初中数学沪教版（五四学制）八年级上册 19.2 线段的垂直平分线 教学设计

线段的垂直平分线 教学设计
单元目标 1 体验几何研究从直观经验，操作实验到演绎推理的演进过程，认识几何直觉和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题，定理，证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。 2 理解逆命题与逆定理；掌握角的平分线，线段的垂直平分线的有关性质；知道轨迹的意义，知道圆，角的平分线，线段的垂直平分线这三条基本轨迹。
章节/课时目标 1初步掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，体会分类讨论思想. 2 能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.
章节/课时重难点 重点: 线段垂直平分线性质定理及其逆定理 难点: 线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用
教学过程（问题链：围绕目标展开）
过程/问题一 创设情境，导入新课 问：上海市普陀区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一所学校，使得它到三个小区的距离相等． 学校应建于何处？ （意图：从生活中的实际问题入手，让学生意识到日常生活中许多问题都可以用数学思想来解决，体现了数学即生活。） 过程/问题二 二．学习新知 1 观察猜想 问：我们已经知道了线段是轴对称图形. 线段的对称轴是什么？ 在直线MN上任取一点P，联结PA,PB, 线段PA和PB相等吗？ 问：通过观察，你发现了什么？ 我们根据线段的轴对称性通过直观演示验证一下。 （意图：通过几何画板的动态操作，归纳得到“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的结论，获得感性认识，为下面的证明提供思考） 问：由此，我们是否可以用文字语言描述出你发现的规律. 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等 （意图:在这环节中引导学生通过观察，大胆猜测，培养了学生直观猜测能力，再通过多媒体的操作演示，激发学生学习及探究的兴趣，充分调动了学生的积极性，也营造了宽松和谐的课堂气氛） 2、推理论证 这个命题是否是真命题呢？还需要证明. 问：如何证明一个命题是真命题？
问：结合上图，此命题的已知、求证是什么？ 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足是点C，点P在直线MN上. 求证：PA=PB. (
C
P
B
A
N
M
) 分析： 问1：如何证明PA=PB？ 问2：如果点P在线段AB上，这种证明方法还行吗？怎么办？ (意图：引导学生利用全等三角形的性质和判定，证明由观察电脑总结出的命题是真命题；然后概括出线段垂直平分线的性质定理.在命题的证明中，要注意点P是否在线段AB上，需要分类讨论.) 证明：∵直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足是点C（已知） ∴MN⊥AB,CA=CB（线段垂直平分线的定义） ∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义） （1）若点P不在线段AB上 在△PAC与△PBC中 ∴△PAC≌△PBC(S.A.S) ∴PA=PB（全等三角形对应边相等） （2）若点P在线段AB上，则点P与点C重合，即PA=PB （意图：让学生去尝试证明，找出问题解决的办法，鼓励学生把他们证明过程表达出来，而表达的过程是学生展示自我的机会，教师充分利用这一机会对学生进行点评，鼓励学生积极上进，让学生感受发现的快乐，感受尝试后收获的快乐。教师则有针对性地引导讲解，规范学生证明过程。） 3、线段垂直平分线的性质定理 这个真命题可简单说成： 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 这就是线段垂直平分线的性质定理. 符号语言表示: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） （意图：定理的概括可由师生共同完成，从“线段相等”到“距离相等”，进一步抽象的要求，增强了定理的应用性.强调线段垂直平分线的性质定理的语言互换，为熟练运用奠定基础） 课堂练习： P105第1题 4、逆定理 问： 我们已经知道了任何一个命题都有逆命题， 线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？ （意图：获得定理的基础上，引导学生研究这个定理的逆命题，这是几何研究的一种方法，并让学生增强运用这一方法主动获取知识的意识.线段的垂直平分线的性质定理没有用“如果…那么…”的形式表述，教学时让学生说出或写出它的逆命题，可能会有一定的难度，教师可帮助学生分析它的题设和结论，再写出其逆命题.） 问：这个逆命题是否也是真命题，下面我们怎样来证明它？ 已知：如图，QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析： 要证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先使它落在AB的垂线上（过点Q作AB的垂线），再证明这条垂线又平分AB, 那么点Q就在AB的垂直平分线上. 问：若点Q在线段AB上，怎么办？ 证明: (1)如果点Q在线段AB上,那么点Q就是线段AB的中点,即在线段AB的垂直平分线上. (2)如果点Q不在线段AB上，过点Q作QD⊥AB，垂足为点D. ∵QA=QB(已知)，QD⊥AB（已作）. ∴AD=BD（等腰三角形三线合一）. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. （意图：通过类比法，学生自主学习，把知识的形成过程转化为学生亲自参与，发现探索的过程，激发学生的学习兴趣。） 5这样就得到了线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆定理的符号语言表示： ∵QA=QB(已知) ∴点Q在线段AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 6、适时小结 用集合的思想看线段的垂直平分线 任何图形都是由点组成的，因此我们可以把图形看成点的集合. 由性质定理和逆定理可知，线段的垂直平分线可以看作是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合. （意图：学生对“集合”的认识很模糊，通过多媒体的辅助动画，帮助学生用集合思想认识线段垂直平分线的两个定理） 过程/问题三 三、综合运用 例1 、 已知：如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上. 分析： 问1：已知OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，想到运用什么？如何用？ 问2：添好辅助线后图中得到了哪些基本图形？ (2) 问3：由图1、2可得什么？ (3) 问4：证明OB=OC的目的是什么？ 证明：分别联结OB、OA、OC. ∵OM是AB的垂直平分线(已知) ∴OA=OB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） 同理，OA=OC. ∴OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） （意图：在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证明。加深对所学知识的理解。） 思考：上题中，除了能得到点O在BC的垂直平分线上，还能得到哪些结论？ 三角形的三条边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离相等. （意图：总结三角形的三条边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离相等.拓广延伸知识内容。） 用数学思想解决实际问题 （意图：再次回到刚开始提出的问题，让学生用学到的数学知识来解决实际问题，学以致用。） 过程/问题…… 四、归纳小结 谈谈这节课你有什么收获、体会或想法 （意图：让学生共同归纳总结的过程中，获得数学思考上的升华，感受成功的喜悦） 过程/问题…… 五、布置作业 1练习册：习题19.4， 2书上练习P105.（3）
板书设计 19.4 线段的垂直平分线 证明：分别联结OB、OA、OC. ∵OM是AB的垂直平分线(已知) ∴OA=OB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） 同理，OA=OC. ∴OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）