段垂直平分线的性质定理推出，由三角形、梯形中位线定理推出，由三角形面积公式得到，由菱形的性质，等腰三角形的性质推出．
本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，三角形、梯形中位线定理，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由图可知，，，当点到达点时，的面积为，
，即，
解得：．
即的长为．
四边形是矩形，
，
在中，，
故选：．
由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长，再运用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，勾股定理，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：与轴交于点，与轴交于点，
，，
以为边长作等边三角形，
的横坐标，
，，
，
，
，
的横坐标，
，
的横坐标，
同理可得的横坐标，
的横坐标，
故选：．
求出直线与轴轴的交点，根据题意可得，，可求出的横坐标，的横坐标，的横坐标，的横坐标，即可求解；
本题考查一次函数图象及性质，等边三角形，直角三角形的性质；利用特殊三角形求点的坐标是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
，
故答案为：．
根据二次根式以及分母不为可得：且，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式以及分母不为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
首先根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出的值，进而求出的值，然后把、的值代入计算即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
15.【答案】
【解析】解：设另一个根为，
根据题意得，
解得，
则方程的另一个根为．
故答案为：．
设另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】或
【解析】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号得，，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或，
解得或，
故答案为：或．
先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
纸片沿翻折，使点落在边上的点处，
，，
在中，，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
点坐标为．
故答案为．
先由矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理可计算出，则，设，则，，在中根据勾股定理有，解方程求出，即可确定点坐标．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了点的坐标、矩形的性质以及勾股定理．
18.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
原式
．
【解析】方程利用配方法求出解即可；
首先平方差公式计算乘法，然后化简括号内的二次根式，再计算除法，最后合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解法及运算法则是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：调查学生总数：名，
的频数：，即，
的频率：，即．
故答案为：，；
共名学生，中位数落在范围内．
故答案为：；
获得优秀成绩的学生数：名．
故全校大约有名学生获得优秀成绩．
先根据数据总和频数频率，可求调查学生总数，进一步可求的频数，的频率；
根据中位数的定义即可求解；
根据用样本估计总体即可求解．
本题考查了中位数与用样本估计总体，正确理解中位数、用样本估计总体的定义是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，，
，
解得：，
，
的面积．
【解析】根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据线段垂直平分线性质得出，，根据全等三角形的判定定理得出≌，根据全等三角形的性质得出，再根据菱形的判定推出即可；
根据矩形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，线段垂直平分线性质和全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记矩形的性质是解此题的关键，矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．
21.【答案】解：设的长为，则的长为．
依题意得：，
化简，得，
解得：，舍去，
米，
答：若矩形猪舍的面积为平方米，长和宽分别为米和米；
【解析】设的长为，则的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元．
【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：若点与点重合，则与的数量关系是：；
理由：四边形时正方形，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
故答案为：，
仍成立．
证明：如图，连接、，则
由正方形可得，，，
在和中，
≌
如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形的内部含边界
在移动过程中可形成线段
如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形外部，
在移动过程中可形成直线中除去线段的部分．
根据与全等，可以得出与相等的数量关系；
连接、，则通过判定≌，可以得到；
过点作，作，可以通过判定≌，得出，进而发现点在的平分线上；
可以运用中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列几组线段中，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.下列二次根式中，不是最简二次根式是( )
A. B. C. D.
3.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的一般形式是( )
A. B. C. D.
5.如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于( )
