课件25张PPT。频 数 与 频 率第5章频 数 与 频 率5.1 在前面的学习中，我们知道一组数据的平均数（中位数、众数）、方差反映了这组数据一般的、全局的性质，但这还不够，在许多实际问题中，我们还需要对收集的数据进行必要的归纳和整理，了解其分布情况，从而更具体地掌握这组数据. 请用整理数据的方法，借助统计图表将上述数据进行表述.可以采用“画记” 的方法得到下表：青年组（35 岁以下）中年组（35~50岁）老年组（50岁以上）正正正正 根据上表可以发现，青年组报名人数最多，中年组其次，
老年组最少. 我们把在不同小组中的数据个数称为频数.例如上表中20，17，13 分别是青年组、中年组、老年组的频数. 我们把每一组的频数与数据总数的比叫作这一组数据的频率，例如上表中青年组的频数为20， 频率为我们还可以用条形图（图5-1） 来表示各组人数. 图5-1前15 次射击得分情况后15 次射击得分情况（1） 用表格表示小芳射击训练中前15次和后15次射击得分
的频数和频率.
（2） 分别求出前15次和后15次射击得分的平均数（精确到
0.01），比较射击成绩的变化.前15 次射击得分情况0.33后15 次射击得分情况 从表中可以看出，小芳前15次的射击成绩中，7 环
最多，8 环其次，9 环较少，10 环没有；后15 次射击成
绩中，7 环最少，8 环和9 环最多，10 环有4次.
后15 次平均数大，说明经过调整射击方法后，
小芳得高分的次数增加，平均成绩得到了提高.同理可求得后15次射击成绩的平均数是8.80.（2） 前15次射击成绩的平均数是：解： 该班同学跳绳成绩统计表如下：（1） 按每分钟不足60 次为“不达标”， 60 ~ 90 次为“良”，
90 次以上为“优”， 编制成绩统计表（用频数和频率
表示）.（2） 计算这个班的达标率.解： 由统计表数据可知该班同学跳绳达标率为
0.3+0.675=0.975. 一枚硬币有两面，我们称有国徽的一面为“正面”，
另一面为“反面”；掷一枚硬币，当硬币落下时，可能
出现“正面朝上”，也可能出现“反面朝上”.
每次掷币，两种情形必然出现一种，也只能出现一种. 究竟出现哪种情形，在掷币之前无法预计，只有掷币之后才能知道.与同桌同学合作，掷10次硬币，并把10次试验结果记录下来：（1） 计算“正面朝上” 和“反面朝上” 的频数各是多少，
它们之间有什么关系？
（2） 计算“正面朝上” 和“反面朝上” 的频率各是多少，
它们之间有什么关系？假设某同学掷10次硬币的结果如下：正正正正那么，出现“正面朝上” 的频数是4，频率为 ；
出现“反面朝上”的频数是6，频率为
可以发现，“正面朝上” 和“反面朝上” 的频数之和为试验总次数；而这两种情况的频率之和为1. 一般地，如果重复进行n次试验，某个试验结果
出现的次数m 称为在这n次试验中出现的频数，而频数
与试验总次数的比 称为这个试验结果在这n次试验中
出现的频率. 一次掷两枚硬币，用A，B，C分别代表可能发生的三种情形： A. 两枚硬币都是正面朝上； B. 两枚硬币都是反面朝上； C. 一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上. 每次掷币都发生A，B，C三种情形中的一种，并且只发生一种. A，B，C发生的频数与频率 现在全班同学每人各掷两枚硬币5 次，记录所得结果， 将全班的结果汇总填入下表中，并计算频率.说一说，出现哪一种情形的频率高？ 全班每组同学抛掷一枚硬币40 次，记录出现“正面朝上”
的结果，将各组试验结果汇总，完成下表：根据上表， 在下图中绘制“正面朝上” 的频率变化折线统计图.例 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如下图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在15~20次之间的频率是（ ）.
A.0.1 B.0.17 C.0.33 D.0.4A结 束课件30张PPT。频数直方图5.2 为了了解居民的消费水平，调查组在某社区随机调查
某宿舍30户家庭6月份饮食消费的情况，数据如下表所示：如何更直观地了解这30户家庭6月份饮食消费的分布情况呢？ 由于上述数据较多，且分布比较零散，我们需要把这些数据进行必要的归纳和整理，先进行适当分组，并借助表格将各组的频数进行统计整理，以便分析这组数据的分布规律. 由表中可以看出，29号家庭月饮食消费最低，
3号家庭月饮食消费最高， 故m=730， M=956.
