高中数学基础知识归类
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高中数学基础知识归类——献给2009年赣马高级中学高三考生
一.集合与简易逻辑、推理
集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件
1.注意区分集合中元素的形式.如：—函数的定义域；—函数的值域。
2.集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集,记为.
②空集是任何集合的子集,记为.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况，如：,如果,求的取值.(答：)
④含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使
,求实数的取值范围.(答：)
若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，则实数x取值范围是 ．
解：不等式即，设.研究“任意a∈[1，3]，恒有”.则，解得。则实数x的取值范围是.
4.四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p
注：1。原命题与 等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其 的真假。
2．命题的否定是“P命题的非P命题，也就是‘ 不变，仅否定 ’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的 ，又否定原命题的 ”。 命题否定形式是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.
5.常见结论的否定形式
原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有个
小于 不小于 至多有个 至少有个
对所有,成立 存在某,不成立 或 且
对任何,不成立 存在某,成立 且 或
6. 全称命题与特称命题
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
7．对集合，“极端”情况： ；
“极端”情况： ；
8．充要条件
（1）定义法----正、反方向推理。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。；
（2）集合解释，满足条件满足条件
9．命题真假
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
10.类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；
（3）一般地，事物之间各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
注意: 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理;类比推理是特殊到特殊的推理。
11. “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；
⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
12．证明
⑴直接证明：综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，
从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵反证法的步骤：
1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
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二.函数
函数概念－函数图象－函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）－特殊函数图象与性质－应用（内部应用、应用题）
1. 映射
①映射:是：⑴ “一对一或多对一”的对应；
⑵中元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；中元素不一定有原象(即象集).
②一一映射:： ⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:
使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;
对数真数,底数且；如的解集：；单调增区间；
零指数幂的底数；
实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.
5.求值域常用方法:
①配方法(二次函数类)；②导数法(一般适用于高次多项式函数)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）
6.求函数解析式的常用方法：
⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组；
（4）坐标转移法。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等；
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数的单调递增区间是.(答：)
函数的单调增区间是.(答：和)你能画出图像吗？
8.函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
⑵翻折变换：；.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②函数与的图像关于原点成中心对称
③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称；
④函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；
⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；
⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；
9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；
⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑷若关于点,对称,则的周期为；
⑸对时,或,则的周期为；
10.对数：⑴；
⑵对数恒等式；
⑶；
；⑷对数换底公式；
推论：.
(以上且均不等于)
11.方程有解(为的值域)；恒成立,
恒成立.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于 ；
若不等式在区间上恒成立,等价于。
2).能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的 .
3).恰成立问题：恒成立最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：；②顶点式：
； ③零点式：.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17. 函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；②对称中心是点；③反函数为；
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三.不等式、线性规划、算法
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若,,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:；；如，等价于或
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；
(2)，(当且仅当时,取等号)；
(3)公式注意变形如：,；若,则(真分数的性质)；
4.证明不等式常用方法：
⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；
⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如：知,可设；,可设；
6.（1）一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：。
(2)指数不等式 ；；
对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。
7．线性规划
二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。
说明：（1）取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线=0两侧，（或）
（3）求的最大值，将直线平移正方向服从；
（4）表示直线的右侧；表示直线上方；
（5）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； ②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________
（6）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（7）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
8.算法
1．程序框图：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。
③
处理框（执行框）；④ 判断框； ⑤ 流程线 ；
5．基本算法语句：
（1）输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量
（2）输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式，例如：PRINT“S=”；S
（3）赋值语句的一般格式：变量=表达式 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
（4）条件语句
（5）循环语句
说明：当型循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”、“先判断后循环”。
循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，满足则执行循环体，一直到不满足就退出；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件不满足就循环，直到满足就退出。
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四.数列、数学归纳法
1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出.如：数列满足，求(答：).
2.等差数列(为常数)
；
3.等差数列的性质：①,；
②(反之不一定成立)；特别地,当时,有；
③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；
⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时,
,,且；.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式(或).也可用的二次函数关系来分析.
⑦若,则；若,则；
若,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.
4.等比数列.
5.等比数列的性质
①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；
③；④(反之不一定成立)；. ⑤等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列. ⑥等比数列当项数为时,；项数为时,.
6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,
(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.②形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
提醒：(1)求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。但是用整体思想可以不免讨论：
如：设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 ；
(2) 不要忽视对于的验证:
已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。
已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an} n≥2的.通项
(3) 用构造法新构造出来的数列的首项容易搞错
已知数列｛an｝满足求an 。
(4) 待定系数法求通项注意设元技巧
设。求的通项公式；
已知数列求an。
7.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. ；；；
常见放缩公式：.
8. 求一般数列中的最大或最小项
“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
9．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).
10.数学归纳法公理：
如果（1）当取第一个值（例如等）时结论正确；
（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确．
那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．
注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；
（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
(4) 游戏:在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．
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五.三角函数
1.终边与终边相同；
2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度()≈.
