2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册第五章三角函数解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册第五章三角函数解答题专项突破
1．某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
2．已知扇形的半径，周长为，
(1)求扇形的面积；
(2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角.
3．已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，
(1)计算的值；
(2)计算的值.
4．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
5．已知函数且.
(1)判断的奇偶性并给出证明；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
6．如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积.
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
8．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
9．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．
(1)若，且为第三象限角，求x，y的值；
(2)若，求的取值范围．
10．已知函数.
(1)将函数的解析式化简，并求的值，
(2)若，求函数的值域.
11．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)若在区间[0，m]上的值域为，求的值．
12．如图1，有一块半径为2（单位：）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.为了求出等腰梯形的周长（单位：）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
(1)小明的方案：设梯形的腰长为（单位：），请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；
(2)小亮的方案：如图2，连接，设，请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.
13．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间.
14．某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=.
(1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域；
(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.
15．如图是函数()的部分图象，点是这部分图象的最高点且其横坐标为，点是线段的中点．
(1)若A是锐角三角形的一个内角，且，求的值；
(2)当时，函数的最小值为，求实数的值．
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及的单调递增区间；
(2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域.
17．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
18．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
(1)设，用分别表示AB和AD；
(2)当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
参考答案：
1．(1)平方米.
(2)该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解；
（2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）设该扇形菜地的半径为，弧长为，
则，解得，
故该扇形菜地的面积平方米.
（2）因为，所以，
则.
当时，取得最大值36，
此时，从而.
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
2．(1)
(2)和
【分析】（1）根据扇形周长可求出弧长，利用面积公式即可求解；
（2）利用弧长公式求出圆心角，由终边相同的角即可求.
【详解】（1）设扇形的弧长为，因为，
由题意，扇形的周长为，
所以，
所以扇形的面积为.
（2）由（1）可知，圆心角，
故与终边相同的角的集合为，
中适合的元素有
，，
故在区间[0,4π]上与此扇形的圆心角终边相同的角为和.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由已知，得，所以，再利用弦化切求值；
（2）先求出，再因式分解求值即可.
【详解】（1）由已知，关于的不等式的解集中有且只有一个元素，
，则.
.
（2），
，
.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可;
（2）由（1）问，将的分母展开代入即可.
【详解】（1），解得：，
，解得：，
，，，．
（2）由（1）知，，,
.
5．(1)定义域为，奇函数，证明见解析；
(2)
【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可；
（2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可.
【详解】（1）要使有意义，需满足，解得，
故定义域为.
判断是奇函数.
证明：定义域为，关于原点对称；
又
，
所以为奇函数；
（2）由，得．
由（1）知为奇函数，则，
所以，
因为，
令，则在上单调递增，
当时，单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，
则要使恒成立，
即恒成立，
即要使①，②，③均恒成立.
由，不等式①②显然恒成立，
由，
且当时，，
故不等式③也恒成立，
故当时，即对于任意的，恒成立.
当时，单调递增，则在上单调递增，
则恒成立，
由，
即①，②，③均恒成立
当时，
要使①恒成立，则，则；
不等式②显然恒成立；
要使不等式③恒成立得，，
由解得；
故当时，要使①②③均恒成立，则
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合，解出，再找到边长与三角函数关系，计算即可；
（2）根据与三角函数的关系得到方程，解出，再结合同角三角函数的关系和的范围即可求出三角函数值，再得到面积与三角函数值之间的关系，最后计算即可.
【详解】（1）因为直线与圆相切，所以.
在直角三角形中，，所以.
在直角三角形中，，所以.
因为，且，所以，
又因为为锐角，所以，
所以的周长为.
（2）因为，所以，
所以，所以.
因为，所以，
所以的面积.
7．(1)
(2)
【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得；
（2）借助辅助角公式计算即可得.
【详解】（1）角终边经过点，，
；
（2）原式.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）将目标式分子分母同时除以，然后代入的值计算即可.
【详解】（1）由已知；
（2）由（1）得，即，则
所以.
9．(1)，
(2)
【分析】（1）由三角函数定义得到，结合同角三角函数关系得到；
（2）利用诱导公式得到，结合三角函数定义和同角三角函数关系求出答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为为第三象限角，所以，，
又，
解得，．
（2）由，
所以，即，
所以
10．(1)，；
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系和诱导公式化简，并代入求值；
（2）得到，得到，求出值域.
【详解】（1）
，
故；
（2），
时，，，
故函数值域为.
11．(1)
(2)
【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可求的解析式；
（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的值.
【详解】（1）由函数图象，可得，，
∴，∵，可得，∴，
又∵图象过点，
∴，即，∴，，
解得，，
又∵，∴，故函数解析式；
（2）由（1）知，
∵，则，
又∵的值域为，
∴，故；
12．(1)；
(2)，且；
【分析】（1）作,垂足为,连接,,继而可求得函数关系，利用二次函数的性质可求得最大值；
（2）点作垂直于于点，,及，可求得函数关系，换元后利用二次函数的性质可求得最大值.
【详解】（1）因为，
作,垂足为,连接,

则是直角，
故,
即，
所以，
则，
依题意得，，
故，
其对称轴为，
则时，.
（2）过点作垂直于于点，
因为,,

所以，
又,
所以，
所以，
则梯形的周长
，且，
设，
则，
对称轴为，
所以，即时，.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由图可得.
因为，
所以.
由，得，即，
因为，所以，
则.
（2）令，
得，
故的单调递增区间为.
14．(1)，
(2)当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元
【分析】（1）根据三角函数定义以及勾股定理表示出的三边，由此可得关于的函数，结合的极限位置可知定义域；
（2）先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知.
【详解】（1）因为，所以，
当在点时，此时最小，又，所以，所以，
当在点时，此时最大，又，所以，
由上可知，；
因为，所以，
又因为，且，
所以，
所以，
所以，定义域为；
（2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可，
由（1）可知：且，
设，且，所以，
所以，
又因为，且，
且，，
所以，
令，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以的最小值为，此时，所以，所以，
综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先根据图象求出函数解析式，根据可得，再利用差角公式可得答案；
（2）先求出的范围，利用换元法，结合二次函数的区间最值可求答案.
【详解】（1）因为点是线段的中点，所以的纵坐标为2，结合图象可得；
设，由中点公式可得，解得，即.
由图可知，周期为，所以.
由五点法可知，即，所以.
因为，所以，即，
因为A是锐角，所以，
所以
.
（2）当时，，，
所以.
设，则，；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，符合题意；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，不符合题意；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，不符合题意；
综上可得实数的值.
16．(1)，单调递增区间为，；
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性与最小正周期求解；
（2）先求出的解析式，再利用整体法求出的值域．
【详解】（1）函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，求得，
可得函数的增区间为，．
（2）由于，
根据题意，，
当时，，
则，所以,
所以的值域为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据单调递增区间的公式求解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【详解】（1）函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
18．(1)，.
(2)当时，最大，为
【分析】借助三角函数表示和，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值.
【详解】（1）如图：过做于.
则，所以，.
（2）
，
当且仅当即时取“”.
故当时矩形场地的面积最大且最大为.
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