2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体图形初步解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体图形初步解答题专项突破
1．（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；

（2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.

2．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

3．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高．
4．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积.
5．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，求球O的体积.
6．已知一个表面积为的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积.
7．如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积．
8．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积.
9．如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．

(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)证明：和是异面直线．
10．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线与所成角的大小．
11．上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米.

(1)求证：；
(2)试分别以正三棱柱和几何体为模型估算大厦主楼的体积.
12．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.
(1)求几何体的体积；
(2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
13．如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，

(1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由；
(2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积）
14．如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.

(1)求并求直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
15．如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明：平面．
16．如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．
17．如图，在四棱锥中，，，，平面⊥平面.
(1)求证：；
(2)设，求三棱锥的体积.
18．如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
参考答案：
1．（1）答案见解析（2）
【分析】（1）依题意画出即可；
（2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可.
【详解】（1）平面展开图如图所示：

（2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
①如图（1），以为轴展开，；
②如图（2），以为轴展开，；
③如图（3），以为轴展开，；

综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：.
2．答案见解析，的面积为
【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.
【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，
如图所示，则的面积为.

3．
【分析】根据题意，作出梯形的直观图，结合斜二测画法的规则，结合，得到，直观图的高，即可求解.
【详解】如图（1）所示，过点作，垂足为，过作轴，垂足为，
因为四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，可得，
在直角中，可得，所以，
如图（2）所示，在梯形的直观图中，
分别坐标，，垂足分别为，
因为轴，所以，
延长交于点，根据斜二测画法的规则，可得，
在直角中，可得，
即直观图的高为.
4．，
【分析】求出外接圆半径，再利用勾股定理求出球半径即可.
【详解】如图，设球心为O，球半径为R，作平面ABC于点，
由于，则是的外心，
设M是AB的中点，由于，则.
设，易知，
则，，
又，∴，
解得，∴.
在中，，，，
由勾股定理得，解得，
则，.
5．
【分析】利用正弦定理和勾股定理即可得到外接球的半径，再利用球的体积公式即可.
【详解】如图所示，设球O的半径为R，的半径为r，
因为的面积为，所以，解得，
又，所以，
解得，故，
所以，，
所以，球O的体积.
6．
【分析】设正方体的棱长为a，半球的半径为R，根据勾股定理列出方程，解出即可.
【详解】如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由，得，
在中，，，
由勾股定理，得，
所以半球的表面积为．
7．8
【分析】利用割补法或直接法求棱锥体积.
【详解】因为，，，所以；
方法1、由题意可知.
又.
.
，
所以，.
方法2、在中，过C作，垂足为F，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又.
在中，.
∴.
8．
【分析】根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解.
【详解】圆锥的侧面积公式，
底面圆的面积，
故圆锥的表面积.
故答案为：
9．(1)证明过程见解析.
(2)证明过程见解析.
【分析】第一问利用三角形中位线性质，结合平行公理推理作答.第二问利用反证法来证明.
【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．所以线段是的中位线，所以且，同理可得且，所以且，所以四边形为平行四边形.
（2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交，所以和可以确定一个平面，所以，这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线.
10．(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上.
（2）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小.
【详解】（1）平面平面，
由于平面，平面，
所以，也即点Q在直线DC上.
（2）根据正方体的性质可知，
所以异面直线与所成角为，
由于分别是的中点，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为.
11．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，即可证得结论成立；
（2）利用柱体的体积公式可求得正三棱柱的体积，将几何体补成四棱柱。利用柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积.
【详解】（1）解：在正三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
将正在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，如下图所示：

由正三角形的几何性质可知，，旋转后，，
所以，，
所以，，故、、三点共线，
同理可知，、、三点也共线，
又因为，则四边形为平行四边形，则且，
故且，故四边形为平行四边形，故.
（2）解：以正三棱柱来估算大厦主楼的体积为（立方米），
以、为邻边作菱形，以、为邻边作菱形，
连接、，则几何体为四棱柱，
且该四棱柱的底面积为平方米，高为米，
以何体为模型估算大厦主楼的体积为
（立方米）.

12．(1)
(2)异面直线所成角的正切值为，该亭子满足建筑要求.
【分析】（1）用圆锥体积公式和圆柱体积公式直接代入求解.
（2）圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，然后直接求解.
用的正切值转化出然后判断是否满足建筑要求.
【详解】（1）
（2）观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，所以，
因为
所以该亭子满足建筑要求.
13．(1)存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析.
(2)新棱柱的表面积为或
【分析】（1）运用经过两条平行线有且只有一个平面证明即可.
（2）重新组合后有三种情况，分别计算三种情况下的表面积即可.
【详解】（1）存在点位于的中点处时，点F在平面上.
理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，

因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又是的中点，为的中点，所以，
所以，
所以点、、、四点共面，即点F在平面上.
（2）①如图所示，

由题意知，，，则，
所以此三棱柱的表面积为（）.
②如图所示，

所以此三棱柱的表面积为（）.
③如图所示，

所以此三棱柱的表面积为（）.
综述：新棱柱的表面积为或.
14．(1)；
(2)
【分析】（1）由勾股定理可直接求出；建系，利用空间向量法求出异面直线的夹角即可；
（2）用等体积法求出点到直线的距离即可；
【详解】（1）
连接，因为在长方体中，则，
则，
在中，，
所以；
以为原点，所在直线为轴建立坐标系，
则所以
设与所成的角，则，
因为异面直线所成的角时锐角或直角，则直线与所成角的余弦值为
（2）连接，因为，设点到平面的距离为，则，
因为，故，
点到平面的距离为.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）可将直三棱柱补成一个长方体，利用异面直线的定义求解几何角，即可利用三角形的边角关系求解；
（2）找线线平行即可得．
【详解】（1）直三棱柱中，，作，且，
连接，作，且，连接，，则得到长方体，
底面为边长为2的正方形，对角线长．
连接相交于，连接,
由于分别是，的中点，所以
则为异面直线与所成角或其补角，
，，,
则，
,
中，；
故异面直线与所成角的余弦值
（2）在正方形中，为的中点，
也为的中点，又为的中点，则，
在长方体中，,所以四边形为平行四边形，故，，
平面，平面，平面．
16．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论；
（2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案.
【详解】（1）连接，
因为分别为棱的中点，
所以，
因为正方体的棱长为3，
所以，，
故四边形为平行四边形，
所以，
故；
（2）由题意得，正方形的面积为，
，，
故，
又⊥平面，故⊥平面，
三棱锥的体积为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设中点为，连结，，，先证明，再证明，即可证明；
（2）根据，再根据，，求解即可.
【详解】（1）证明：设中点为，连结，，，
因为，所以，又因为平面⊥平面且交线为，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，
所以可知四边形为正方形，
所以，又因为平面，
所以平面，而平面，
所以.
（2）因为，
又因为，，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）根据几何图形特征转化求出到平面的距离即可.
【详解】（1）因为底面为正方形，平面，平面,
所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）易知平面，故到平面的距离即到平面的距离，
过作，平面平面，
由上结论可知平面，
由题意面为正方形，平面，平面，则，
所以,
显然是等腰直角三角形，
又四边形为平行四边形，故是等腰直角三角形，
所以,
故四棱锥的高为1.
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