3. 角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： ；；
三角函数线的特征是：
正弦线 “站在轴上(起点在轴上)”、
余弦线 “躺在轴上(起点是原点)”、
正切线 “站在点处(起点是)”.
4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
②③ 。④；⑤；⑥。
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视为锐角)诱导公式（）可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 变是指 .看符号时要将（不论具体是多少度）一律视为锐角.
6. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
①．三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换
（2）项的分拆与角的配凑。分拆项：sin2x+2cos2x= =1+cos2x；
配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，角的值由 确定。
②证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
③证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
④解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间关系，通常“切化弦”；第三观察代数式结构特点。角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：；；；等；“”的变换：；
、三者中任何一个，都可以视为一个整体，通过换元、平方等手段，互相转化。
7.重要结论：其中）；重要公式；；；.
万能公式：；；.
正弦型曲线的对称轴；对称中心；
余弦型曲线的对称轴；对称中心；
8. 函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：将图象上的点沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到简图.
9.运用整体思想研究对称问题
研究三角复合函数的对称性的通法，一般是将其化归成研究基本三角函数、、的对称性，图像无对称轴，对称中心是注意正切函数对称中心有两个。
求三角函数的单调区间问题的通法是，直接观察基本三角函数、、的单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间。本题中函数的单调区间是是在特定的区间内的，一般是先求出所有的单调区间，然后在看哪些区间落在规定区域内。，令） 则，由于，则在内单调递增区间为和；
求函数在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：根据自变量限定的区域，求出的整体的取值范围，从而把问题转化成求的值域问题。
解复合的三角函数方程，一般是直接解相应的简单的三角函数，根据它们的解，利用整体思想，获得原方程的解。三角方程的解是,即=。{x|Z}．
10.函数的特殊性质：（1）已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调减区间为 。（2）函数的值域可修补：如果，那值域 ，；已知函数值域是 。
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六.平面向量
1. 向量的运算
（1）向量加法设，则+==。
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法
作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
2.设,. (1)；(2).
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使.
3.设,,则；其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.
（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，
则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.
注意:锐角,不同向；为直角；钝角,不反向.
（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.
（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
提醒：一、向量夹角的范围：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB=，其中。
二、向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角，这一点是大家极容易忽视的。在中,,则的值为
三、向量的夹角计算方法要灵活：两个向量夹角是，它的计算方法从代数的角度有三个手段，即向量的数量积定义式和坐标式：=；同时要注意数形结合思想的运用。已知向量，则向量的夹角范围是[，]
四、向量夹角是钝角的充要条件：的夹角为钝角，得到反之，，不能说明夹角为钝角，因为的夹角为时也有因此，的夹角为钝角充要条件是且。设平面向量，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是
4．.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.（1）e·a=a·e=|a|cosθ.
（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=.
（3）a⊥ba·b=0.（4）cosθ=.（5）|a·b|≤|a||b|.
5．.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cos〈a，b〉=；
（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
6. 向量的运算律：（1）交换律：，，；
(2)结合律：，；
（3）分配律：，。
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若,,则；； ⑵若,则.
8.熟记平移公式和定比分点公式.
①当点在线段上时,；当点在线段(或)延长线上时,或.
②,,三点共线存在实数、使得且.
9.三角形中向量性质：
①过边的中点：；
②为的重心；
③为的垂心；
④内心；所在直线过内心.
⑤设,. .
10．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
11.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2－2bccosA； b2=c2+a2－2cacosB； c2=a2+b2－2abcosC
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=；cosB=；cosC=.
12.中,易得：,
①,,.
②,,. ③
④锐角中,,,,类比得钝角结论.
⑤；
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七.直线和圆的方程
曲线与方程－应用
1. 直线的倾斜角的范围是
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；平面向量的夹角：；直线的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2. 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
直线方程法：ax+by+c=0的斜率。方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.过两点的直线的斜率；求导数；点差法
3.直线方程五种形式：
⑴点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.⑵斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过 。
4.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距，常设其方程为；
（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；
（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（4）与直线平行的直线可表示为；
（5）与直线垂直的直线可表示为.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解
5.直线与直线的位置关系：
⑴平行(斜率)且(在轴上截距)；
⑵相交；(3)重合且.
6.直线系方程：
①过两直线：,：.
交点的直线系方程可设为；
②与直线平行的直线系方程可设为；
③与直线垂直的直线系方程可设为.
7.点到直线的距离公式；
两条平行线与的距离是.
设三角形三顶点,,,则重心；
8.有关对称的一些结论
⑴点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,.
⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：
①点：；②轴：；
③轴：； ④原点：；
⑤直线：； ⑥直线：；
⑦直线：.
9. 圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
⑴圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：
提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且).
⑶圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是三角换元：； .