① 确定最小值m和最大值M.（1） 分组. ② 确定组距和组数. 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点数据
之间的距离称为组距. 根据问题的需要，各组的组距可以相同也可以彼此
不同. 本问题中，我们作等距分组.所分6组为
720≤x ＜ 760， 760 ≤x ＜ 800，
800≤x ＜ 840， 840≤x ＜ 880，
880≤x ＜ 920， 920≤x ＜960. 组距和组数的确定没有
固定的标准，可根据所研究
的具体问题来确定. 当数据
在100 个以内时，可依数据
个数的多少，分成5~12 组.（2） 列频数分布表. 统计属于每组中的数据的个数（频数），为避免数据的重复和遗漏， 我们仍采用“画记” 的方法，得到下面的频数分布表.调查对象6月份饮食消费支出频数分布表（3） 绘制频数直方图. 为了更直观地反映一组数据的分布情况，可以
以频数分布表为基础，绘制频数直方图（简称直方图）. 在直角坐标系中，以组距为宽，频数为高作小矩形，
就可以得到下面的直方图（图5-2）：在绘制频数直方图时，应注意：
1. 横轴和纵轴加上适当的刻度，
标明各轴所代表的名称和单位.
2.各个小矩形之间无空隙.
3.小矩形的边界对应于各组的组界.图5-2根据图5-2，你能从频数直方图中获得哪些信息？
（1）这30户家庭的饮食消费月支出集中在哪一组？
（2）是支出较高（超过880 元） 的家庭多， 还是支出
较低（月支出不足800元）的家庭多？
（3）请对这30户家庭的月饮食消费的整体水平作出评价.图5-2 我能看出在各个范围内分布的数据的个数（频数）. 我还能看出这30 户家庭的月饮食消费水平集中在哪一组. 把图5-2 中的频数直方图的纵轴改成“ ”，
重新计算后得图5-3，此时，小长方形的面积表示什么？图5-3小长方形的面积
=组距×
=频数.
举
例（1）制作样本的频数分布表，绘制频数直方图.
（2）根据频数直方图分析，身高在哪个范围的人数最多？
有多少人？ 40名男生的平均身高在这个范围内吗？
列频数分布表如下：（1）在样本数据中，最大值是181，最小值是160，
它们的差是21. 取组距为5 cm，则 = 4.2，
可分为5 组，即160 ≤x＜165，165 ≤x＜170，
170≤x＜175，175≤x＜180，180≤x＜185.根据上表绘制频数直方图， 如图5-4. 图5-4 在对数据的频数分布进行分析时，要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息. 下列数据为美玲最近40次使用移动电话的通话时间
（单位：min） 记录：
（1）将上述数据分组，制作频数分布表，并绘制出频
数直方图.
（2）美玲的通话时间在哪个范围内最多？ 她通话时间
的平均值在这个范围内吗？ 下列数据为美玲最近40次使用移动电话的通话时间
（单位：min） 记录： 下列数据为美玲最近40次使用移动电话的通话时间
（单位：min） 记录：
解： 列频数分布表如下：（1）将上述数据分组，制作频数分布表，并绘制出频
数直方图. 答：由频数直方图可知美玲的通话时间
在10＜x≤20 min范围内最多；
她通话时间的平均值在这个范围内.（2）美玲的通话时间在哪个范围内最多？ 她通话时间 的平均值在这个范围内吗？例1 下图是初三(2)班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频
率分布直方图(次数均为整数).已知该班只有5位同学的心跳每分
钟75次，请观察此图，指出下列说法中错误的是（ ）.
A. 数据75落在第2小组；
B. 第4小组的频率为0.1 ；
C. 心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的；
D. 数据75一定是中位数.D例2 某校320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考
试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等
级，为了了解电脑培训的效果，随机抽取32名学生两次考试考分等
级的统计图(如图)，试回答下列问题：（1）32名学生经过培训后不合格的频数为8，频率为 .
培训前不合格的频数为24，频率为 .
（2）由于培训后合格和优秀的频率为 ，故320名学生
培训后合格和优秀的频数为：320×75%=240.
（3）合理. 理由是该样本是随机抽取的，具有代表性.解1. 举例说明频数和频率的意义.
2. 说一说绘制频数直方图的方法和步骤.
