第八章 一元二次方程 单元测试题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 一元二次方程
单元测试题
(120 分 90 分钟)
一、选择题(每题3分，共36分)
1.下列式子是一元二次方程的是( )
2.方程化为一般形式后,常数项为( )
A.6 B.-8 C.2 D. -4
3.观察下列表格，一元二次方程 的一个解x所在的范围是( )
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
4.关于x的一元二次方程 的一次项的系数为1，则m的值为( )
A. -1 B. ±1 C.1 D.0
5.用配方法解方程 配方后的方程是( )
6.下列一元二次方程无实数根的是( )
7.若关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m 的值为( )
A. -9 D.9
8.已知m为方程 的根，那么的值为( )
A. -2022 B.0 C.2022 D.4044
9.若关于x的一元二次方程 的两根为 且 则 m的值为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
10.方程 的两根为( )
11.九年级学生毕业时，每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070 张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为( )
12.若关于x的一元二次方程 有两个实数根且 则m的值为( )
A.2 或6 B.2 或8 C.2 D.6
二、填空题(每题3 分，共18分)
13.方程 的一个根为x =2022,则另一个根为 x=____________.
14.若关于x 的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
15.若x ,x 是一元二次方程 的两个实数根，则
16.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为2和-3，则分解因式：
17.若菱形的两条对角线长是方程的两个根，则该菱形的周长等于______________.
18.在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程 的实数根的个数为___________.
三、解答题(19 题6分,20～22 题每题8分,23～25 题每题12分,共66 分)
19.解方程：
(配方法);
20.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)当 时，用配方法解方程.
21.某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加,2020 年购书费用为 5 000 元,2022 年购书费用为 7 200 元,求2020 年到2022 年该校购书费用的年平均增长率.
22.定义：如果关于x的一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程 是否为黄金方程，并说明理由.
(2)已知 是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求 a 的值.
23.已知 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边 BC 的长是 10.
(1)求证：无论 n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当 n为何值时, 为等腰三角形 并求 的周长.
(3)当n为何值时, 是以BC 为斜边的直角三角形
24.某商品的进价为每件30 元，现在的售价为每件45 元，每月可卖出1 500件，市场前期调查反映，如调整价格，每件每涨价1 元，每月少卖出 60件，每月销量不少于1 200 件.
(1)每件售价最高为多少元
(2)实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每月销量比最低销量 1 200 件多卖120 件，要使利润达到25 920 元，则每件应降价多少元
25.阅读材料,解答问题:
材料1 为了解方程( 如果我们把 看作一个整体，然后设 则原方程可化为 经过运算，原方程的解为 我
们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2 已知实数m，n满足 且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的实数根，由根与系数关系可知 根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用:
方程 的解为______________.
(2)间接应用:
已知实数a，b满足:且求 的值.
(3)拓展应用:
已知实数 满足: 且 求 的值.
参考答案
一、1. D 【点拨】 是代数式； y中含有两个未知数，不是一元二次方程；是一元一次方程； 是一元二次方程.
2. C 【点拨】( 化为一般形式后为常数项为2.
3. B 【点拨】∵
4. C 【点拨】∵关于x的一元二次方程 的一次项的系数为1，∴
5. C 【点拨】 即
6. C 【点拨】 则该方程有两个不相等的实数根； ，则该方程有两个不相等的实数根；则该方程无实数根； 则该方程有两个相等的实数根.
7. C 【点拨】∵ 关于x的一元二次方程 0有两个相等的实数根，,解得
8. B 【点拨】∵ m为方程 的根，∴原式
9. C 【点拨】∵一元二次方程 的两根为 又∵解得
10. D
11. D 【点拨】根据“x名同学都将自己的相片送给全班其他同学，共送出 张”可列方程.
12. A 【点拨】∵关于x 的一元二次方程 有两个 实 数 根 即 即17,即解得 或
二、13.-2022 【点拨】形如 的方程的两个根互为相反数，所以另一个根为：
【点拨】根据题意得 解得
【点拨】根据题意得 则
17.10 【点拨】原方程可化为( 或∵菱形的两条对角线长是方程的两个根，∴菱形的两条对角线长为3，4，∴菱形的边长为 ∴菱形的周长为
18.1个或2 个 【点拨】∵ 直线 不经过第一象限，
当 时，方程 为 解得
当 时, 0，∴方程有两个不相等的实数根，
综上所述，关于x的方程 的实数根的个数为1个或2个.
三、19.【解】 即
这里
这里
20.【解】(1)∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 解得 且
(2)当k=1时,原方程为 即 移项得 配方得即 直接开平方得解得
21.【解】设 2020 年到2022 年该校购书费用的年平均增长率为x，
根据题意得 解得 (不符合题意，舍去).
答：2020 年到2022 年该校购书费用的年平均增长率为20%、
22.【解】(1)一元二次方程 是黄金方程，理由如下：
由题意得
∴一元二次方程 0是黄金方程；
是关于x的黄金方程，∴
∴ 原方程为,∵ a 是此黄金方程的一个根, 即 解得 或
23.(1)【证明】· ∴无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)【解】由(1)知无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根. 又∵第三边 BC的长是10，∴当 为等腰三角形时， 为一元二次方程的一个根，把 代入 2n=0, 得 解得 12 ①当 n =12 时,原方程可化为 设等腰三角形的底边长为m，由根与系数的关系,得 m +10=22,∴m=12,∴△ABC 的周长为10 +10 +12 =32;②当 n = 10 时,原方程可化为 设等腰三角形的底边长为q，由根与系数的关系,得 10 + q = 18,解得 q =8,∴△ABC的周长为10 +10+8=28.综上,当n=12时，△ABC 是等腰三角形，此时△ABC 的周长为32;当n=10时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC 的周长为 28.
(3)【解】∵AB,AC 的长是关于x的一元二次方程的两个根,∴ 是以BC 为斜边的直角三角形，且即 解得当时,符合题意,当 时,不符合题意.综上,当 时,△ABC 是以BC为斜边的直角三角形.
24.【解】(1)设每件的售价为x元,依题意得 ,解得 .
答：每件售价最高为 50元.
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为 元，每月的销量为件，依题意得，解得
又∵要尽快减少库存，
答：每件应降价 8 元.
25.【解】(
或
①当 时，令 1=0,∴m,n是方程 的两个不相等的实数根， 此时
②当 时, 此时
综上所述， 或
(3)令 则
即a≠b,∴a,b是方程的两个不相等的实数根，
故
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）