2023-2024学年数学九年级下册北师大版第一章直角三角形的边角关系（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册北师大版第一章直角三角形的边角关系
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．的边长都扩大2倍，则的值（ ）
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断
7．在中，，如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
8．如果中，，则下列结论正确的是（　　）
A．是等边三角形 B．是钝角三角形
C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形
二、填空题
9．计算： ．
10．已知锐角满足，则 ．
11．已知，锐角的正切值是3，则它的余弦值是 ．
12．如图，在中，，于点D，，，那么 ．
13．已知为锐角，且，则的值为 ．
14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ．
15．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为 ．
16．河堤横断面如图所示，迎水坡的坡比为，则 ．

三、解答题
17．计算：．
18．在中，，，，解这个直角三角形．
19．先化简，再求代数式的值，其中．
20．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，．
(1)求旗杆部分的长．
(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
21．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为．
(1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离；
(2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，）
22．如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的相反数是．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∴．
∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
【详解】解：，，，
∴，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．过点作水平面于点，根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点作水平面于点，
在中，，米，
，
（米），
故选：B．
5．C
【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可选出本题答案．
【详解】解：A、∵，故A选项正确；
B、∵，故B选项正确；
C、∵，
∴，故C选项不正确；
D、∵，故D选项正确；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答．
【详解】解：∵的边长都扩大2倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴的大小没有发生变化，
∴的值不变，
故选：A．
7．C
【分析】根据正弦三角函数的定义列式计算，本题考查了正弦三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是理解正弦三角函数定义．
【详解】，
，
由勾股定理可得，，代入可得：
，
解得，，
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键．
根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答．
【详解】解：，
，
是等腰直角三角形．
故选C．
9．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
10．35
【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，即：，
故答案为：35．
11．
【分析】本题考查解直角三角形，根据题意设锐角的邻边为a，则对边为，求出斜边长，然后根据余弦等于邻边与斜边的比计算是解题的关键．
【详解】解：设锐角的邻边为a，则对边为，
∴斜边为，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查三角函数，先得出，再设，，求出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
如图所示：设，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．
【详解】解：如图，，，
∴，
∴斜坡的坡度为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，，
在中，米，
（米），
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．根据坡比等于竖直高度与水平长度的比解答即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式．
18．，，．
【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数．
【详解】解：如图，在中，，，，
∴
∵，
∴，
∴．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟记是代值计算的关键．
【详解】解：原式
，
∵
，
∴原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用；
（1）利用的正切解题即可；
（2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，，
∴；
（2）解：，
在中，,
∴，
∴钢丝的总长度为．
21．(1)点到旗杆的距离约为
(2)旗杆的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含直角三角形的性质；
（1）过点作交于点，过点作交于点，利用，，可求出的长度，即可确定点到旗杆的距离；
（2）利用，，可得，在中利用三角函数即可求出、、的长度，在中求出的长度，即可确定旗杆的高度；
【详解】（1）解：如图，
过点作交于点，过点作交于点，
则四边形是矩形，
∴，．
∵斜坡的坡度是，
即：，
设，，
在中，根据勾股定理得，解得，
∴，
∴点到旗杆的距离约为．
（2）
根据平行线的性质得：，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
∴旗杆的高度约为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论；
（2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵F是AD中点，E是BC中点
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
∵EF平分∠AEC
∴
∵
∴
∴
∴四边形AECF是菱形
（2）解：∵四边形AECF是菱形
∴，，
∵，，
∴
∴，
过点O作于点G，
∵，
即
∴，
∵
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.
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