课件26张PPT。直 角 三 角 形第1章直角三角形的性质 和判定（Ι）1.1 在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？ 如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？图1-1 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A +∠B=90°.直角三角形的两个锐角互余.由此得到：有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.图1-2有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到： 如图1-3，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？图1-3我测量后发现CD = AB.线段CD 比线段AB短.图1-3是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 成立呢？∴∴故得∴ 点 是斜边上的中点，即 是斜边 的中线.图1-4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：图1-5根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB =180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.所以 ∠A+∠B =90°.根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形. 1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边 AB的长是多少？ 2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，
如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB
有什么关系呢?
图1-6如图1-6，取线段AB的中点D，连接CD.∴ △BDC为等边三角形. ∴ ∠B=60°.图1-6∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°，∴ 在直角三角形中，如
果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜
边的一半. 如图1-7，取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边上的中线，则有又已知 ，所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形.所以∠B=60°.所以∠A=30°.又∠A+∠B=90°，图1-7举
例如图1-8所示，在A岛周围20海里(1海里=1852m) 水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，
发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的
危险吗？图1-8例2 解 轮船在航行过程中，
如果与A岛的距离始终大于20海里，
则轮船就不会触暗礁.在图1-8中，过A点作AD⊥OB，垂足为D.B图1-8所以轮船不会触礁.1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出电梯AB的长度吗？解：在Rt△ABC中,
BC=6 , ∠BAC=30°,
∴ AB=2BC=2×6=12(m). 故电梯AB的长度为12m.AB2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD垂直于 AB，垂足为点D， ，求∠A的度数.又在Rt△ABC中，∠ACB=90°，解：∵ 在Rt△BDC中，∠BDC= 90°， ，
∴ ∠BCD=30°.∴ ∠A= 90°- 60°= 30°.∴ ∠B= 60°.例 如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）.
A.150° B.130° C.120° D.100°B结 束课件36张PPT。直角三角形的性质 和判定（Ⅱ）1.2 如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）
画一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边
分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.图1-9我量得c为5. 在方格纸上， 以图1-9 中的Rt△ABC 的三边为边长
分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，
那么这三个正方形的面积S1， S2 ， S3 之间有什么关系呢？图1-10 在图1-10 中， S1 + S2 =S3 ， 即BC2 +AC2 =AB2 ，
那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10 如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C= 90°， 若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2 + b2 = c2
是否成立呢？图1-11步骤1 先剪出4个如图1-11 所示的直角三角形， 由
于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中
b > a），于是它们全等（SAS），从而它们的
斜边长相等. 设斜边长为c.
图1-11我们来进行研究.步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形，如图1-12所示.图1-12步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成
如图1-13的图形.图1-13由于△DHK≌△EIH，
∴ ∠2 ＝∠4.又∵ ∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠1 +∠4 = 90°.因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a + b)，
它的面积为(a + b)2 .又∠KHI = 90°，
∴ ∠1 +∠KHI +∠4 = 180°， 即D，H，E 在一条直线上.图1-13同理E，I，F在一条直线上； F ，J，G 在一条直线上；
G ，K，D 在一条直线上.又正方形DEFG 的面积为c2 + ，∴图1-13直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+ b2 = c2 由此得到直角三角形的性质定理： 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三
角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角
边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为
弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.勾股弦故AD的长为12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理得
AD2+BD2 =AB2 ，解 在△ABC中，
∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC，
∴ BD = = 5.
∴在Rt△ABC中，∠C= 90°.
（1） 已知a = 25，b = 15，求c；
（2） 已知a = 5，c = 9，求b；
（3） 已知b = 5，c=15，求a.答：（1）c= ；（2） ；（3） 如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在
墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在
墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够，
于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.
那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？图1-16在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，图1-17由勾股定理得， （m）.图1-16 由图1-16 抽象出示意图1-17. 在Rt△ABC 中，计算出AB； 再在Rt△ 中， 计算出 ，则可得出梯子往上移动的距离为（ -AB）m.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.
图1-17因此 = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.在Rt△ 中， = 4m， = 1m，
故分析 根据题意，先画出水池截面示意图， 如图1-18.
设AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，即1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.在Rt△ACB′中， 根据勾股定理，得
x2 + 52 =（x+ 1）2，答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.图1-18因为正方形池塘边长为10尺， 所以
B′C = 5尺.解得 x=12.
则芦苇长为13尺.1. 如图，一艘渔船以30 海里/h 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东30°方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，D因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内，
所以轮船不会触礁.
由已知得AB=30× （海里）， 在Rt△CBD中，∠BCD=30°，2. 如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为12m，
为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力
部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥
撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距
离为8m，电线CD 与水平线AC 的夹角为60°.
求电线CDE 的总长L（A，B，C 三点在同一直线
上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.M易知四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理得所以L= ED+CD=10+ （m）. 我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b 的平方和，等于斜边c的平方.” 那么，这个定理的逆命题成立吗？ 如图1-19，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，
且a2+ b2 =c2 ， 那么△ABC是直角三角形吗？图1-19 如果我们能构造一个直角三角形， 然后证明△ABC 与所构造的直角三角
形全等， 即可得△ABC 是直角三角形.∵ a2+ b2 = c2 ，图1-20∴ = c.∴ 2 = c2.∴ △ABC是直角三角形. 先构造满足某些条件的
图形，然后根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
完成证明，这也是常用的问
题解决策略.∴ ∠C =∠ = 90°. 如果三角形的三条边长a，b，c 满足关系：
，那么这个三角形是直角三角形. 由此得到直角三角形的判定定理：上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析 根据勾股定理的逆定理， 判断一个三角形是不是直角三角形， 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.举
例 满足a2+ b2 = c2的
三个正整数称为勾股
数.（2） ∵ 122 + 152 = 369， 202 = 400，
∴ 122 + 152≠202.