⑷以、为直径的圆的方程；
10点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程
.
①点在圆外；②点在圆内；
③点在圆上.
11圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：；
过圆上一点切线方程为.
12过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.
13直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.
①相离 ②相切 ③相交
14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：两圆相离；
两圆相外切； 两圆相交；
两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.
15.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程.
16.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
17. 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。，解得或m≥。
已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是 ．，解得。
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八.圆锥曲线方程
1. 椭圆： ①方程(a>b>0);参数方程； ②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c； ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b； ⑤准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=,a2=b2+c2 ；
⑥=,当P为短轴端点时∠PF1F2最大； 近地a-c ，远地a+c;
2.双曲线 ：①方程(a,b>0)；②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c； ③e=,c2=a2+b2； ④四点坐标？x,y范围 实虚轴、渐进线交点为中心； ⑤到焦点距离常化为到准线距离； ⑥准线x=、通径(最短焦点弦),
焦准距p= ⑦= ⑧渐进线或; 焦点到渐近线距离为b;
3.抛物线 ①方程y2=2px ； ②定义:|PF|=d准；③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围 轴？焦点F(,0),准线x=-,
④焦半径; 焦点弦＝x1+x2+p; y1y2=－p2, x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2) ⑤通径2p,焦准距p;
4．结论 ⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；②抛物线：⑵弦长公式：；
⑶过两点椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；
⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab； ②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则 ；
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．点 是内心，交于点，则 ； ④当点与椭圆短轴顶点重合时最大；
⑸双曲线中的结论：①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； ②共渐进线的双曲线标准方程为；④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；
③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；
（6）抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x1x2=；y1y2=－p2；<Ⅱ>． ；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<Ⅴ>．。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：<Ⅰ>． ；
<Ⅱ>恒过定点；<Ⅲ>
<Ⅴ>中点轨迹方程：；<Ⅳ>．，则轨迹方程为：；
③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：<Ⅰ>．当时，顶点到点A距离最小，最小值为；<Ⅱ>．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。
5.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.
6. 若，则点在圆的内部；
椭圆，内部任意一点必将对应椭圆上一个点，其中。因此，。
抛物线内部一点，在抛物线上对应一点，其中，，即。其它情况得到同样结论。
双曲线，内部任意一点必将对应双曲线上一个点，其中。因此，。可见双曲线的内部应该是双曲线的两支之间的部分。
7.解析几何与向量综合的有关结论：
⑴给出直线的方向向量或.等于已知直线的斜率或；
⑵给出与相交,等于已知过的中点；
⑶给出,等于已知是的中点;
⑷给出,等于已知与的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一： ①； ②存在实数,使； ③若存在实数,
且；使,等于已知三点共线.
⑹在中,给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).
⑺给出,等于已知,即是直角,给出,等于已
知是钝角或反向共线,给出,等于已知是锐角或同向共线.
⑻在中,给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).
⑼在中,给出,等于已知是中边的中线..
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九.直线、平面、简单几何体
1.（1）三视图包括：正视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和长度；左视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和宽度；俯视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体的长度和宽度；
（2）三视图画法规则：高平齐： 图与 图高要保持平齐；长对正： 图与 图长应对正； 宽相等： 图与 图宽度应相等；先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成 。
（3）斜二测画法应注意的地方：
（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，
把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135° ）；
（２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．
（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度．
如图（1），三角形ABO的面积是6；
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=
3.正四面体(设棱长为)的性质：
①全面积；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；
⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
4.（理科）用向量方法求空间角和距离
⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；
⑵求线面角：设是斜线方向向量,是平面法向量, 与直线则斜线的锐夹角为,，则斜线与平面成角为，或；
注意：得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；
⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则；
(法二)设,是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角；注：不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；
（4)求点面距离：设是法向量,在内取一点,则到距离(即在方向上投影的绝对值)
5. 坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。
(1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系；
(2) OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）；
(3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线，则为平面的法向量。
6. 平行
(1)直线和平面平行
判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
性质定理: 如果一直线和一个平面平行,经过这直线平面和这个平面相交, 那么这条直线和 平行．
(2)平面和平面平行
判定定理: 如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.
推论: 如果一个平面内有两条 直线平行于另一平面内的两条直线, 那么这两个平面平行.
性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．
7.垂直
(1)直线和平面垂直
判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直, 那么这条直线和这个平面垂直．
性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于同一条直线的 平行．
(2)平面和平面垂直
两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,那么两个平面互相垂直.
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面.
8.各类证明的依据：①线面平行;;；
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
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十.排列组合（理科）和概率、统计
1．抽样方法;
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。③从含有个个体的总体中,抽取个体,则每个体第一次被抽到概率,第二次被抽到概率,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.
⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数;
2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数 ；⑵方差
去估计总体方差。⑶样本标准差=
3.(理科)排列数公式:, .
组合数公式：,.
