2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数解答题专项突破（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数解答题专项突破
1．已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)是纯虚数；
(2)对应的点在复平面的第三象限．
2．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
3．已知i是虚数单位，复数．
(1)若z为纯虚数，求实数a的值；
(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模．
4．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
5．实数分别为何值时，复数满足下列条件？
(1)是实数.
(2)是虚数.
(3)是纯虚数.
6．已知，（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
7．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：
(1)与原点重合；
(2)位于直线上；
(3)位于第一象限或者第三象限.
8．已知，设，其中i为虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围；
(2)若复数在复平面上对应的点在直线上，求的值.
9．已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
10．已知是虚数单位，是的共轭复数.
(1)若，求复数和；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
11．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数的值.
12．已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
13．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．
(1)求复数；
(2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
14．已知复数（，i为虚数单位）．
(1)若为纯虚数，求实数a的值；
(2)若，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．
15．已知复数，.
(1)求；
(2)已知是关于的方程的一个根，求实数，的值.
16．已知复数.
(1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
(2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标.
17．已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求实数的值.
18．已知关于的方程，其中a，b为实数．
(1)设（是虚数单位）是方程的根，求a，b的值；
(2)证明：当，且时，该方程无实数根．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可.
【详解】（1）因为是纯虚数，
所以；
（2）因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数m的取值范围为.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解；
（2）根据复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得，
所以实数的值为.
（2）若点A在第二象限，则，解得，
所以实数的取值范围为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的概念计算即可；
（2）利用复数的几何意义计算即可.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴，解得；
（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，
得，即，得．
∴．则．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的定义，结合复数相等的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的性质，结合复数的几何意义进行求解即可.
【详解】（1）设，则，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以
故点对应的复数为.
5．(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）整理题目所给复数的表达式，根据复数是实数列方程，由此求得.
（2）根据复数是虚数列不等式，由此求得的范围.
（3）根据复数是纯虚数列式，由此求得.
【详解】（1），
当，即或时，该复数为实数.
（2）当，即且时，该复数为虚数.
（3）当，即时，该复数为纯虚数.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义，可得答案；
（2）根据复数模长公式，整理不等式，根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）
根据题意是纯虚数，故，解得：；
（2）由，得：，即，从而，
由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上，实数的取值范围为.
7．(1)
(2)或
(3)或.
【分析】（1）（2）（3）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得复数z满足时，表示的点与原点重合,
解得.
（2）当时，表示复数的点位于直线上，
解得或.
（3）方法一：由题意可得或，
解，得或，解，解集为，
故或.
方法二：由题意得或.
8．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意得到点在第二象限，列出不等式组，结合对数的运算性质，即可求解；
（2）根据题意得到点在直线上，代入直线方程，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】（1）∵复数在复平面上对应的点在第二象限，∴在第二象限，且，
∴解得，∴的取值范围为.
（2）∵复数在复平面上对应的点在直线上，
即在直线上，
∴，即，
∴，得或.
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据模的计算公式直接求解；
（2）利用复数的除法进行计算；
（3）设，根据条件列方程求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）设，
则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
10．(1)，
(2)2
【分析】（1）先化简，再求出复数，再求出模长；
（2）由纯虚数的实部为零，虚部不为零求出结果即可.
【详解】（1）因为
由.得.
所以，.
（2）因为是纯虚数，
所以，
解得.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可；
（2）利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可.
【详解】（1）设，，，由题意：①
计算，得②
①②联立，解得，得.
（2），
所以且，解得.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的代数乘法运算即可；
（2）根据复数的乘除法运算即可.
【详解】（1）.
（2），
.
13．(1)
(2)
【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.
（2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）设复数，是实数，
所以，则，
所以，
因为为纯虚数，
所以且，解得，
所以.
（2）由（1）知，,
在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，
所以，解得，即实数m的取值范围为.
14．(1)1.
(2)
【分析】（1）根据复数乘法运算求出，再根据纯虚数的概念求解.
（2）化简复数，根据所对应的点位于第四象限列不等式组求解.
【详解】（1）因为复数，
则
又为纯虚数，所以，
解得，
（2）因为
由复数所对应的点位于第四象限，可得:，解得 ，
所以的范围为.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的模长公式求解即可得出答案；
（2）将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数，的值.
【详解】（1），
.
（2），
因为是关于的方程的一个根，
所以，
所以，即
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据在复平面内的对应点位于第二象限的特征进行求解即可；
（2）根据线纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则、投影向量的定义进行求解即可.
【详解】（1）在复平面内的对应点为，
因为点位于第二象限，所以，解得.
所以的取值范围为；
（2）因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以，，
∴点，.
所以.
即向量在向量上的投影向量的坐标为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法运算及纯虚数的概念求解；
（2）根据复数的乘法运算及复数相等求解.
【详解】（1）因为，
又是纯虚数，
所以，
解得，
所以.
（2）因为，
所以，
即，
，解得.
18．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程复数根的性质即可求解；
（2）根据一元二次方程的判别式即可判断.
【详解】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得，
得，解得，；
（2）∵，∴，∴，即，
∴，∴原方程无实数根．
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