∴ 这个三角形不是直角三角形.（1）a = 6，b = 8，c = 10；（2）a = 12，b = 15，c = 20.例4如图1-21，在△ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17. 求DC的长.图1-21举
例答：（1）是 ； （2）不是； （3）是.2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，
E是BC上一点， 且EC= BC.
求证： △AEF是直角三角形.例 如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）.
A.10° B.20° C.30° D.40°B结 束课件11张PPT。直角三角形全等的判定1.3 在前面的学习中， 我们用SAS，ASA，AAS
和SSS 来判定两个三角形全等.对于两个直角三角形，除了可以运用一般三角形全等的判定方法外， 是否还有其他的判定方法呢？图1-22 用前面学过的方法无法判断这两个三角形是否全等.图1-22∴ BC = . 斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
由此得到直角三角形全等的判定定理：举
例例1 如图1-23， BD ，CE分别是△ABC的高，且BE = CD.
求证： Rt△BEC ≌ Rt△CDB.图1-23在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵ BC = CB，BE = CD，
∴ Rt△BEC ≌ Rt△CDB （HL）.
举
例图1-24作法（1）作∠MCN= 90°.（2）在CN上截取CB，使CB=a.（3）以点B为圆心，以c为半径画弧，
交CM于点A，则△ABC为所求作的直角三角形.如图1-25.BA图1-25连接AB. 1.下面说法是否正确？为什么？答：不对.（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.答：对，
可根据“SAS”证明这两个三角形全等.2. 如图，∠DAB 和∠BCD都是直角，AD = BC. 判断△ABD和△CDB是否全等，并说明理由.结 束课件26张PPT。角平分线的性质1.4 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等.图1-26∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，∴ △PDO≌△PEO.∴ PD = PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
由此得到角平分线的性质定理：在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴ ∠AOC =∠BOC.∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：又 BA⊥AD， BC⊥CD，∴ 点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.∴ ∠ABD =∠CBD.∴ BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所
求作的点P.（提示：用尺规作图）如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边
的距离相等.P2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB
于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD.
求证：AB=AC. 如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM
分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29图1-29∵ ME⊥CD， MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN =ME （或MN =MF）.∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29∴ PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴ BE+PF>PB.图1-30举
例 如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其
到三边的距离相等吗？图1-31图1-32如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D.
求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.M证明 作CM⊥AB于点M. 1. 直角三角形的两个锐角有什么关系？
2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？
3. 请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.
4. 判断两个直角三角形全等的方法有哪些？
5. 角平分线有哪些性质？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形直角
三角形勾股定理勾股定理的逆定理“斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形.
2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互为逆命题.
3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形.结 束直角三角形
单元测试题
（时限：100分钟 总分：100分）
班级 姓名 总分
选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是 ( )
A. 4，5，6 B.1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23
2.一个正方形的面积为，则它的对角线长为 ( )
A. 4 cm B.cm C. cm D. 6cm
3如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B.AAS
C. SSS D.HL
4. 三角形内到三边的距离相等的点是（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 以上均不对
5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )
A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米
6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线
剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A．315° B．270°
C．180° D．135°
8. 在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，若BC＝32，BD∶CD＝9∶7，则D点到AB边的距离为（ ）
A . 18 B. 16 C. 14 D. 12
填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
9. 已知△ABC的三边长分别为1，，2，则△ABC是 三角形.
10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 .
11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的周长
是 .
12. 在直角三角形中，两锐角之比为，则两锐角的度数分别
为 ．
13. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其
面积分别为，，且，，
则 ；以Rt?ABC的三边向外
作等边三角形，其面积分别为 ，，，
则，，三者之间的关系为 .
14. 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，则∠B的度数为 ．
15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD=3.5，BC=6，则△ABC的周长是 ．
16. 如图，在△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，则△BDC的面积为 ．
三、解答题(本题共5小题，共36分)
17.（本小题满分7分）
如图，，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由.
18. （本小题满分7分）
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D，若AP平分∠BAC交BD于点P，求∠APB的度数.
19. （本小题满分7分）
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.
20.（本小题满分7分）
如图，一个梯子AB 长10 米，顶端A 靠在墙上的AC 上，这时梯子下端B 与墙角c 距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为1 米，求梯子顶端A 下落了多少米？（精确到0.01 )
1
21.（本小题满分8分）
小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知
，求CD的长.
参考答案
第一章 直角三角形
选择题：
1.B；2.B ； 3. D； 4.C ； 5.A； 6.B； 7.B ；8 C.
二、填空题：
9. 直角； 10. 16； 11. ； 12. ，；
13. 12；S1+S2=S3 14. ； 15. 20.5或12+
16. .
三、解答题：
17. △ABD为直角三角形. 理由如下：
，AC=3，BC=4，.
,
. .
18. .
19. 利用“AAS”判定△ACE≌△CBD，
.
.
20. 梯子顶端A下落了0.86米.
21. 2．
课件3张PPT。几何学的基石——勾股定理结 束
