第八章 一元二次方程 章末复习（含答案）

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第八章 一元二次方程
章末复习
考点1 两个概念
概念1 一元二次方程
1.若关于x 的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是( )
概念2 一元二次方程的根
2.已知 m 是方程 的解，求式子的值.
考点2 一个解法——一元二次方程的解法
3.按要求解下列方程：
(直接开平方法). (配方法).
(因式分解法). (求根公式法).
考点3 两个关系
关系1 一元二次方程根的判别式与根的数量的关系
4.关于 x的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
5.已知关于x 的一元二次方程
(1)若该方程的一个根为 求实数 m的值.
(2)若该方程有实数根，求实数m的取值范围.
关系2 一元二次方程的根与系数的关系
6.已知关于 x 的一元二次方程
(1)求证：无论 m 为何值，方程总有实数根.
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 求m的值.
考点4 两个应用
应用1 一元二次方程的应用
7.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝子，每个枝子又长出同样数目的小枝条，主干、枝子和小枝条的总数是43，求这种植物每个枝子长出的小枝条个数.
应用2 配方法的应用
8.阅读下面的材料，
我们知道 可以分解因式，结果为其实 也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
(1)请仿照上述过程填空：
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系
9.阅读材料：
把形如 (a,b,c为常数,且 的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的依据是
例如： 是 的三种不同形式的配方，其“余项”分别是常数项、一次项、二次项.请根据阅读材料解决下列问题：
(1)仿照上面的例子，写出 的三种不同形式的配方.
(2)已知 求 的值.
考点5 三种思想
思想1 整体思想
10.已知. 是一元二次方程 的一个根，且 求 的值.
思想2 转化思想
11.解方程:
思想3 分类讨论思想
12.已知关于x的方程 有两个实数根x
(1)求 a的取值范围.
(2)若 求方程的两个根及a的值.
参考答案
1. A 【点拨】∵关于 x 的方程( 是一元二次方程，解得
2.【解】∵ m是方程 的解，
3.【解】
即 或
4. A 【点拨】∵
∴方程有两个不相等的实数根.
5.【解】(1)把 代入 得
即 解得
(2)∵该方程有实数根，. 解得-1≤m≤1.
6.(1)【证明】∵
∴方程总有实数根.
(2)【解】由题意知,
整理得 解得m =1 或
7.【解】设这种植物每个枝子长出的小枝条个数是x，
依题意得 整理得
解得 (不合题意，舍去)，
答：这种植物每个枝子长出的小枝条个数为6.
8.【解】
(2)每道题所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项.
9.【解】 或
10.【解】∵x=1 是一元二次方程 的一个根，
11.【解】设 则原方程可化为 解得
当y=1 时,有 所以x=0;
当 时，有 所以
所以原方程的解为
【点拨】 本题利用转化思想将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解.
12.【解】(1)由题意得 20a+20≥0,解得 a≥ -1.
(2)若 则 或 x .
当 时，代入原方程得 解得或
或
当 时, .
此时原方程为 解得
综上，方程的两个根分别为 或 或 对应的a的值为 或 或
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