重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测
高二数学答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．A 3．C 4．B
5．D 6．C 7．D 8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．ABCD 10．AC 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．①④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）设圆的一般方程为，
则，解得，
圆的一般方程为，
即标准方程为.
（2）设，则圆的圆心到直线的距离，
解得，的最大值为.
16．（1）取的中点，连接，，由，所以，由，所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）由（1）知平面，又平面，所以平面平面，
由，，所以，
又，所以为正三角形，
取，的中点，则，平面平面，
平面，，则，两两垂直，
以为原点，，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间坐标系；
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，所以，，即；
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，则，，即，
设二面角的平面角为，所以，
二面角平面角的余弦值为.
17．（1）不妨设是的右焦点,
则轴,又,
, 不妨设点,则,
又, 的方程为.
（2）设,直线的方程为,
由，整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,，
，
,
,
即,
整理得:,
,或,
当时,直线,过定点,
易知点在椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到的距离最大值为.
18．（1）取，由阿波罗尼斯圆定义可得，
由题知，，代入上式可解得，所以，
所以椭圆C的标准方程为
（2）由题知，显然，直线l的斜率不为0，故设l的方程为，
代入整理得，
设，则，
由得，
由图知，，
易知同号，所以
，令，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值3.
19．（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系.
则由题意可得，，，，，，，.
又分别是的中点，所以，.
所以，，
则，
所以异面直线与成角余弦值为.
（2）解：由（1）可得，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，
即，
令，可得是平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
因为
则，
即，取，可得是平面的一个法向量.
则，
所以平面与平面的夹角正弦值为.
（3）解：由（1）（2）可得，，，，，，.
所以，
所以∥且，所以四边形为平行四边形.
又，
所以，即，
所以四边形为菱形.
又，，
所以.
设是平面的一个法向量，则，
即，取，
则是平面的一个法向量.
又，所以点到平面的距离.
所以四棱锥的体积，
四棱锥的体积
因为，，.
所以在方向上的投影为，
所以点到直线的距离.
同理可得点到直线的距离.
所以四棱锥的侧面积.
所以埃舍尔体的表面积为，体积为.重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方程为，直线的方程为，则直线和的距离为
A． B． C． D．
3．已知，若平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
5．过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且与准线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．过点作直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，点为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的直线，，与抛物线分别交于点A，B和点M，N，点O为坐标原点，则与的面积的倒数的平方和为（ ）
A．1 B．2或 C． D．2或
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
10．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值可能等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
11．已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．双曲线的标准方程为
B．若直线的斜率为2，则
C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点
D．直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线与的交点坐标是 ．
13．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则k= .
14．圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知圆过，，三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点在圆上运动，求的最大值.
16．如图，在三棱锥中，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦值.
17．欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.
(1)求的方程;
(2)设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.
18．已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比（，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的长轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左焦点为E，过点A作直线l交圆于点S，T，求面积的最大值.
19．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与
(1)求异面直线与成角余弦值；
(2)求平面与平面的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.