组合数性质：；.
4. (理科)二项式定理：
⑴掌握二项展开式的通项：；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
6. 线性回归
相关系数：
7．独立性检验（分类变量关系）：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随机变量越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，
经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当k>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当k3.841时，认为事件A与B是无关的
8. 统计学最关心的是：我们的数据能提供那些信息. 具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是
（1）如何抽取数据；（2）如何从数据中提取信息；（3）所得结论的可靠性.
案例1 回归分析，函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
作出散点图，得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
案例2 假设检验 假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述H不成立的前提下，有利于H的小概率事件发生，就推断H发生.
例2：某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？
现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.
案例3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验.
例3：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：（吸烟与患肺癌列联表;略）那么吸烟是否对患肺癌有影响？
由列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌.
现在想要推断的论述是 H0：吸烟与患肺癌没有关系 ----略
考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
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十一.导数、复数
导数的意义－导数公式－导数应用（极值最值问题、曲线切线问题）
1.导数的定义：在点处的导数记作.
2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率
①k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧ 。
4.导数的四则运算法则：
5.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数；
注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；
(2)求极值的步骤：
①求导数；
②求方程的根；
③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：
ⅰ求的根；
ⅱ列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值；求区间端点值；
ⅲ把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
6. 积分（1）定积分的定义：，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
①（k为常数）；②；
③（其中a＜c＜b。
（3）定积分求曲边梯形面积；
由三条直线x＝a，x＝b（a如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a（4）几何意义是在区间上的曲线与x轴所围成的图形面积的代数和
微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
7．复数的概念：
形如a+bi(a,b的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
⑴复数的代数表示： ⑵z=a+bi是虚数
⑶z=a+bi是纯虚数 ⑷复数相等：a+bi=c+di
8．复数的代数运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
⑴复数的加减：z 1± z2 = ；类似于合并同类项；
⑵复数的乘法z1.z2 = ，即多项式乘法法则；
⑶复数的除法：z1÷z2 =z2≠0)，即转化为分母实数化；分子分母约分；或等式两边去分母。
9.几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸性质：T=4；；
（6）若，则=0；（7）。
（8）；（9）；（9）；（9）；
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十二、排列组合和概率、统计（理科）
1.频率分布直方图、折线图与茎叶图
样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
2. 随机事件的概率:事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。
古典概型：；
几何概型： ；
3.互斥事件有一个发生的概率公式为：；
相互独立事件同时发生的概率公式为；
如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；
如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；
条件概率:已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
4.(理科)随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示。
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(a、b是常数)也是随机变量。
5．(理科)离散性随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量可能取得值为：
X1，X2，…，X3，…，
取每一个值Xi（I=1，2，…）的概率为P（，则称表
X1 X2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量的概率分布，简称的分布列。
两条基本性质：①…)；②P1+P2+…=1。
6．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
(1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）；
(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)=CPk(1－P)n-k。
7．随机变量的均值和方差
（1）随机变量的均值…；反映随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的方差：……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
基本性质：；。
8．几种特殊的分布列
（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1－P，均值为E=p，方差为D=p（1－p）。
（2）超几何分布:重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”。所以，其分布列为：
ξ 1 2 … n …
P p p(1－p) … …
（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：
记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。
9．正态分布:正态分布密度函数：，均值为Eε=μ，方差为。
正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
（2）曲线关于直线x =μ对称。
（3）曲线在x =μ时位于最高点。
（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是R，但实际上取区间(μ-3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
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十二、矩阵
1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵
（2）零矩阵
（3）行矩阵：[a11,a12]
列矩阵：，一般用，等表示。
（4）行向量与列向量. 列向量：P（x，y）向量OP， （x，y）
2. 二阶行矩与平面向量的乘法=
3. 二阶行矩的乘法:一般地，
=。,表示几何意义是什么？
4.几种常见的平面变换
(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：
(2) 伸压变换:
(3) 反射变换：。
（4）旋转变换：（5）投影变换：
（6）切变换：
5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。
6利用逆矩阵解方程组
可以表示成=，简写成,
7.特征值和特征向量
（1）,如果存在和非零向量满足=，即,则叫A的一个特征值，叫特征向量。
8. 是A的一个特征值，求特征向量
解方程组，取或者，写出相应的向量；
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十三、参数极坐标
1.极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，
则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
2.极坐标和直角坐标互化公式
或 ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.
（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.
（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
3.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
十四 定积分
（1）概念：用分点a＝x0这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，
函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
（2）基本的积分公式：
＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；
＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（3）定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
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十五、数学思想
1. 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
2．应用函数与方程思想的常见题型
(1) 函数和方程相互渗透。对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。
(2) 函数、不等式相互转化。有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析。对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
(4) 实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。
(5)遇到多元变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系。
(6)函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(7) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(8)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
已知f(x)=(x－a)(x－b)－2（aA、α答案：A 点评：未能抓住两个二次函数f(x)=(x－a)(x－b)－2与g(x)=(x－a)(x－b)的个性特征及联系，导致瞎猜。
本卷共26页 第１页
一.集合与简易逻辑、推理
集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件
1.注意区分集合中元素的形式.如：—函数的定义域；—函数的值域。
2.集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集,记为.