3. 从频数直方图可以了解数据的哪些方面的信息？
试举例说明.3. 频数直方图和条形统计图都可以直观地表示出具体
数量，但它们之间有区别：
（1）频数直方图表示的是连续分组数据，直方图中
的各矩形通常是连续排列的，而条形统计图表
示的是离散数据，各矩形通常是分开排列的；
（2）频数直方图是表示同一类事物中一组数据的分
布情况，而条形统计图可以表示不同类事物之
间的分布情况.结 束第五章 数据的频数分布
单元测试题
（时限：100分钟 总分：100分）
班级 姓名 总分
选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
1．小明随机写了一串数“1，2，3，3，2，1，1，1，2，2，3，3”，则出现数字“3”的频数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．小明3分钟共投篮80次，进了50个球，则小明进球的频率是（ ）
A．80 B．50 C．1.6 D．0.625
3．八年级某班50位同学中,1月份出生的频率是0.30，那么这个班1月份出生的同学有（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
4．将100个数据分成8个组，如下表所示，则第6组的频数为（ ）
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
11
14
12
13
13
x
12
10
A．12 B．13 C．14 D．15
5．下列各数中可以用来表示频率的是（ ）
A．－0.1 B.1.2 C.0.4 D.
6．一个容量为80的样本，最大值是141，最小值是50，取组距为10，则可以分（ ）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
7．在对2009个数据进行整理的频数分布直方图中，各组频数之和与频率之和分别等于（ ）
A．2009，1 B．2009，2009 C．1，2009 D．1，1
8．某班有48位同学，在一次数学测检中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数分布直方图（横半轴表示分数，把50.5分到100.5分之间的分数分成5组，组距是10分，纵半轴表示频率）如图所示，从左到右的小矩形的高度比是1:3:6:4:2，则由图可知，其中分数在之间的人数是（ ）
A．9 B．18 C．12 D．6
二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
9．容量是80的一个样本，分组后某一小组的频率是0.25，则样本数据在该组的频数是
．
10．将50个数据分成3组，其中第一组和第三组的频率之和是0.7，则第二组的频数是
．
11．一个样本有20个数，分组以后落在20.5~22.5内的频数是6，则这一小组的频率是
．
12．已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为 ．
13．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数据整理后分成4组，画出频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为4，则第四小组的频率是 ，参加这次测试的学生有 人．
14．从某厂生产同种规格的电阻中，抽取100只进行测量，得到一组数据，其中最大值为11.58欧，最小值为10.72欧，对这组数据进行整理时，确定它的组距为0.10，则应分成 组．
15．将一个有80个数据的一组数分成四组，绘出频数分布直方图，已知各小长方形的高的比为3:4:2:1，则第一小组的频率为 ，第二小组的频数为 ．
16．赵老师想了解本校“生活中的数学知识”大赛的成绩分布情况，随机抽取了100份试卷的成绩（满分为120分，成绩为整数），绘制成如图所示的统计图. 由图可知，成绩不低于90分的共有_____人.
三、解答题(本题共5小题，共36分)
17．（本小题满分6分）
某中学进行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分）请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次演讲比赛的同学有 ；
（2）已知成绩在91～100分的同学为优秀者，那么优胜率为 ；
（3）画出成绩频数分布直方图．
分数段（分）
人数（人）
91～100
4
81～91
6
71～80
8
61～70
2
18. （本小题满分7分）
为增强学生的身体素质，某校长年坚持全员体育锻炼，并定期进行体能测试，下图是将某班学生的立定跳远成绩（精确到0.01米）进行整理后，画出的频数分布直方图的一部分，已知从左到右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.30，0.35，第5小组的频数9．
（1）请将频数分布直方图补充完整；
（2）该班参加这次测试的学生有多少人？
（3）若成绩在2.00米以上（含2.00米）的为合格，问该班成绩的合格率是多少？
19.（本小题满分7分）
2014年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段
频数
频率
50．5～60．5
16
0.08
60．5～70．5
40
0.2
70．5～80．5
50
0.25
80．5～90．5
m
0.35
90．5～100．5
24
n
（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝ ，n= ;
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
20. （本小题满分8分）
某中学为了培养学生的社会实践能力， “五一”长假期间要求学生参加社会调查活动. 为此，小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭在新工资制度实施后的收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图，如图所示.
