2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似压轴题经典题型（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似压轴题经典题型
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
2．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.
4．如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）如图，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）当点是的中点时，．
①求的长；
②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
5．如图，是的直径，是的弦，切于点，交射线的延长线于点点在直线上，．
（1）用尺规作出点要求：不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接，直线与相交于点，，．
①求的半径；
②连接，平分吗？为什么？
6．
（1）【模型建立】
如图1，在等边中，点D、E分别在BC、AC边上，，求证：；
（2）【模型应用】
如图2，在中，，，于点D，点E在AC边上，，点F在DC边上，，则的值为　 　；
（3）【模型拓展】
如图3，在钝角中，，点D、E分别在BC、AC边上，，若，，求DC的长．
7．如图，在四边形中，，点分别在边和边上，.点在上从点匀速运动到点时，点恰好从上某一点匀速运动到点，记，已知.
（1）求证：.
（2）求的长与的值.
（3）连结.
①当直线与一边垂直时，求所有满足条件的的值.
②线段绕点顺时针旋转得到线段，当点恰好落在上时，求和的面积比.
8．如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图（1），有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两长边被线段和抛物线截得两线段，.设点D的横坐标为t，且，试比较线段与的大小；
（3）如图（2），将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，M是x轴正半轴上一动点，.经过点M的直线交抛物线于P，Q两点.当点M运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线，使，求点M的坐标.
9．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转.
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长.
10．如图，在矩形中，，.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示线段的长.
（2）以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且.
①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值.
②当点M在矩形内部时，直接写出t的取值范围.
（3）点E在边上，且.在线段上只存在一点F，使，直接写出t的取值范围.
11．如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为.
（1）判断直线与的位置关系并证明.
（2）若，，，求的半径.
12．如图，是的直径，弦平分.
（1）过点作的切线，交于点（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，与相似吗？为什么？
13．如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E.
（1）若，求的值.
（2）当时，
①若，，求的度数.
②若，，求线段的长.
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
2．【答案】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=12（m）．
3．【答案】（1）解：将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6.
（2）解：过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示.
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）.
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6.
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴，
∴当时，△PBC面积取最大值，最大值为 .
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3.
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴ ，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴ ，
解得 ，
∴M（，），
此时N（0，）.
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或，△CMN与△OBC相似，
解得或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为，N（0，）或N（0，﹣）.
综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
4．【答案】（1）证明：如图，点在的外接圆上，
，
，
．
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：解：结论：，
理由：如图，延长交于点，
，，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
≌，
，，
，
，
，
；
（3）解：解：由知．
，
．
是的中点，
，
，
，
存在或，
当时，如图，，
，
度，
是圆的直径，
，
；
当时，如图，连结；
是圆的直径，
，
∽，
，
，
综上所述，的长是或．
5．【答案】（1）解：如图，以为圆心为半径作弧，交直线于点，点即为所求，
（2）解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
∽，
：：，
设半径为，
则：：，解得；
不平分，理由如下：
连接，，，过点作交的延长线于点，
，，，，
，
，
，
∽，
：：：，
在中，，
在中，，
，，
，
设到距离为，到的距离为，
：：：，
，
若平分，则，
不平分．
6．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴
∴；
（2）
（3）解：在DC上截取，连接EF，如图，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
7．【答案】（1）证明：∵∠A=∠B=90°，AE=BF，DE=EF，
∴Rt△AED≌Rt△BFE（HL），
∴∠AED=∠BFE，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠DEF=180°-（∠BEF+∠AED）=90°
∴DE⊥EF；
（2）解：令y=4-x中的x=0，得y=4，
∴AD=4，
∵Rt△AED≌Rt△BFE，
∴BE=AD=4，
∵AE=3，
∴ED=EF=CF=5，
∴BC=BF+CF=8，∠FEC=∠FCE，
∵∠DEC+∠FEC=90°，∠BEC+∠FCE=90°，
∴∠DEC=∠BEC，
∴tan∠DEC=tan∠BEC==2；
（3）解：①(i)如图1，当HI⊥BC时，
即
（ⅱ）如图2，当HI⊥CE时，作KE⊥EC，∴HI∥KE，
即
由图可知，HI不可能垂直BE，
综上所述，当时，直线HI与△BCE一边垂直；
②如图3，作HP⊥ED于点P，JQ⊥ED于点Q，IR⊥AD于点R，
∵
∴
∴
，
8．【答案】（1）解：
（2）解：由题意得：点D的横坐标为t
∴点F的横坐标为，点E的横坐标为t，点G的横坐标为，
且点D、F都在抛物线上，点E、G都在直线上，
由（1）得：抛物线的解析式为，
∴把代入得：，
把代入得：，
∴点D的坐标为，点F的坐标为，
由（1）得：抛物线的解析式为，
∴点C的坐标为，
∵点B的坐标为，
∴设直线的解析式为，
把点B、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴把代入得：，把代入得：，
∴点E的坐标为，点G的坐标为，
∴，，
∴，
①当时，即时，，
②当时，即时，
∵，
∴时，，
③当时，即时，
∵，
∴时，；
（3）解：过点P作轴，垂足为H，过点Q作轴，垂足为T，如图所示，
∵抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，
由（1）得：抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向上平移了4个单位长度，向左平移了1个单位长度得到了抛物线，
∴抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为，
∴设点P、Q坐标为，
∴点H、T的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点N的坐标为，
即，
∴，
∵M是x轴正半轴上一动点，
∴设点M坐标为，直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴直线的解析式为，
联立直线与得：，
由韦达定理得：，，
∴，
代入①得：，
由题意得：方程有唯一实数根，
当时，即时，符合条件，
当时，，不符合题意，
综上，，
∴点M坐标为.
9．【答案】（1）解： ，
在正方形 和等腰直角三角形 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 ，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，即
∴ 为直角三角形，
∴
∴
（3）解：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ .
10．【答案】（1）解：当时，，
当时，
（2）解：①当点Q在边上，且点M落在上时，如图①，
四边形、都是是矩形，
，，
，，
，
，
，
即，解得；
②或
（3）解：或或
11．【答案】（1）解：直线是的切线；
证明：连接，如图所示：
∵在中，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线.
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径为x，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的根，
∴的半径为2.
12．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：，理由如下，
连接，如图，
又∵弦平分.
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∴，
∴.
13．【答案】（1）解：∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
所以的值为；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
即的度数为；
②∵＝，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为.
14．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线与y轴交于点C，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图1，过点P作轴交于点D，
设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，；
（3）解：∵向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，
新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
①当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
②当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
③当为的对角线时，
则，
解得：，
；
综上所述，N点的坐标为： 或或.
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