2023-2024学年数学八年级下册人教版第十七章勾股定理（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级下册人教版第十七章勾股定理（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 00:00:00 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级下册人教版第十七章勾股定理
一、单选题
1．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为 D．三个内角的比为
2．如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3， ，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（ ）
A．6 B．8 C．10 D．1
6．如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．2
7．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高九尺，未折抵地，去本三尺， 问折者高几何？意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折几处高几尺？即：如图，尺，尺，则 ．
10．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是 三角形．
11．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
12．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了 ．
13．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 ．
14．如图，在以点A为直角顶点的中，，，点D是边的中点，以为底边向上作等腰，，交于点K，则 ．
15．如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为 ．
16．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ．
三、解答题
17．在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
18．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长
19．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
20．在中，，求：
(1)边上的中线的长；
(2)的面积．
21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
22．如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．
(1)当，时，求的长；
(2)当时；求证：；
(3)设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
4．D
【分析】设对应的点为，计算出的长度即可．
【详解】解：设对应的点为
由图可知：
∴点A所表示的数是：
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性．
5．B
【分析】表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，则为所求，最后利用勾股定理可求得其值．
【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由于要最小，且固定为4，
∴最小，
由两点之间线段最短，可知的最小值为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为8．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置．
6．C
【分析】根据，，得到，，结合是的平分线，，即可得到，从而得到，得到即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C；
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到．
7．A
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理，求出，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴的面积为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形折叠的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据等面积法证明即可．
【详解】解：A．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．， 根据图形不能证明勾股定理；
D．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
9．4尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：4尺．
10．直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
11．12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
12．2
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．24米
【分析】根据勾股定理，计算旗杆的折断部分是15米，则折断前旗杆的高度是米．
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为米．
故答案为：24米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
14．7
【分析】过点H作于M，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再根据得出，从而得到，，再根据三角形的内角和定理得出，继而得出，然后利用即可
【详解】解：过点H作于M，则，
∵，，，
∴，，
在，点是边的中点，，
∴
∴，
∵以为底边向上作等腰，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线得出是解题的关键
15．
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时（cm），（cm）．
∴h的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
16．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
【详解】解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
17．四边形的面积是36
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积，
故四边形的面积是36．
18．
【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，，，
由勾股定理可知：，
由折叠的性质可知：，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴．
19．秋千绳索的长度为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
尺，尺，
（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千绳索的长度为尺．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查等腰三角形、勾股定理的性质和三角形的面积，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）先根据“三线合一”得到，然后利用勾股定理计算即可解题；
（2）利用三角形的面积公式计算解题．
【详解】（1）解：∵在中，，是的中线，
∴是的高线，
∵，
∴．
（2）由面积计算公式得
∴．
21．船向岸边移动了9米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
22．(1)3；
(2)见解析；
(3)2或．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）证明，推出，，利用三角形内角和定理，可得结论；
（3）由：：，推出：：，设，，则，接下来分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理,三角形的内角和定理的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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2023-2024学年数学八年级下册人教版第十七章勾股定理
一、单选题
1．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为 D．三个内角的比为
2．如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3， ，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（ ）
A．6 B．8 C．10 D．1
6．如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．2
7．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高九尺，未折抵地，去本三尺， 问折者高几何？意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折几处高几尺？即：如图，尺，尺，则 ．
10．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是 三角形．
11．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
12．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了 ．
13．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 ．
14．如图，在以点A为直角顶点的中，，，点D是边的中点，以为底边向上作等腰，，交于点K，则 ．
15．如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为 ．
16．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ．
三、解答题
17．在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
18．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长
19．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
20．在中，，求：
(1)边上的中线的长；
(2)的面积．
21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
22．如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．
(1)当，时，求的长；
(2)当时；求证：；
(3)设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
4．D
【分析】设对应的点为，计算出的长度即可．
【详解】解：设对应的点为
由图可知：
∴点A所表示的数是：
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性．
5．B
【分析】表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，则为所求，最后利用勾股定理可求得其值．
【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由于要最小，且固定为4，
∴最小，
由两点之间线段最短，可知的最小值为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为8．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置．
6．C
【分析】根据，，得到，，结合是的平分线，，即可得到，从而得到，得到即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C；
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到．
7．A
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理，求出，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴的面积为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形折叠的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据等面积法证明即可．
【详解】解：A．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．， 根据图形不能证明勾股定理；
D．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
9．4尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：4尺．
10．直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
11．12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
12．2
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．24米
【分析】根据勾股定理，计算旗杆的折断部分是15米，则折断前旗杆的高度是米．
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为米．
故答案为：24米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
14．7
【分析】过点H作于M，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再根据得出，从而得到，，再根据三角形的内角和定理得出，继而得出，然后利用即可
【详解】解：过点H作于M，则，
∵，，，
∴，，
在，点是边的中点，，
∴
∴，
∵以为底边向上作等腰，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线得出是解题的关键
15．
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时（cm），（cm）．
∴h的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
16．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
【详解】解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
17．四边形的面积是36
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积，
故四边形的面积是36．
18．
【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，，，
由勾股定理可知：，
由折叠的性质可知：，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴．
19．秋千绳索的长度为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
尺，尺，
（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千绳索的长度为尺．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查等腰三角形、勾股定理的性质和三角形的面积，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）先根据“三线合一”得到，然后利用勾股定理计算即可解题；
（2）利用三角形的面积公式计算解题．
【详解】（1）解：∵在中，，是的中线，
∴是的高线，
∵，
∴．
（2）由面积计算公式得
∴．
21．船向岸边移动了9米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
22．(1)3；
(2)见解析；
(3)2或．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）证明，推出，，利用三角形内角和定理，可得结论；
（3）由：：，推出：：，设，，则，接下来分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理,三角形的内角和定理的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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