2023-2024学年数学八年级上册苏科版开学摸底测试卷（含解析）

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2023-2024学年数学八年级上册苏科版开学摸底测试卷
一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图:平分，点C、D、E分别是射线上的点，连接．添加一个条件，可以判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
4．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，，与交于点P，则点B到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a、b分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分）之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是（ ）
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；
②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；
③步行的速度是7.5千米/时；
④骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为 ．
10．已知点，关于轴对称，则 ．
11．如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小．
12．如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为 ．
13．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 ．（用含的代数式表示）
14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺．
15．已知一次函数的图象过点、，若把直线向下平移3个单位长度，则平移后的直线对应的函数表达式为 ．
16．在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ．
三、解答题
17．如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出关于直线对称；
(2)在直线上作一点，使得的值最小：
(3)求的面积．
19．在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．

20．爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．钢城某超市计划购进灯笼和春联这两种商品．已知购进2个灯笼和4副春联花费110元，购进4个灯笼和6幅春联花费190．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
(2)已知每个灯笼的售价是30元，每幅春联的售价是18元，超市两次购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不少于灯笼的数量的3倍，若购进的灯笼和春联全部售出，请问当购进灯笼多少个时，可使销售获得最大利润，最大利润是多少元？
21．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，，连接，，用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．

(1)填空： ______， ______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若，请直接写出的取值范围______．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：，，是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是公共边，
∴当时，不能证明，故选项A不符合题意；
当时，不能证明，故选项B不符合题意；
当时，能证明，故选项C符合题意；
当时，不能证明，故选项D不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过点作的垂线，的垂线，
根据题意可得是的角平分线，
，，
，
的面积为9，
即，
，
．
故选C．
4．C
【分析】本题考查了点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的判定．
设点B到的距离为h，证，得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出即可．
【详解】设点B到的距离为h，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即点B到的距离为，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故选A．
6．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化—平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．各对应点之间的关系是横坐标加，纵坐标加，那么让点的横坐标加，纵坐标加即为点的坐标．
【详解】解：由的对应点的坐标为，
坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加，纵坐标加，
∴点的横坐标为，纵坐标为；
即所求点的坐标为．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式的性质，先把，得出的取值范围，即可得出的取值范围；
【详解】∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为且，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C
8．C
【分析】本题考查一次函数的应用，理解并从而图象获得有用的数学信息是解题的关键．①②根据图象直接判断即可；③根据速度路程时间计算即可；④根据速度路程时间计算骑车的速度，当骑车的同学追上步行的同学时，二者通过的路程相等，据此列方程并求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，
①正确；
根据函数图象，骑车的同学于54分时到达目的地，而步行的同学于64分时到达目的地，
②不正确；
步行的速度为（千米时），
③正确；
骑车的速度为（千米时），
设骑车的同学从出发到追上步行的同学用了小时，
则，解得，
（分，
④正确；
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C
9．5
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，勾股定理，利用非负性的性质求出、的值，再用勾股定理列式求出第三边的长即可．理解算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
，，
，，
由勾股定理得，第三边，
故答案为：5．
10．
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟知关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
【详解】解：点，关于轴对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
11．2
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案．
【详解】解：作于点，连接、，
∵是周长为的等边三角形，
∴
∴
∵为边上的中线，
∴垂直平分，
∴点与点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，
∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，
∴，
故答案为：2．
12．18
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再求出，得到，进而得到，则．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
故答案为：18．
13．
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到．
【详解】解：由题可知，，
，
为的角平分线，
，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．设尺，则尺，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【详解】解：设尺，则尺，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴尺，
故答案为：4．
15．
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、待定系数法求一次函数解析式．根据待定系数法即可得到一次函数的表达式；再根据平移的性质“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线表达式．
【详解】解：∵一次函数的图象过点、，
∴，
解得，
∴这个一次函数的表达式为；
根据平移的性质可知：
直线向下平移3个单位后得到的直线表达式为，即，
故答案为：．
16．
【分析】由直线与坐标轴交点求法可求，，由平移的性质得直线：，从可得点是点关于直线对称，联立直线：与直线：，可求出，作点关于轴的对称点为，由点关于坐标轴对称规律得，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，由待定系数法求得直线为，即可求解．
【详解】解：直线：，
当时，
，
，
同理可求：，
将直线向上平移6个单位得到直线，
直线：
，
，
，
，
，
点是点关于直线对称，
联立直线：与直线：得：
，
解得：，
，
如图，作点关于轴的对称点为，
，
连接交轴、于点、，
则此时最小，
最小值为：，
设直线为，则有
，
解得：，
直线为，
当时，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了待定系数法，点关于坐标轴的对称规律，两点之间线段最短等，掌握“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．
（1）根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，中点的性质得出，，根据，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，即可得出，进而根据线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键．
（1）利用轴对称性质，作出、、三点关于直线对称的点、、，顺次连接得到；
（2）根据两点间线段最短，连接，交直线于点，即，点即为所求．
（3）根据题意，得到，分别计算长方形的面积和各个三角形的面积，由此得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，作关于直线对称如下图：
即为所求．
（2）如图，点即为所求，
（3）如图，
．
19．
【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值．
【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．

证明如下：作关于的对称点，关于的对称点，
，，
，
两点之间线段最短
的周长最小，．
作延长线的垂线，交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
20．(1)每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是15元
(2)购进灯笼75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是1050元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用．正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
（1）设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是y元，根据购进2个灯笼和4副春联花费110元，购进4个灯笼和6幅春联花费190，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进灯笼个，销售获得的利润为，根据春联的数量不少于灯笼的数量的3倍，求出的取值范围，根据总利润等于灯笼的利润加上春联的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是元；
（2）解：设购进灯笼个，则购进春联副，
由题意得：，
解得：，
设销售获得的利润为，则，
整理，得：．
，
∴w随着a的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：购进灯笼75个时，可使销售获得最大利润，最大利润是1050元．
21．(1)说明见解析；
(2)补充证明见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）先证明，然后分别表示出出梯形，四边形，的面积，再根据四边形的面积-四边形的面积的面积即可求解．
【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵直角梯形的面积，
四边形的面积，
的面积，
∵四边形的面积－四边形的面积的面积
∴，
化简得：．
22．(1)3，6
(2)50
(3)存在，
(4)
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；
（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点的坐标；
（4）根据图象即可求解．
【详解】（1）是一次函数与的图象的交点，
，解得，
，解得，
故答案为：3，6；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
，，
一次函数中，当时，，
，
，
，
的面积为50；
（3）如图：

在线段上存在一点，使得的面积与四边形的面积比为，
的面积与四边形的面积比为，
，
，即，
，
点在线段上，
点的坐标为；
（4），
时，，
故答案为：．
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