A. B. C. D.
6.已知、、是的三边长，且满足，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7.下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
9.某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11.如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是( )
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，，则点的横坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13.函数的自变量的取值范围是______ ．
14.已知，则______．
15.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______ ．
16.如果关于的方程无解，则的值为______．
17.如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，则点的坐标是______．
三、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
计算：
解方程：；
计算：．
19.本小题分
聚焦“双减”政策，某校利用课后服务时间开展了“感悟与构想”为主题的绘画比赛活动学校名学生全部参加了活动，结果所有学生成绩都不低于分满分分为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩分分组 频数 频率
表中 ______ ， ______ ；
这组数据的中位数落在______ 范围内：
若成绩不小于分为优秀，则全校大约有多少名学生获得优秀成绩．
20.本小题分
如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求的面积．
21.本小题分
如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？
22.本小题分
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
23.本小题分
现有正方形和一个以为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线、交于点、．
如图，若点与点重合，则与的数量关系是______ ；
如图，若点在正方形的中心即两对角线的交点，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
如图，若点在正方形的内部含边界，当时，请探究点在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
如图是点在正方形外部的一种情况当时，请你就“点的位置在各种情况下含外部移动所形成的图形”提出一个正确的结论不必说理
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D、，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，不合题意；
D、，不是最简二次根式，符合题意．
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质对选项、选项、选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：一元二次方程的一般形式是故选A．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，
是菱形，
，
是的中点，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
解得：，，
的形状为等腰直角三角形；
故选：．
首先根据题意可得满足，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得的形状为等腰直角三角形．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【解答】
解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，同时根据一元二次方程的定义考虑二次项系数不为，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：取中点，连接，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，是的中点，
，
四边形是菱形，
同理四边形是菱形，
，
故符合题意；
，，
，
，
垂直平分，
，
故符合题意；
是的中位线，是梯形的中位线，
，，
，
的面积，的面积，
的面积的面积，
，
，
故不符合题意；
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
故符合题意，
正确的是．
故选：．
由条件证明四边形、是菱形，由菱形的性质得到；由平行线等分线段定理，线段垂直平分线的性质定理推出，由三角形、梯形中位线定理推出，由三角形面积公式得到，由菱形的性质，等腰三角形的性质推出．
本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，三角形、梯形中位线定理，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由图可知，，，当点到达点时，的面积为，
，即，
解得：．
即的长为．
四边形是矩形，
，
在中，，
故选：．
由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长，再运用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，勾股定理，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：与轴交于点，与轴交于点，
，，
以为边长作等边三角形，
的横坐标，
，，
，
，
，
的横坐标，
，
的横坐标，
同理可得的横坐标，
的横坐标，
故选：．
求出直线与轴轴的交点，根据题意可得，，可求出的横坐标，的横坐标，的横坐标，的横坐标，即可求解；
本题考查一次函数图象及性质，等边三角形，直角三角形的性质；利用特殊三角形求点的坐标是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
，
故答案为：．
根据二次根式以及分母不为可得：且，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式以及分母不为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
首先根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出的值，进而求出的值，然后把、的值代入计算即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
15.【答案】
【解析】解：设另一个根为，
根据题意得，
解得，
则方程的另一个根为．
故答案为：．
设另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】或
【解析】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号得，，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或，
解得或，
故答案为：或．
先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
纸片沿翻折，使点落在边上的点处，
，，
在中，，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
点坐标为．
故答案为．
先由矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理可计算出，则，设，则，，在中根据勾股定理有，解方程求出，即可确定点坐标．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了点的坐标、矩形的性质以及勾股定理．
18.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
原式
．
【解析】方程利用配方法求出解即可；
首先平方差公式计算乘法，然后化简括号内的二次根式，再计算除法，最后合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解法及运算法则是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：调查学生总数：名，
的频数：，即，
的频率：，即．
故答案为：，；
共名学生，中位数落在范围内．
故答案为：；
获得优秀成绩的学生数：名．
故全校大约有名学生获得优秀成绩．
先根据数据总和频数频率，可求调查学生总数，进一步可求的频数，的频率；
根据中位数的定义即可求解；
根据用样本估计总体即可求解．
本题考查了中位数与用样本估计总体，正确理解中位数、用样本估计总体的定义是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，，
，
解得：，
，
的面积．
【解析】根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据线段垂直平分线性质得出，，根据全等三角形的判定定理得出≌，根据全等三角形的性质得出，再根据菱形的判定推出即可；
根据矩形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，线段垂直平分线性质和全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记矩形的性质是解此题的关键，矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．
21.【答案】解：设的长为，则的长为．
依题意得：，
化简，得，
解得：，舍去，
米，
答：若矩形猪舍的面积为平方米，长和宽分别为米和米；
【解析】设的长为，则的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元．
【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：若点与点重合，则与的数量关系是：；
理由：四边形时正方形，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
故答案为：，
仍成立．
证明：如图，连接、，则
由正方形可得，，，
在和中，
≌
如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形的内部含边界
在移动过程中可形成线段
如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形外部，
在移动过程中可形成直线中除去线段的部分．
根据与全等，可以得出与相等的数量关系；
连接、，则通过判定≌，可以得到；
过点作，作，可以通过判定≌，得出，进而发现点在的平分线上；
可以运用中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
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