2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程解答题专项突破
1．已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围．
2．已知经过，经过，，求证：．
3．已知直线与直线的交点为．
(1)求过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程．
4．已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由．
5．已知直线l经过点和点．
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
6．根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为，且经过点；
(2)斜率为，且在轴上的截距为；
(3)经过两点, ；
(4)在轴上的截距分别为．
7．已知直线经过点.
(1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
8．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点；
(2)平行于直线.
9．射线所在直线的方向向量为，点在内，于点.
(1)若，，求的值；
(2)若，的面积是，求的值.
10．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点．
(1)求直线的方程：
(2)若直线恒过定点，求点到直线的距离．
11．已知直线．
(1)求证：直线经过一个定点；
(2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
12．已知直线和直线.
(1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
(2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程.
13．已知点，，直线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.
14．已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．
(1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；
(2)求点的轨迹方程．
15．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程．
16．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程；
(2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值.
17．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程.
18．已知经过原点的直线与圆相交于两点.
(1)若，求的斜率；
(2)已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
参考答案：
1．
【分析】当直线垂直轴时设为，此时直线不存在斜率，可分“从PN位置转到位置、当从位置转到PM位置”两种情况分开讨论.
【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线．
当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以．
又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于，
由正切函数的性质知，，所以．
综上所述，．
故答案是：.
2．证明见解析
【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论.
【详解】证明：由题意得直线的斜率为，
直线的斜率为，
又，,
即不共线，即不重合，
因为，∴.
3．(1)
(2)
【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可.
（2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可.
【详解】（1）联立方程与，解得，，故，
而的斜率为，故所求直线斜率为，
则所求直线方程为，化简得.
（2）易知的斜率为，故所求直线斜率为，
则所求直线方程为，化简得.
4．面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
【分析】设直线方程的截距式，表示出三角形的面积，再结合基本（均值）不等式求面积的最值.
【详解】设直线方程为：，因为直线过点，且直线斜率小于，
所以，且，.
所以
，
当且仅当，即，时取等号
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
5．(1)， ；
(2)16
【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；
（2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．
【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即，
整理得．所以截距式方程为．
（2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，
所以围成的图形的面积为．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【详解】（1）因为，且经过点，
由直线的点斜式方程可得，
整理可得直线的一般式方程为．
（2）由直线的斜率，且在轴上的截距为
得直线的斜截式方程为．
整理可得直线的一般式方程为．
（3）由直线的两点式方程可得，
整理得直线的一般式方程为
（4）由直线的截距式方程可得，
整理得直线的一般式方程为
7．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.
【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，
又经过点，则方程为：，即：，
所以直线的方程为.
（2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点，
则直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
则有，解得，即直线的方程为，
所以直线的方程为或.
8．(1)
(2)
【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
【详解】（1）由解得,
即两直线的交点坐标为.
直线经过点和，由两点式方程得，，
化简得所求直线方程为.
（2）由可得直线的斜率为，
故平行于直线的直线的斜率为，
结合（1）问可得：两条直线与的交点为，
由点斜式方程得，，
化简得所求直线方程为.
9．(1)
(2)或
【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值；
（2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】（1）解：因为，则，
因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
所以，.
（2）解：因为直线的一个方向向量为，
所以，直线的方程为，即.
点到直线的距离为，，
，可得或，
即或，因为，解得或.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）由，，则，，
∴直线的斜率，且直线过点，
∴由直线的点斜式方程得，
即，
∴所求直线的方程为；
（2）∵直线化简得：，
∴直线过定点，
则点到直线的距离为：
，
故A到直线的距离为.
11．(1)证明见解析；
(2)，.
【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点.
（2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程.
【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有，
所以直线过定点.
（2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点，
而点分别在轴的正半轴上，即，于是，
则的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，直线的方程的方程为.
12．(1)能平行，
(2)
【分析】（1）利用两直线平行，斜率相等，得到，解得或，再检验即可得出，能平行，利用两平行线间的距离公式即可求出结果；
（2）根据条件，得出直线过定点，从而得到：当时，原点到的距离最大，进而可得出直线的方程为.
【详解】（1）因为，所以直线的斜率为，
又，若，则斜率必存在，所以且斜率为，
由，得到或，
当时，，，此时与重合，不合题意，
当时，，，此时，所以，能平行，
两平行线之间的距离为.
（2）由，得到，所以直线过定点，
当时，原点到的距离最大，
此时直线的斜率为，直线的斜率不存在，
所以此时的直线的方程为.
13．(1)；
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，再结合垂直的条件求出的值.
（2）求出线段的中垂线，再求出圆心的坐标.
【详解】（1）依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得，
所以.
（2）线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即，
由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上，
所以点的坐标为.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程.
（2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得.
【详解】（1）设点，由，得，直线的斜率，而，
所以直线的方程为，即.
（2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心，
又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即，
显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外），
所以点的轨迹方程是.
15．
【分析】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解.
【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以，
设点，则，
所以，所以，
因为，所以，
又因为点在圆上，所以，即，
即点的轨迹方程为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心C到A，P的距离相等得到，再由圆心在直线PQ上联立求解.
（2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）则，
∴直线的方程为．
设，则，两式相减得：，
又，解得，
∴．
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，
当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时
当时，灯罩轴线所在方程为：，
令可得，即，
∵H在线段OQ上，∴，解得．
∴，
当且仅当即时取等号．
∴的最大值为．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与直线联立，可得圆心坐标，然后与点求出半径，可得答案；
（2）设圆心到直线的距离为，利用求出，当直线的斜率不存在时直接得答案；当直线的斜率存在时，设其斜率为求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出可得答案.
【详解】（1）直线的斜率为，线段的中点为，
线段的中垂线方程为，即，
联立，解得，
所以圆心，半径，
故圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为，
由，解得，
当直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
直线的方程为，即，
由，解得，
故直线的方程为或.
18．(1)
(2).
【分析】（1）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可得出答案；
（2）设直线，联立，韦达定理，将直线斜率用坐标表示，即可求解.
【详解】（1）由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率必存在且不为0，
可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，解得.
（2）
当直线AB的斜率存在且不为0时，设，AB：，联立
，
得，
所以，，
由题意得，即，
因为，所以，
即，解得.
当直线AB斜率不存在时，，，此时，
当直线AB斜率为零时，，，显然，
综上.
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