②空集是任何集合的子集,记为.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况，如：,如果,求的取值.(答：)
④含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使
,求实数的取值范围.(答：)
若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，则实数x取值范围是 ．
解：不等式即，设.研究“任意a∈[1，3]，恒有”.则，解得。则实数x的取值范围是.
4.四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p
注：1。原命题与 等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其 的真假。
2．命题的否定是“P命题的非P命题，也就是‘ 不变，仅否定 ’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的 ，又否定原命题的 ”。 命题否定形式是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.
5.常见结论的否定形式
原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有个
小于 不小于 至多有个 至少有个
对所有,成立 存在某,不成立 或 且
对任何,不成立 存在某,成立 且 或
6. 全称命题与特称命题
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
7．对集合，“极端”情况： ；
“极端”情况： ；
8．充要条件
（1）定义法----正、反方向推理。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。；
（2）集合解释，满足条件满足条件
9．命题真假
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
10.类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；
（3）一般地，事物之间各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
注意: 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理;类比推理是特殊到特殊的推理。
11. “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；
⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
12．证明
⑴直接证明：综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，
从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵反证法的步骤：
1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
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二.函数
函数概念－函数图象－函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）－特殊函数图象与性质－应用（内部应用、应用题）
1. 映射
①映射:是：⑴ “一对一或多对一”的对应；
⑵中元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；中元素不一定有原象(即象集).
②一一映射:： ⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:
使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;
对数真数,底数且；如的解集：；单调增区间；
零指数幂的底数；
实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.
5.求值域常用方法:
①配方法(二次函数类)；②导数法(一般适用于高次多项式函数)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）
6.求函数解析式的常用方法：
⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组；
（4）坐标转移法。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等；
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数的单调递增区间是.(答：)
函数的单调增区间是.(答：和)你能画出图像吗？
8.函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
⑵翻折变换：；.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②函数与的图像关于原点成中心对称
③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称；
④函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；
⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；
⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；
9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；
⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑷若关于点,对称,则的周期为；
⑸对时,或,则的周期为；
10.对数：⑴；
⑵对数恒等式；
⑶；
；⑷对数换底公式；
推论：.
(以上且均不等于)
11.方程有解(为的值域)；恒成立,
恒成立.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于 ；
若不等式在区间上恒成立,等价于。
2).能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的 .
3).恰成立问题：恒成立最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：；②顶点式：
； ③零点式：.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17. 函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；②对称中心是点；③反函数为；
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三.不等式、线性规划、算法
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若,,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:；；如，等价于或
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；
(2)，(当且仅当时,取等号)；
(3)公式注意变形如：,；若,则(真分数的性质)；
4.证明不等式常用方法：
⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；
⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如：知,可设；,可设；
6.（1）一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：。
(2)指数不等式 ；；
对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。
7．线性规划
二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。
说明：（1）取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线=0两侧，（或）
（3）求的最大值，将直线平移正方向服从；
（4）表示直线的右侧；表示直线上方；
（5）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； ②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________
（6）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（7）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
8.算法
1．程序框图：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。
③
处理框（执行框）；④ 判断框； ⑤ 流程线 ；
5．基本算法语句：
（1）输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量
（2）输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式，例如：PRINT“S=”；S
（3）赋值语句的一般格式：变量=表达式 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
（4）条件语句
（5）循环语句
说明：当型循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”、“先判断后循环”。
循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，满足则执行循环体，一直到不满足就退出；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件不满足就循环，直到满足就退出。
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四.数列、数学归纳法
1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出.如：数列满足，求(答：).
2.等差数列(为常数)
；
3.等差数列的性质：①,；
②(反之不一定成立)；特别地,当时,有；
③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；
⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时,
,,且；.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式(或).也可用的二次函数关系来分析.
⑦若,则；若,则；
若,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.
4.等比数列.
5.等比数列的性质
①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；
③；④(反之不一定成立)；. ⑤等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列. ⑥等比数列当项数为时,；项数为时,.
6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,
(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.②形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
提醒：(1)求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。但是用整体思想可以不免讨论：
如：设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 ；
(2) 不要忽视对于的验证:
已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。
已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an} n≥2的.通项
(3) 用构造法新构造出来的数列的首项容易搞错
已知数列｛an｝满足求an 。
(4) 待定系数法求通项注意设元技巧
设。求的通项公式；
已知数列求an。
7.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. ；；；
常见放缩公式：.
8. 求一般数列中的最大或最小项
“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
9．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).