（收入取整数，单位：元）．
分 组
频数
频 率
1000~1200
3
0.060
1200~1400
12
0.240
1400~1600
18
0.360
1600~1800
0.200
1800~2000
5
2000~2200
2
0.040
合 计
50
1.000
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）这50个家庭收入的中位数落在 小组；
（3）请你估算该小区600个家庭中收入较低（不足1400元）的家庭个数大约有多少？
21.（本小题满分8分）
从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表
组别
观点
频数（人数）
A
大气气压低，空气不流动
80
B
地面灰尘大，空气湿度低
C
汽车尾气排放
D
工厂造成的污染
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空： ， ，中组所占的百分比为 %.
（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的频率是多少？
参考答案
第五章 数据的频数分布
选择题：
1.B；2.D； 3. A； 4.D； 5.C； 6.A； 7.A；8 B.
二、填空题：
9. 20； 10. 15； 11. 0.3； 12. 8； 13. 0.2，40； 14. 9 ；
15. 0.3，32. 16. 27.
三、解答题：
17. （1）20 ； （2）20%； （3）略.
18. （1）
（2）60； （3）80%.
19. （1）200，70，0.12；
（2）补全后的频数分布直方图如下图：
（3）1500＝420（人）.
20. （1）
分组
频数
频率
1000~1200
3
0.060
1200~1400
12
0.240
1400~1600
18
0.360
1600~1800
10
0.200
1800~2000
5
0.100
2000~2200
2
0.040
合计
50
1.000
（2）三 ； （3）180（户）.
21. （1）由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：
.
∴，.
组所占百分比是.
（2）由题可知：D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为， ∴（万人）.
（3）持C组“观点”的频率为.
数学 八年级下册
教学目标期末检测试卷
学校 姓名 准考证号
一
二
三
总 分
评卷人
19
20
21
22
23
24
25
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A B C D
2．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是( )
A． B． C． D．
3. 在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 70°
4. 函数的自变量的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5. 将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．(2，3) B．（2，－１）
C．（4，1） D. （0，1）
6．如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到
△DBC，那么四边形ABDC为（ ）
A．菱形 B．正方形
C．矩形 D． 一般平行四边形
7. 直线的图象经过( )
A. 第二、三、四象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、三象限
8. 下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示是的函数的是（ ）
A B C D
9. 如图，将四边形纸片ABCD沿着折叠，点恰好落在上（）. 再将四边形纸片ABCD的B点折向D，此时与恰好重合，得到折线，点落在上，则下列结论正确的是（ ）
A．// B．// C．∠ADB＝∠BDC D．∠ADB＞∠BDC
10.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是．则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ）
二、 填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分. 请把答案填在题中横线上）
11.如果正比例函数的图象经过点（1，-2），那么k 的值为 .
12. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数是______.
13. 在平面直角坐标系xOy中，点P在x轴上，且与原点的距离为，则点P的坐标为
.
14．已知一次函数的图象与轴正半轴相交，且随的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式： .
15. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一段直角边与
含45°角的三角板的一段直角边重合，则∠α的度数为___________．
16. 如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周
长为cm，则CD =________ cm．
17. 正方形ABCD中，AB＝24，AC交BD于O，则△ABO的周长是_________.
18. 如图，第一个正方形的顶点A1(-1，1)，B1（1，1）；
第二个正方形的顶点A2(-3，3)，B2(3，3)；第三个正
方形的顶点A3(-6，6)，B3(6，6)；…．按顺序取点A1，
B2，A3，B4，A5，B6，…，则第10个点应取点B10，
其坐标为 ；第（n为正整数）个点应取点 ，
其坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（本小题满分6分）
已知：如图，，是□ABCD的对角线上的两点，
，求证：．
20. （本小题满分6分）
某校八（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量(t)
频数(户)
频率
6
0.12
0.24
16
0.32
10
0.20
4
2
0.04
请解答以下问题：
（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20 t的家庭大约有多少户？
21. （本小题满分6分）
如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，
两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少飞行的距离.
22. （本小题满分6分）
如图，在菱形中，，相交于点，为
的中点，.
（1）求的度数；
（2）如果，求的长.
23. （本小题满分7分）
甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段、折线分别是甲、乙两人登山的路程（米）与登山时间（分）之间的函数图象．
请根据图象所提供的信息，解答如下问题：
（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？
24. （本小题满分7分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象是第二、四象限的角平分线．
实验与探究：由图观察易知A（－1，3）关于直线的对称点的坐标为（－3，1），请你写出点B(5,3)关于直线的对称点的坐标为 ；
归纳与发现：结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m ,n)关于第二、四象限的角平分线的对称点的坐标为 ；
运用与拓广：已知两点C(6 , 0)，D(2 , 4)，试在直线上确定一点，使这点到C，D两点的距离之和最小，在图中画出这点的位置，保留作图痕迹，并求出这点的坐标．
25. （本小题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿折线ABC的方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）动点P从点A出发，沿线段AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当∠MPB与∠BCO互为余角时，试确定t的值.
