2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用解答题专项突破
1．如图所示，是正六边形的中心，且，，，若，求正六边形的边长.
2．在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，且，求在上的投影的取值范围．
3．已知向量的夹角为.
(1)求的值;
(2)若和垂直，求实数t的值.
4．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
5．设两个非零向量与不共线．试确定实数，使和共线．
6．已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
7．已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
8．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标;
(2)若，且与垂直，求与的夹角θ.
9．已知的夹角为，当实数为何值时，
(1)与共线；
(2)与垂直．
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，．

(1)试用向量来表示;
(2)AM交DN于O点，求的值．
11．平面给定三个向量，，
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数k的值.
12．已知平面向量，．
(1)若与垂直，求；
(2)若∥，求．
13．平面内给定三个向量，，.
(1)设，求m，n的值；
(2)若，求实数k的值.
14．已知非零向其和不共线.
(1)如果，求证：三点共线；
(2)欲使向量与平行，试确定实数的值.
15．如图，四边形OADB是以向量，为边的平行四边形，且OD，AB相交于C点，又，，试用，表示，，．

16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期与其图象的对称中心的坐标；
(2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，求的面积.
17．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）

18．已知函数
(1)求的单调增区间;
(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.
参考答案：
1．
【分析】根据正六边形性质知，为等边三角形且，即可求解
【详解】由题意，根据正六边形性质知，为等边三角形且，
所以正六边形的边长.
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，以及向量的模的概念及其应用，其中解答中熟记正六边形的性质和向量的模的概念是解答的关键，属于容易题.
2．（1）1，（2）
【分析】（1）由，两边平方化简可求得的值；
（2）先表示出，，从而可得在上的投影为，然后由的不同取值范围求其值可得结果.
【详解】解：（1）因为，所以，
，
因为 ，，
所以，即
，所以，
（2）因为，且，
所以，
因为，，，，
所以，
由，得
，
所以在上的投影为，
当时，，
因为，所以，所以，
时，
当且 时，
时，， 所以，
时，，所以 ，
综上，在上的投影的取值范围为.
【点睛】此题考查向量的模，向量上的投影，考查了分类讨论思想，考查了计算能力，属于中档题.
3．(1)
(2)2
【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；
（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）若和垂直，则，
即，解得.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；
（2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.
【详解】（1），
，.
（2）由得：，
解得：.
5．或.
【分析】由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【详解】因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即 .
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.
6．(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
【详解】（1）由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cos，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量加法运算法则，代入即可.
（2）根据向量的数乘定义可知，且，从而可证出为梯形.
【详解】（1）．
（2）因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，且，
所以在四边形中，，且，
所以四边形为梯形．
8．(1)或
(2)
【分析】（1）设出，再根据条件建立方程组即可求出结果；
（2）利用两向量垂直，数量积为0，得到，再根据条件得到，进而可求出结果.
【详解】（1）设，
因为，，，
所以，解得或，
所以或
（2）因为与垂直，所以，
即，又，，
所以，得到，
所以，又，所以.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【详解】（1）令，则，即，
不共线，，解得，
故当时，与共线．
（2）若与垂直，则，即，
则
即，
所以，解得，
故当时，与垂直．
10．(1)，
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可得解；
（2）设，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理可得存在实数使，再结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】（1）因为，所以，所以，
因为，所以，
所以；
（2）设，
则，
因为三点共线，所以存在实数使，
由于向量不共线，则，，解得，
所以.
11．(1)
(2)
【分析】（1）运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.
（2）运用向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】（1）由题知，，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以.
（2）由题知，，
又因为与共线，
所以，解得：.
12．(1)
(2)2
【分析】（1）由与垂直，可得可求出的值；
（2）由∥列方程求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出
【详解】（1）因为向量，，且与垂直，
所以，解得（舍去），或，
（2）因为向量，，且∥，
所以，解得或（舍去），
所以，，
所以，所以.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；
【详解】（1）解：因为向量，，，且，
所以，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，，
因为，
所以.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合向量的共线定理，即可证得三点共线；
（2）根据题意得到成立，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）证明：因为
可得，所以，且为非零向量，
所以与共线，所以三点共线.
（2）解：因为与平行，且两向量都为非零向量，
所以存在实数使得成立，即，
因为和不共线，所以，解得.
15．，，.
【分析】根据题意，由平面向量基本定理，分别表示出，即可表示出.
【详解】因为，，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以.
16．(1)最小正周期为，对称中心为
(2)
【分析】（1）化简得到，从而利用三角函数性质求出最小正周期和对称中心；
（2）根据及为锐角三角形得到，由正弦定理得到，从而得到三角形面积.
【详解】（1）
，
故的最小正周期，
令，解得，
故对称中心为；
（2），
又为锐角三角形，故，，
则，解得，
因为，由正弦定理得，
又，故，
故.
17．
【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决．
【详解】由题可知，，，，
设乙船速度为，则.
于是在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
所以，乙船的航行速度大约是.

18．(1)
(2)
【分析】（1）先结合二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的单调性可求；
（2）由已知先求出，然后结合余弦定理求出，再由三角形面积公式可求．
【详解】（1），
令，，
解得，，
取，则
故函数在的单调递增区间为
（2）由，可得，
因为，可得，可得，故，
因为，，
由余弦定理得，
解得或，
由于，故舍去，只取，
当时，
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