2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似 单元测试（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似
一、单选题
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是线段上黄金分割点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将缩小为原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若线段，，则a和b的比例中项线段等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于点，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．1
7．如图，在中，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（ ）
A．8 B．8.5 C． D．
二、填空题
9．已知，则 ．
10．如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ．
11．如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为 ．
12．如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ．
13．阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．

14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高 ．
15．如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为 （保留根号）．
16．如图，将沿边向右平移得到，交于点．若，则的值为 ．
三、解答题
17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．

(1)在图中画，使得与的相似比为．
(2)在图中画出的重心．
18．如图在中，为上一点，平分，．
(1)求证：；
(2)若，．求的长．
19．如图，点A是半径为4的上一点，自点A过圆心作线段，使，过点作的切线，切点为，过点A作切线的垂线，垂足为．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．已知与都是等腰直角三角形，，，．
(1)将两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点与点重合，，，三点在同一条直线上，连接，，求证：．
(2)将两个等腰直角三角形按如图2所示放置，点与点重合，，，三点在同一条直线上，连接，，分别与，相交于点，，与相交于点．
①若，求的长．
②求证：．
21．在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
(1)当点在线段上时，求证：；
(2)当点与点重合时，求的长；
(3)若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
(4)当为等腰三角形时，直接写出的长．
22．如图1，在矩形中，点是对角线上的动点，连接，过点作，分别交于点，交于点．

(1)当时，求证：；
(2)如图2，是的中点，连接交于点，．

①判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查比例的性质，根据，设，则，将其代入中，即可解题．
【详解】解：，
设，则，有，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍是解题的关键．
由黄金分割的公式求出的长，即可得出答案．
【详解】解：∵线段，C是AB的一个黄金分割点，且，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查关于位似变换的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标乘以或是解题的关键．根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点的坐标是，点位于第一象限，
点的横坐标是，纵坐标是，即．
故选：．
4．B
【分析】本题考查了比例中项．熟练掌握比例中项是解题的关键．
根据比例中项的定义求解即可．
【详解】解：设比例中项线段为，，
依题意得，，即，
解得，或（舍去），
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质， 过点O作，交于点G，先由和平行四边形的性质说明是的中位线并求出，再判断，最后由相似三角形的性质得结论．
【详解】解：过点O作，交于点G．
∵四边形是平行四边形，是对角线与的交点，
∴，点是的中点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先证明，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故选：A．
8．A
【分析】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识．由翻折得，，证明，得出，得出，，推出，整理得，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长是8，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了比例的性质，设代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：观察图象可知，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用平行线的性质解答即可，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
12．/25度
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键．首先求出线段、、的长度用表示，求出两个三角形对应边的比，进而证明，得出，问题即可解决．
【详解】解：设小正方形的边长为，
由勾股定理得：
，
，
而
同理可证：，，
，
即，
，
，
，
∴．
故答案为：．
13．21
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
，
cm．
故答案为：21．
14．3.7
【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】解：由题意知，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.7．
15．
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，解题的关键是熟练掌握其概念“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．”
根据比值叫做黄金比进行计算即可得到答案．
【详解】解：依题意得：，
，
故答案为：．
16．4
【分析】本题考查平移的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，由平移的性质得到：，，由，得到，由，推出，即可求出．
【详解】解：由平移的性质得到：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
17．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）根据相似三角形的性质作出图形即可；
（）根据三角形重心的定义即可得到结论；
本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键．
【详解】（1）画图如图，

由网格可知：，，，
，，，
∴，
∴与相似且相似比为，
∴即为所求；
（2）画图如图，

由和为的中线，
∴点是的重心，
∴点即为所求．
18．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．
（1）首先根据角平分线的定义和等腰三角形“等边对等角”的性质证明，结合即可证明；
（2）首先根据题意可得，，再由相似三角形的性质可得，然后计算出的，进而可求得的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，解得，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线性质得出，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，即可证明，得出答案；
（2）证明，得出，即，求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
20．(1)见解析
(2)① ②见解析
【分析】（1）直接利用证明全等即可解题；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到，，得到，即可解题；
②作的外接圆交于点，连接，先证明、B、C、P四点共圆，然后证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）①解：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴；
②证明：作的外接圆交于点，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴点P、Q两点重合，即、B、C、P 四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)；
(3)秒；
(4)或6
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）说明再结合即可证明结论；
（2）先用勾股定理求得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）分点在线段上和延长线上两种情况，分别求得所需的时间，然后作差即可；
（4）分点在线段上和延长线上两种情况，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，
，，
．
（2）解：在中，，
由（1）知，
，即，解得：．
（3）解：①当点在线段上时，若，则，
∵，
∴ ，
，解得：，
∴运动的时长为（秒）；
②当点在线段的延长线上时，若，则，
∵，
∴，
，
点运动的时长为（秒）；
综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）．
（4）解：如图1，当点在线段上时，
若为等腰三角形，则，
∵，
∴，即，解得：，
；
如图2，当点在线段的延长线上时，若为等腰三角形，则，
，
，
.，，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可证明；
（2）①过点作，交于，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
②延长交于点，，得到，再证明，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：，
． 　
四边形是矩形，
．
．
，
．
．
，
；
（2）解：①，理由如下：
过点作，交于，如图．

∴，
∴，
是的中点，
是的中点．
，
．
，
．
；
②延长交于点，如图．

四边形是矩形，
．
．
，
．
．
．
．
，
，
．
，
，
．
，
是的中点，
．
，
．
．
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)