参考答案
数学 八年级下册
教学目标期末检测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. B 2. B 3. D 4. C 5. D 6. A 7.C 8. D 9. A 10.B
二、填空题（每个题3分，共24分）
11. ； 12. 9； 13. ； 14. 或等；
15. 105°； 16. ； 17. ； 18. （55，55），A2n-1，(n-2n2，2n2-n).
三、解答题（共46分）
19. （本小题满分6分）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.…………………………2分
∴. …………………………3分
∵，
∴. ……………………………4分
∴. …………………………………………………5分
∴. ……………………………………………6分
20. （本小题满分6分）
解：（1）12；0.08；频数分布直方图略. …………………………3分
（2）用水量不超过15吨的是前三组，（0.12+0.24+0.32）×100﹪=68﹪. ……………4分
（3）1000×（0.04+0.08）=120（户）. …………………………6分
21. （本小题满分6分）
如图，设大树高为AB=10 m，小树高为CD=4 m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形. ……………2分
∴EB=CD=4 m，EC=8 m. ……………3分
AE=AB－EB=10－4=6 m. ……………4分
连接AC，
在Rt△AEC中，．……………6分
22. （本小题满分6分）
解：（1）∵四边形是菱形，
，∥ ………………………………………1分
∴.
∵为的中点，，
∴. ……………………………2分
∴.
∴ △为等边三角形.
∴ ．
∴ ． ………………………………………3分
（2）∵四边形是菱形，
∴于，……………………………………4分
∵于，
∴．
∵
∴．
∴.……………………………………6分
23．（本小题满分7分）
解：（1）设甲登山的路程与登山时间之间的函数解析式为．
∵ 点在函数的图象上，
∴ .
解得. ……………………… 1分
∴ .……………… 3分
（2）设乙在段登山的路程与登山时间
之间的函数解析式为，
依题意，得 ………………… 4分
解得
∴ . ………………………5分
设点为与的交点，
∴ …………………6分
解得
∴ 乙出发后分钟追上甲，此时乙所走的路程是米. …………… 7分
24. （本小题满分7分）
解：（1）（－3，－5）. ………………………………………………………………… 1分
（2） （－n，－m）. …………………………………………………………… 2分
（3）如图，作点C关于直线 l 的对称点，连接D，交 l于点E，连接CE.
由作图可知，EC= E ，
∴EC + ED = E+ ED = D ．
∴点E为所求． ……………………………………………………………… 3分
∵C（6，0），
∴（0，－6）．
设直线D的解析式为．
∵D(2 , 4)，
∴ ．
∴直线D的解析式为．…………………………………………… 4分
由 得
∴E(1 , －1) ． ……………………………………………………………… 5分
……………………… 7分
25．（本小题满分8分）
解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
∵A（－3，4），∴AE＝4，OE＝3，∴OA＝＝5．
∵四边形ABCO是菱形，∴OC＝CB＝BA＝OA＝5，∴C（5，0）． 1分
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A（－3，4），C（5，0）代入得：
解得
∴直线AC的解析式为y＝－x＋． 3分
（2）由（1）得点M的坐标为（0，），∴OM＝．
如图1，当点P在AB边上运动时．
由题意得OH＝4，∴HM＝．
∴S＝BP·MH＝(5－2t)×
∴S＝－t＋（0≤t＜). .................5分
如图2，当点P在BC边上运动时．
∵∠OCM＝∠BCM，OC＝BC，MC＝MC．
∴△MOC≌△MBC．
∴BM＝OM＝，∠MBC＝∠MOC＝90°．
∴S＝BP·BM＝(2t－5)×
∴S＝－（＜t≤5） 7分
（3）∵∠AOC＝∠ABC，∠MOC＝∠MBC，∴∠AOM＝∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO＝90°，∠BAO＝∠BCO，∠BAO＋∠AOM＝90°．
∴∠MPB＝∠AOM，∴∠MPB＝∠ABM．
如图3，当点P在AB边上运动时．
∵∠MPB＝∠ABM，∴PM＝BM．
∵MH⊥PB，∴PH＝HB＝5－3＝2，∴PA＝3－2＝1．
∴t＝．…………… 8分
