2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数解答题专项突破
1．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
2．已知正整数和非零实数，若，且，求的值．
3．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
4．若函数在定义域内的某区间上是严格增函数，而在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
(1)判断，在区间上是否是“弱增函数”（不需证明）？
(2)若（其中常数，）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；
(3)已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
5．已知f(x)＝，a是大于0的常数．
（1）求；
（2）探求的值；
（3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值．
6．已知函数.
(1)判断并用定义法证明函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？
7．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)若存在，使成立，求的取值范围．
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
9．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围
10．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求当时，时，的解析式；
(2)求不等式的解集.
11．已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
12．定义在上的奇函数，已知当时，＝.
(1)求在上的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
13．已知函数是上的偶函数，若对于任意的，都有，且当时，，求：
(1)与的值；
(2)的值；
(3)的值.
14．已知是定义在上的偶函数，且当时，.
(1)求的值；
(2)当时，求函数的解析式；
(3)若，试求实数的取值范围.
15．已知对数函数，且）的图象经过点，求的值.
16．已知函数是奇函数，是偶函数．
(1)求的值．
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
18．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．

(1)分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
参考答案：
1．(1)3
(2)7
【分析】根据平方关系运算求解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
2．．
【分析】由已知条件，结合分数指数幂的运算得到，结合，得到，再根据为正整数对其分解，即可求得.
【详解】由已知，得，同理，，
三式相乘，得，又，
所以，又因为为正整数且不为1，故，
又则．
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据f（0）＝0和f（1）＋f（ 1）＝0即可求出a，b；
（2）判断f（x）的单调性，根据单调性和奇偶性得到关于的二次不等式，利用判别式研究二次不等式有解问题．
【详解】（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，
即，解得 b＝1，
所以．
又由f（1）＝ f（ 1）知：，解得 a＝2
即，
此时
故是奇函数
所以
（2）由（1）知
∴f（x）在（ ∞，＋∞）上为减函数
又因为f（x）是奇函数，
，
，即，
因为在上有解，
，
解得.
4．(1)不是，是
(2)，
(3)
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义进行判断；
（2）根据“弱增函数”的定义、二次函数和对勾函数的性质特点可知参数的取值范围；
（3）根据绝对值函数的解法先去绝对值，在不同区间内利用“弱增函数”的定义进行求解.
【详解】（1）解：由于在上是严格增函数，所以在区间上不是“弱增函数”；
在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，所以在区间上是“弱增函数”．
（2）由题意可知，（其中常数，）满足在上是增函数
∴对称轴，解得
满足在上是减函数，故此必为对勾函数
∴对勾函数单调性分界点，
∴综上：，．
（3）由题意可知：
在区间上，若为“弱增函数”，则必满足为严格增函数，为严格减函数，即 ；
同理：在区间上，若为“弱增函数”，则必满足；
在区间上，若为“弱增函数”，则必满足；
在区间上，若为“弱增函数”，则必满足无解.
综上所述：的取值范围
5．（1） ；（2）；（3） 50．
【分析】(1)根据题意，直接代入计算即可；(2)根据题意，结合指数幂的运算性质，即可得到；(3)根据题意，结合，把原式转化为50组的格式即可求解.
【详解】(1).
(2)由f(x)＝，得f(1－x)＝＝，故有．
(3)由(2)知，＋＋…＋
=++…＋＝1×50＝50．
6．(1)增函数，证明见解析
(2)存在实数，使函数为奇函数
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；
（2）利用函数奇偶性的性质即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数，
则为减函数，故是增函数.
证明如下：任取，且，
则
因为，所以，则,，
所以，即，
所以在上为增函数.
（2）假设存在实数a，使为奇函数，则，
所以，解得，
当时，，其定义域为，
所以，则为奇函数，
故存在实数，满足题意.
7．(1)；
(2)函数在上是减函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出；
（2）根据函数单调性定义即可证得函数单调递减；
（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意可知问题等价于，由此即可得解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以，
又因为，所以，
将代入，整理得，
当时，有，即恒成立，
又因为当时，有，所以，所以.
经检验符合题意，所以.
（2）由（1）知：函数，
函数在上是减函数.
设任意，且，
则
由，可得，又，
则，则，
则函数在上是减函数.
（3）因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
又因为，所以.
8．(1)是“局部奇函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）将问题转化为有解，解方程可求得，由此可得结论；
（2）令，将问题转化为方程在上有解，通过讨论二次函数的图象可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）由题意知：若为“局部奇函数”，则关于的方程有解，
当时，，
，又，，
函数是“局部奇函数”.
（2）当时，，
有解，
令，（当且仅当时取等号），，
关于的方程在上有解；
令，则，
①当，即或时，方程无解，不合题意；
②，即时，由得：，
又，当时，满足题意；
③当，即时，
或，
解得：或；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“局部奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.
9．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得a；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为恒成立，利用判别式求解即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，且，
，解得：，
，
，
，解得：；
当，时，，
，满足为奇函数；
综上所述：，；
（2）由（1）得：；
设，则，
，，，
，
在上为减函数；
（3）由得：，
又为上的奇函数，，
，
由（2）知：是定义在上的减函数，
，即恒成立，
所以只需，
解得，即实数的取值范围为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合函数是上的奇函数，利用，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分、和，三种情况讨论，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知，当时，，
当时，，可得，
因为函数是上的奇函数，所以，
所以，即时，.
（2）解：当时，不等式，可化为，所以，显然成立；
当时，是奇函数，此时成立；
当时，不等式可化为，所以，解得，所以，
综上可知，不等式的解集为.
11．(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
(2)1；
(3)0.
【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间；
（2）由（1）及题设知，即可求参数值；
（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.
【详解】（1）当时，，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以应有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．
（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，
应使的值域为R，
因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），
故a的值为0．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式；
（2）由题意可得在时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，
所以，
又，
所以，，
即在上的解析式为；
（2）因为时，，
所以可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，
故数的取值范围是.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知条件可求得的值，再由对任意的，，即可求得的值；
（2）由已知条件可得出，代值计算即可得解；
（3）推导出对任意的，，可求得的值，再结合偶函数的性质可求得的值，即可得出的值.
【详解】（1）解：当时，，则，
又因为对任意的，，则.
（2）解：当时，，又因为对任意的，，
则.
（3）解：对任意的，，则，
所以，，
又因为函数为上的偶函数，则，
因此，.
14．(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得.
（2）根据函数的奇偶性来求得当时函数的解析式.
（3）利用函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，是定义在上的偶函数，
.
（2）当时，.
（3）根据复合函数单调性同增异减可知，当时，为增函数；
根据偶函数的性质可知，当时为减函数.
，
或，
解得或.
15．0；；1.
【分析】由图象过点，求出a，再由函数表达式求出相应的函数值.
【详解】由题意知，即，而且，
所以，，
所以，
，
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．
【详解】（1）因为函数是奇函数，且的定义域为，
所以，得，
此时，
则符合题意；
因为是偶函数，且的定义域为，
所以，即对恒成立，
化简得对恒成立，
所以，所以
（2）因为的定义域为，为奇函数，在单调递增，
所以由，即，
所以，即对恒成立，
当时，取得最小值，
所以，即实数的取值范围为
17．(1)
(2)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据计算得到答案.
（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.
【详解】（1）当，时，
；
当，时，
，
故，
（2）当，时，，
当时，最大值为；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述：当时，有最大值为.
18．(1)，
(2)①万元；②当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数．
所以根据图象可得，，，，
所以，．
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，．
令，则，且，
则，．
当时，，此时，．
当两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
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