10.数学归纳法公理：
如果（1）当取第一个值（例如等）时结论正确；
（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确．
那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．
注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；
（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
(4) 游戏:在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．
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五.三角函数
1.终边与终边相同；
2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度()≈.
3. 角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： ；；
三角函数线的特征是：
正弦线 “站在轴上(起点在轴上)”、
余弦线 “躺在轴上(起点是原点)”、
正切线 “站在点处(起点是)”.
4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
②③ 。④；⑤；⑥。
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视为锐角)诱导公式（）可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 变是指 .看符号时要将（不论具体是多少度）一律视为锐角.
6. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
①．三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换
（2）项的分拆与角的配凑。分拆项：sin2x+2cos2x= =1+cos2x；
配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，角的值由 确定。
②证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
③证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
④解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间关系，通常“切化弦”；第三观察代数式结构特点。角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：；；；等；“”的变换：；
、三者中任何一个，都可以视为一个整体，通过换元、平方等手段，互相转化。
7.重要结论：其中）；重要公式；；；.
万能公式：；；.
正弦型曲线的对称轴；对称中心；
余弦型曲线的对称轴；对称中心；
8. 函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：将图象上的点沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到简图.
9.运用整体思想研究对称问题
研究三角复合函数的对称性的通法，一般是将其化归成研究基本三角函数、、的对称性，图像无对称轴，对称中心是注意正切函数对称中心有两个。
求三角函数的单调区间问题的通法是，直接观察基本三角函数、、的单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间。本题中函数的单调区间是是在特定的区间内的，一般是先求出所有的单调区间，然后在看哪些区间落在规定区域内。，令） 则，由于，则在内单调递增区间为和；
求函数在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：根据自变量限定的区域，求出的整体的取值范围，从而把问题转化成求的值域问题。
解复合的三角函数方程，一般是直接解相应的简单的三角函数，根据它们的解，利用整体思想，获得原方程的解。三角方程的解是,即=。{x|Z}．
10.函数的特殊性质：（1）已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调减区间为 。（2）函数的值域可修补：如果，那值域 ，；已知函数值域是 。
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六.平面向量
1. 向量的运算
（1）向量加法设，则+==。
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法
作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
2.设,. (1)；(2).
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使.
3.设,,则；其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.
（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，
则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.
注意:锐角,不同向；为直角；钝角,不反向.
（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.
（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
提醒：一、向量夹角的范围：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB=，其中。
二、向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角，这一点是大家极容易忽视的。在中,,则的值为
三、向量的夹角计算方法要灵活：两个向量夹角是，它的计算方法从代数的角度有三个手段，即向量的数量积定义式和坐标式：=；同时要注意数形结合思想的运用。已知向量，则向量的夹角范围是[，]
四、向量夹角是钝角的充要条件：的夹角为钝角，得到反之，，不能说明夹角为钝角，因为的夹角为时也有因此，的夹角为钝角充要条件是且。设平面向量，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是
4．.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.（1）e·a=a·e=|a|cosθ.
（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=.
（3）a⊥ba·b=0.（4）cosθ=.（5）|a·b|≤|a||b|.
5．.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cos〈a，b〉=；
（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
6. 向量的运算律：（1）交换律：，，；
(2)结合律：，；
（3）分配律：，。
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若,,则；； ⑵若,则.
8.熟记平移公式和定比分点公式.
①当点在线段上时,；当点在线段(或)延长线上时,或.
②,,三点共线存在实数、使得且.
9.三角形中向量性质：
①过边的中点：；
②为的重心；
③为的垂心；
④内心；所在直线过内心.
⑤设,. .
10．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
11.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2－2bccosA； b2=c2+a2－2cacosB； c2=a2+b2－2abcosC
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=；cosB=；cosC=.
12.中,易得：,
①,,.
②,,. ③
④锐角中,,,,类比得钝角结论.
⑤；
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七.直线和圆的方程
曲线与方程－应用
1. 直线的倾斜角的范围是
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；平面向量的夹角：；直线的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2. 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
直线方程法：ax+by+c=0的斜率。方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.过两点的直线的斜率；求导数；点差法
3.直线方程五种形式：
⑴点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.⑵斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过 。
4.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距，常设其方程为；
（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；
（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（4）与直线平行的直线可表示为；
（5）与直线垂直的直线可表示为.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解
5.直线与直线的位置关系：
⑴平行(斜率)且(在轴上截距)；
⑵相交；(3)重合且.
6.直线系方程：
①过两直线：,：.
交点的直线系方程可设为；
②与直线平行的直线系方程可设为；
③与直线垂直的直线系方程可设为.
7.点到直线的距离公式；
两条平行线与的距离是.
设三角形三顶点,,,则重心；
8.有关对称的一些结论
⑴点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,.
⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：
①点：；②轴：；
③轴：； ④原点：；
⑤直线：； ⑥直线：；
⑦直线：.
