2023-2024学年数学九年级下册北师大版第三章圆（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册北师大版第三章圆
一、单选题
1．的半径为5cm，点A在外，则AO的长可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．如图，点，，在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，I是的内心，连接，若，则的长是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，的半径为4，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中，线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
6．如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ）
B．
C．D．
8．如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．边长为6的正三角形的外接圆的面积为 ．
10．如图1，宁波城区最大摩天轮“芯动北仑”已成为北仑地标性建筑．已知“芯动北仑”摩天轮半径约为26米，每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，如图2所示，则相邻轿厢之间的弧长为 米．（结果保留）
11．如图，分别与相切于A,B两点，C是上异于A,B的点，连接．若，则的大小是 ．
12．如图，内接于，高相交于点，若，，，则的半径为 ，的长为 ．
13．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为 ．
14．如图，是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点，若，，则的长为 ．
15．如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B．
（1） ．
（2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号）
16．如图，已知在矩形内有一个等边，点在上，若的内切圆半径为2，则矩形的外接圆半径为 ．
三、解答题
17．如图，AB是的直径，点C在上，且C为弧BE的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点D．
(1)请用尺规作图法，过点C作，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：CF是的切线．
18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图①中，A、B、C三点是格点，D是圆和网格线的交点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在该圆上画出点E，使（画出1个点E即可）；
(2)在图②中，经过格点A和格点B，圆心O也在格点上，点C是和网格线的交点，请在上作出点D，使得，并过点C作的切线．
19．如图，四边形内接于，延长，交于点E，．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若点C是中点，，，求的长．
20．如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．
(1)试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求的半径．
21．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
22．如图1，在矩形中，，，点是边上一个动点（不与点重合），连接，将沿折叠，得到；再以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于，连接并延长交射线于，连接，设．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)当点落在上时，求的值；
(3)当点落在下方时，设与面积的比值为，确定与之间的函数关系式；
(4)直接写出：当半圆与的边有两个交点时，的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查点与圆心之间的距离关系，熟练掌握点与圆心之间的距离关系是解题的关键．设点与圆心的距离为，已知点在圆外，则，即可判断．
【详解】解:当点A在外时，；
A、B、C选项均不符合；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．在优弧上取点P，连接，，根据圆周角定理得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，在优弧上取点P，连接，，

∵，
∴，
∴．
故选：A．
3．D
【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；
本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作于，于，于，

，
四边形是矩形，
∵是的内心，
,
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识．连接、、，连接，并延长至，使，连接，，首先说明是等边三角形，再说明，利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：连接、、，连接，并延长至，使，连接，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
的最大值为，
的最大值，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法，是解题的关键．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，
又，
∴四边形为正方形，
∵，，，
∴，
设，则：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了圆内接多边形以及弧长公式，连接，，求出圆心角的度数，再根据弧长公式，即可解题．
【详解】解：连接，，如图所示：
多边形为正六边形，
,
,
故答案为：A．
7．A
【分析】此题考查了圆周角定理和圆内接四边形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的应用．
【详解】、由同弧所对的圆周角相等可得，，此选项符合题意；
、∵四边形是圆内接四边形，
∴，此选项不符合题意；
、∵是直径，
∴，此选项不符合题意；
、连接，
由圆周角定理得，此选项不符合题意；
故选：．
8．B
【分析】如图，过点作，交于，可得点为点的对应点，根据折叠点性质可得，根据圆内接四边形的性质及邻补角点定义可得，得出，过点作于，过点作于，连接、，根据垂径定理可得出的长，根据“三线合一”可得的长，即可得出四边形是正方形，可得、的长，利用勾股定理可求出的长，即可得出的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，交于，过点作于，过点作于，连接、，
∵为边上的中线，，
∴，，
∴，
∵将沿翻折后刚好经过点，，交于，
∴点为点的对应点，，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质、垂径定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质及勾股定理，根据圆内接四边形的性质及折叠性质得出是解题关键．
9．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．先求出边长为6的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．
【详解】解：如图所示，连接、，过作于，
是边长为6的等边三角形，，
，，，
，
外接圆的面积；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查正多边形与圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【详解】解：∵每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，
∴相邻轿厢之间的弧所对的圆心角为，
∴相邻轿厢之间的弧长为；
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质．如图，连接，利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解，再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，（即）分别在优弧与劣弧上，
，分别与相切于A，B两点，
，
∵，
，
．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点．作直径，证明四边形是平行四边形，推出，，在和中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作直径，连接，设的半径为，
∵为的直径，
∴，即，，
∵是的高，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴，
在中，，即，
解得．
故答案为：，．
13．
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，即当为直径时，最大，最大，
如图所示：将此时的点记为点，
∵是的直径，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
∴，
∴长的最大值为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相等弧对的圆周角相等，勾股定理；连接，过点C作于点E；由折叠性质及相等弧对的圆周角相等可得，则E为中点且，设，由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于点E；
由折叠性质得，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，
一方面，，，
另一方面，在中，，
∴，
解得：；
故答案为：．
15． 2
【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答．
【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O，
根据题意可知，和与量角器相切，
∴，，，
∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴该量角器的直径长为，
故答案为：2，．
16．
【分析】设点O为的内切圆的圆心，连接、、，则,，
根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质分别求得，，
根据矩形的性质和圆周角定理求得，为矩形的外接圆的直径，利用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图，设点O为的内切圆的圆心，连接、、，
则,，
∵为等边三角形，
∴点E、O、P共线，即，，
∴，，
∴，则，
∵四边形是矩形，，
∴，，
连接，则BD为矩形的外接圆的直径，
在中，，
∴矩形的外接圆的半径为，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、矩形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
17．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了切线的判定：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了圆周角定理和尺规作垂直；
（1）根据要求作图即可；
（2）连接，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则，所以，然后根据切线的判定方法得到结论；
【详解】（1）任取一点，使该点和点C在的两侧，以C点为圆心, 以C和该点的长为半径画弧，交于两点，分别以两点为圆心，以大于长为半往画弧，两弧相交于P点，连接，交于F，即为所求；
（2）证明：连接，如图，
∵为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质．
（1）取格点，作，则是等腰直角三角形，则，则；
（2）取与格线的交点，作射线交线段于点，作射线交于点D，此时；连接，作等腰直角三角形，连接，取与格线的交点，作射线交线段于点，则直线是过点C的的切线．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：如图，；

过点C的的切线，如图所示．
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆得内接四边形互补，弧、弦、角、距等关系，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相关知识点内容是解题关键．
（1）由得，根据，得，据此即可求证；
（2）证得，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解： 点C是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果；
（2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可．
【详解】（1）解：直线与相切，
证明：如图3，连接．
∵是的直径，
∴，
∵点是延长线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切．
（2）如图4，连接，
∵，
．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积．
（1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论；
（2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离．
【详解】（1）证明：弦垂直平分半径，
，，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：作于，
，
是等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
，，
∴，
，
与间的距离为．
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3)；
(4)或．
【分析】（）证明，可得结论；
（）图中，当点落在上时，利用面积法构建方程求出即可；
（）图中，当点落在上时，利用面积法求出，再利用相似三角形的性质求解即可；
（）当与相切时，，当经过点时，，解得，结合图形，判断即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图中，当点落在上时，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图中，当点落在下方时，
∵，，
∴垂直平分线段，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：当与相切时，，
当经过点时，，
∴，
观察图象可知，当或时，半圆与的边有两个交点．
【点睛】本题考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题．
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