六安二中2023-2024学年度第一学期高二年级期末统考
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列{an}中，，为方程x2－10x＋16＝0的两根，则的值为（ ）
A. 32 B. 64 C. 256 D. ±64
2. 设，则“”是“直线与直线”平行的（ ）条件
A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
3. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
4. 如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA与CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 10
8. 已知数列满足，则数列的第2024项为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0.分.
9. 下列结论正确是（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
10. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作直线与圆交于两点，则范围为
B. 圆上有4个点到直线的距离等于1
C. 圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点
11. 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）
A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 动点P的横坐标的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的面积的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
16. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，求与平面所成角的余弦值．
17. 已知正项数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前和.
18. 已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值，
19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
（1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
（3）设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．六安二中2023-2024学年度第一学期高二年级期末统考
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列{an}中，，为方程x2－10x＋16＝0的两根，则的值为（ ）
A. 32 B. 64 C. 256 D. ±64
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，所以，，应选B
考点：等比数列的性质.
2. 设，则“”是“直线与直线”平行（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断.
【详解】当时，直线，直线，此时，
所以直线//，
当//时，，
得，解得，
所以“”是“直线与直线”平行的充要条件，
故选：C
3. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式列方程组，解方程组即可得到的首项和公差，然后利用等差数列的前项和公式求得，即可得到的值.
【详解】设等差数列的公差为，
则由题意得，
解得，
所以，
所以．
故选：A.
4. 如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值.
【详解】平行六面体的各棱长均为，，，
，，
，而，
，
.
故选：B.
5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设，代入椭圆方程，
可得两式相减可，
变形可得，
又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，
所以，
代入上式可得，，又，
解得，所以椭圆的方程为.
故选：C
6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA与CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解
【详解】连接交于，
由题意，以为原点，分别以, ，的方向为x轴，y轴, z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
由正四棱锥的底面边长和高分别为2和1可得，
所以
所以，
设异面直线PA与CE所成的角为，
所以
故选：B
7. 已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设抛物线的焦点为，可得，转化为，当三点共线是取得最小值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设抛物线的焦点为，圆心为，则，，
所以，则当三点共线是取得最小值，
此时，所以的最小值为.
故选：B.
8. 已知数列满足，则数列的第2024项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案.
【详解】即
.
故选：A.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0.分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据求导公式分析判断即可求得结果.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD.
10. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作直线与圆交于两点，则范围为
B. 圆上有4个点到直线的距离等于1
C. 圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A选项 : 确定 点位置, 然后分析圆心 到过点 的直线的距离 , 结合 确定出的范围;对于B选项: 先确定圆心到直线 的距离然后结合图示进行说明；对于C选项:先确定出两圆的位置关系, 然后得到两圆的半径与圆心距的关系, 由此求解出结果; 对于 D选项: 设出 点坐标, 表示出以 为圆心, |QC| 为半径的圆的方程,根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出 CD的方程, 由此确定出所过的定点;
【详解】圆的圆心为，半径，
对于选项：因为，
可知点在圆内，可得圆心到过点的直线的距离，
所以，故正确；
对于选项B：因为圆心到直线的距离，
作且与的距离均为1，如下图所示：
由图可知此时到的距离均为1，所以圆上有4个点
到直线的距离等于1，故B正确；
对于选项C：圆的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即
，解得，所以实数的取值范围为，故C正确；
对于选项D：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故D错误；
故选：ABC
11. 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）
A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 动点P横坐标的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断；令，由在上有解，结合二次函数性质求P横坐标的取值范围判断；由②分析可得，进而求范围判断；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断.
【详解】令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
令，则，
对于，对称轴，
所以在上递增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，正确；
由，由中，，
所以，其中负值舍去，
综上，，又，即，
所以，则，错误；
由，仅当时等号成立，
的面积，
而，所以，
所以的面积的最大值为，正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：,通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出的坐标，根据空间点到平面的距离的向量求法，即可求得点到平面的距离.
【详解】由题意可得，
又是平面的法向量，
则点到平面的距离为，
故答案为：
13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据导数的几何意义结合条件即得.
【详解】由，可得，
所以，
由题意知，，
所以.
故答案为：3.
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.
【详解】
设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，
又，，设的中点为，
在中，，，，
则，，根据，
可知，.
故答案为：.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
【答案】15.
16.
【解析】
【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）根据点关于轴对称的求得对称点，利用直线点斜式方程即可得出结果.
【小问1详解】
由，得直线的斜率为，
线段中点所以，直线的方程为，
即，联立，解得，即，'
所以半径，
所以圆的方程为
【小问2详解】
关于轴的对称点为，
由恰好平分圆的圆周，得经过圆心
，的方程为：，即.
16. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，求与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作交于，过作交于，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
过作交于，过作，交于，连接，
，是的中点，
是的中点，且，
，，是的中点，
，
，且，四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角的余弦值为：．
17. 已知正项数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当时，，和相减并化简可得，即可求得答案；
（2）利用（1）的结果可得的表达式，利用等差数列的前n项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.
【小问1详解】
由得，则，解得，
当时，，所以，
整理得，
因为是正项数列，所以，所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以，
所以
.
18. 已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，，利用韦达定理计算，即可求得值.
（2）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，利用弦长公式求得，再用中点坐标公式求得的纵坐标，消去，最后用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：,
由，消去得，，
则由题意可知：
，
因为，所以,，所以抛物线的方程为：；
【小问2详解】
由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.
设.则：
联立方程：得：.所以.
又知：，得，
当且仅当，即时取等号，则点的纵坐标的最小值为.
19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
（1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
（3）设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．
【答案】（1）不是M数列，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）确定数列无上限即可得；
（2）由等比数列的基本量法求出Sn，根据数列新定义证明即可；
（3）用反证法，假设存在正整数k，使得，由数列是各项均为正整数，得，即，然后利用新定义归纳，这样由可得数列从某一项开始为负，与已知矛盾，从而证得结论．
【小问1详解】
由题意知，故，
则，故，
但等差数列为严格增数列，当时，，所以不是M数列；
【小问2详解】
由，则，即，有，则，
即，则，
则，
又，
即对任意大于零的自然数n，满足条件，且，
即数列是M数列；
【小问3详解】
假设存在正整数k使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得，即，
因为，所以，
由及得，
故，因为，
所以，
由此类推可得，
因为又存在M，使，
∴当时，，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，
即任意大于零的自然数n，都有成立.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义，解题关键是理解新定义，转化为求数列的最大值，研究数列的不等关系，最后一问关键在于用反证法解题．