9. 圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
⑴圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：
提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且).
⑶圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是三角换元：； .
⑷以、为直径的圆的方程；
10点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程
.
①点在圆外；②点在圆内；
③点在圆上.
11圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：；
过圆上一点切线方程为.
12过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.
13直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.
①相离 ②相切 ③相交
14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：两圆相离；
两圆相外切； 两圆相交；
两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.
15.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程.
16.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
17. 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。，解得或m≥。
已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是 ．，解得。
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八.圆锥曲线方程
1. 椭圆： ①方程(a>b>0);参数方程； ②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c； ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b； ⑤准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=,a2=b2+c2 ；
⑥=,当P为短轴端点时∠PF1F2最大； 近地a-c ，远地a+c;
2.双曲线 ：①方程(a,b>0)；②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c； ③e=,c2=a2+b2； ④四点坐标？x,y范围 实虚轴、渐进线交点为中心； ⑤到焦点距离常化为到准线距离； ⑥准线x=、通径(最短焦点弦),
焦准距p= ⑦= ⑧渐进线或; 焦点到渐近线距离为b;
3.抛物线 ①方程y2=2px ； ②定义:|PF|=d准；③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围 轴？焦点F(,0),准线x=-,
④焦半径; 焦点弦＝x1+x2+p; y1y2=－p2, x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2) ⑤通径2p,焦准距p;
4．结论 ⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；②抛物线：⑵弦长公式：；
⑶过两点椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；
⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab； ②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则 ；
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．点 是内心，交于点，则 ； ④当点与椭圆短轴顶点重合时最大；
⑸双曲线中的结论：①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； ②共渐进线的双曲线标准方程为；④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；
③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；
（6）抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x1x2=；y1y2=－p2；<Ⅱ>． ；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<Ⅴ>．。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：<Ⅰ>． ；
<Ⅱ>恒过定点；<Ⅲ>
<Ⅴ>中点轨迹方程：；<Ⅳ>．，则轨迹方程为：；
③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：<Ⅰ>．当时，顶点到点A距离最小，最小值为；<Ⅱ>．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。
5.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.
6. 若，则点在圆的内部；
椭圆，内部任意一点必将对应椭圆上一个点，其中。因此，。
抛物线内部一点，在抛物线上对应一点，其中，，即。其它情况得到同样结论。
双曲线，内部任意一点必将对应双曲线上一个点，其中。因此，。可见双曲线的内部应该是双曲线的两支之间的部分。
7.解析几何与向量综合的有关结论：
⑴给出直线的方向向量或.等于已知直线的斜率或；
⑵给出与相交,等于已知过的中点；
⑶给出,等于已知是的中点;
⑷给出,等于已知与的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一： ①； ②存在实数,使； ③若存在实数,
且；使,等于已知三点共线.
⑹在中,给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).
⑺给出,等于已知,即是直角,给出,等于已
知是钝角或反向共线,给出,等于已知是锐角或同向共线.
⑻在中,给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).
⑼在中,给出,等于已知是中边的中线..
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九.直线、平面、简单几何体
1.（1）三视图包括：正视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和长度；左视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和宽度；俯视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体的长度和宽度；
（2）三视图画法规则：高平齐： 图与 图高要保持平齐；长对正： 图与 图长应对正； 宽相等： 图与 图宽度应相等；先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成 。
（3）斜二测画法应注意的地方：
（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，
把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135° ）；
（２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．
（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度．
如图（1），三角形ABO的面积是6；
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=
3.正四面体(设棱长为)的性质：
①全面积；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；
⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
4.（理科）用向量方法求空间角和距离
⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；
⑵求线面角：设是斜线方向向量,是平面法向量, 与直线则斜线的锐夹角为,，则斜线与平面成角为，或；
注意：得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；
⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则；
(法二)设,是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角；注：不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；
（4)求点面距离：设是法向量,在内取一点,则到距离(即在方向上投影的绝对值)
5. 坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。
(1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系；
(2) OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）；
(3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线，则为平面的法向量。
6. 平行
(1)直线和平面平行
判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
性质定理: 如果一直线和一个平面平行,经过这直线平面和这个平面相交, 那么这条直线和 平行．
(2)平面和平面平行
判定定理: 如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.
推论: 如果一个平面内有两条 直线平行于另一平面内的两条直线, 那么这两个平面平行.
性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．
7.垂直
(1)直线和平面垂直
判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直, 那么这条直线和这个平面垂直．
性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于同一条直线的 平行．
(2)平面和平面垂直
两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,那么两个平面互相垂直.
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面.
8.各类证明的依据：①线面平行;;；
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
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十.排列组合（理科）和概率、统计
1．抽样方法;
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。③从含有个个体的总体中,抽取个体,则每个体第一次被抽到概率,第二次被抽到概率,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.
⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数;
2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数 ；⑵方差
去估计总体方差。⑶样本标准差=
3.(理科)排列数公式:, .
组合数公式：,.
组合数性质：；.
4. (理科)二项式定理：
⑴掌握二项展开式的通项：；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
6. 线性回归
相关系数：
7．独立性检验（分类变量关系）：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随机变量越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，
经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当k>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当k3.841时，认为事件A与B是无关的
8. 统计学最关心的是：我们的数据能提供那些信息. 具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是
（1）如何抽取数据；（2）如何从数据中提取信息；（3）所得结论的可靠性.
案例1 回归分析，函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
作出散点图，得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
案例2 假设检验 假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述H不成立的前提下，有利于H的小概率事件发生，就推断H发生.
例2：某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？
现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.
案例3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验.
例3：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：（吸烟与患肺癌列联表;略）那么吸烟是否对患肺癌有影响？
由列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌.
现在想要推断的论述是 H0：吸烟与患肺癌没有关系 ----略
考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
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十一.导数、复数
导数的意义－导数公式－导数应用（极值最值问题、曲线切线问题）
1.导数的定义：在点处的导数记作.
2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率
①k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧ 。
4.导数的四则运算法则：
5.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数；
注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；
(2)求极值的步骤：
①求导数；
②求方程的根；
③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：
ⅰ求的根；
ⅱ列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值；求区间端点值；
ⅲ把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
6. 积分（1）定积分的定义：，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
①（k为常数）；②；
③（其中a＜c＜b。
（3）定积分求曲边梯形面积；
由三条直线x＝a，x＝b（a
微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
7．复数的概念：
形如a+bi(a,b的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
⑴复数的代数表示： ⑵z=a+bi是虚数
⑶z=a+bi是纯虚数 ⑷复数相等：a+bi=c+di
8．复数的代数运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
⑴复数的加减：z 1± z2 = ；类似于合并同类项；
⑵复数的乘法z1.z2 = ，即多项式乘法法则；
⑶复数的除法：z1÷z2 =z2≠0)，即转化为分母实数化；分子分母约分；或等式两边去分母。
9.几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸性质：T=4；；
（6）若，则=0；（7）。
（8）；（9）；（9）；（9）；
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十二、排列组合和概率、统计（理科）
1.频率分布直方图、折线图与茎叶图
样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
2. 随机事件的概率:事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。
古典概型：；
几何概型： ；
3.互斥事件有一个发生的概率公式为：；
相互独立事件同时发生的概率公式为；
如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；
如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；
条件概率:已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
4.(理科)随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示。
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(a、b是常数)也是随机变量。
5．(理科)离散性随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量可能取得值为：
X1，X2，…，X3，…，
取每一个值Xi（I=1，2，…）的概率为P（，则称表
X1 X2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量的概率分布，简称的分布列。
两条基本性质：①…)；②P1+P2+…=1。
6．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
(1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）；
(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)=CPk(1－P)n-k。
7．随机变量的均值和方差
（1）随机变量的均值…；反映随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的方差：……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
基本性质：；。
8．几种特殊的分布列
（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1－P，均值为E=p，方差为D=p（1－p）。
（2）超几何分布:重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”。所以，其分布列为：
ξ 1 2 … n …
P p p(1－p) … …
（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：
记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。
9．正态分布:正态分布密度函数：，均值为Eε=μ，方差为。
正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
（2）曲线关于直线x =μ对称。
（3）曲线在x =μ时位于最高点。
（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是R，但实际上取区间(μ-3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
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十二、矩阵
1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵
（2）零矩阵
（3）行矩阵：[a11,a12]
列矩阵：，一般用，等表示。
（4）行向量与列向量. 列向量：P（x，y）向量OP， （x，y）
2. 二阶行矩与平面向量的乘法=
3. 二阶行矩的乘法:一般地，
=。,表示几何意义是什么？
4.几种常见的平面变换
(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：
(2) 伸压变换:
(3) 反射变换：。
（4）旋转变换：（5）投影变换：
（6）切变换：
5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。
6利用逆矩阵解方程组
可以表示成=，简写成,
7.特征值和特征向量
（1）,如果存在和非零向量满足=，即,则叫A的一个特征值，叫特征向量。
8. 是A的一个特征值，求特征向量
解方程组，取或者，写出相应的向量；
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十三、参数极坐标
1.极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，
则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
2.极坐标和直角坐标互化公式
或 ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.
（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.
（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
3.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
十四 定积分
（1）概念：用分点a＝x0
函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
（2）基本的积分公式：
＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；
＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（3）定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
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十五、数学思想
1. 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
2．应用函数与方程思想的常见题型
(1) 函数和方程相互渗透。对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。
(2) 函数、不等式相互转化。有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析。对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
(4) 实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。
(5)遇到多元变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系。
(6)函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(7) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(8)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
已知f(x)=(x－a)(x－b)－2（a
本卷共26页 第１页
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