【新结构】2023-2024学年河南省许昌市高二上学期期末教学质量检测数学试题(含解析）
文档属性
| 名称 | 【新结构】2023-2024学年河南省许昌市高二上学期期末教学质量检测数学试题(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 13:44:13 | ||
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文档简介
【新结构】2023-2024学年河南省许昌市高二上学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的方向向量，则( )
A. B. C. D.
2.若方程表示双曲线，则的取值范围是
( )
A. 或 B.
C. 或 D.
3.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为
( )
A. B.
C. D. 或
4.在棱长为的正方体中，点到的距离为
( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为，则它的斜率为
B. 直线过定点
C. 圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D. 与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线只有一条
6.已知数列的前项和，则的值是
( )
A. B. C. D.
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率其中的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的公差为，前项和若，则下列结论正确的是
( )
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 中最大的是
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若，为上关于原点对称的两点，则
( )
A. 的标准方程为
B.
C.
D. 四边形的周长随的变化而变化
11.已知函数，则
( )
A. 有两个极值点 B. 有两个零点
C. 直线是的切线 D. 点是的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．
13.已知数列满足，，若为数列前项和，则 ．
14.若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列为等差数列，为等比数列，公比．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆的方程为．
直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点．
求证：
求与所成角的余弦值
求的长．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，且经过点．
求双曲线的方程；
若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数、
若函数的图象与轴相切，求的值；
设，、，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解．
【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．
【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得；
若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解．
综上所述，．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】设出切线斜率，分类讨论推出斜率一定存在，在利用圆心到直线的距离和半径相等列出方程求解参数，最后得到方程即可．
【详解】设斜率为，圆心到直线的距离为，
当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除，
即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
由题意得，可得，解得或，
即切线方程为或，显然 D正确．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，首先求出在上的投影长度为，进一步由勾股定理即可求解．
【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意，
所以，
在上的投影长度为，
所以点到的距离为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】取为直角，可判断选项；求出直线所过定点的坐标，可判断选项；求出圆上到直线的距离等于的直线方程，将问题转化为直线与圆的公共点个数，可判断选项；对所求直线是否过原点进行分类讨论，设出所求直线的方程，根据直线与圆的位置关系求出参数的值，确定所求直线的条数，可判断选项．
【详解】对于选项，当为直角时，直线的斜率不存在，错；
对于选项，对于直线的方程，由可得
故直线过定点，错；
对于选项，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为或，
所以，圆上到直线的距离等于的点在直线和上，
圆的圆心为原点，半径为，显然直线过圆心，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相切，
所以，圆上有且仅有个点到直线的距离等于，对；
对于选项，圆的圆心为，半径为，
当所求直线过原点时，设直线的方程为，可得，则，
此时，所求直线的方程为，
当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
则，解得或，
此时，所求直线的方程为或，
综上所述，与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线有三条，错．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用前项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可．
【详解】易知，，
故，当时符合题意，故成立，
显然．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程及其应用，属于中档题．
先求出直线的方程，然后求出的坐标，代入可得结果．
【解答】
解：依题意有四点共圆，设点坐标为，
则四边形外接圆方程为，
又方程为，
将两圆方程：与相减，
得：，解得，，
则
．
8.【答案】
【解析】【分析】求出，计算出，结合已知条件即可得解．
【详解】因为，则，
则，
所以，，
所以，，故．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】利用数列的性质逐个选项分析即可．
【详解】由题意得，，
化简得，，即，，故，
由得，，代入得，，
解得，故 C正确，
则，故数列是递减数列，故 A错误，
而，故 B错误，
易知数列前项为正，从开始，数列所有项为负，
故中最大的值是，故 D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】对于，利用已知求出方程即可，对于，运用椭圆的定义结合基本不等式的代换处理即可，对于，设出点，求斜率定值即可，对于，运用椭圆的定义转化为定值即可．
【详解】
由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，
故的标准方程为，显然 A正确，
连接，由对称性得，
结合椭圆的定义得，
故，
当且仅当时取等，故 B正确，
设，，而，故，
故，，故，故 C正确，
易知四边形的周长为，为定值，故 D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】对于，极值点不是点，由此即可判断；对于，令即可判断；对于，由即可判断；对于，由即可判断．
【详解】
对于，令，解得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以有两个极值点，故 A错误；
对于，令，得或，
所以有两个零点，故 B正确；
对于，因为，所以直线不可能是的切线，故 C错误；
对于，因为，
所以点是的对称中心，故 D正确．
故选：．
关键点睛：选项的关键是明确极值点不是“点”，由此即可顺利得解．
12.【答案】或
【解析】【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果．
【详解】由已知可得，，
所以，向量在上的投影向量的模为
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】由题意可得：，，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解．
【详解】因为，
令，则，解得，
且，可得，
当为奇数，则；
当为偶数，则；
所以
，
即．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解．
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得．
故答案为：．
15.【答案】
设等差数列得公差为，联立，即
解得，或，又，所以
故，
令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，，
所以．
【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，建立方程组，可得答案．
利用错位相乘法，可得答案．
16.【答案】
解：圆的圆心为坐标原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，则．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
解：取点，则，
如下图所示，设直线交圆于点、，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
当点与点重合时，取最大值，且．
因此，的最大值为，最小值为．
【解析】【分析】求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程；
取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解．
17.【答案】解：
证明： 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
，，
因为，
所以，即．
因为，
，
，
所以，
．
又因为异面直线所成角的范围是，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
由知， ．
【解析】本题考查利用空间向量判定垂直以及异面直线的所成的角和求距离问题，是中档题．
建立空间直角坐标系，根据可以证明
根据可以求出角的余弦值；
根据两点间的距离公式可以得出答案．
18.【答案】
因为的右焦点为，且经过点，
所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
设直线的方程为．
点的坐标满足方程组
所以得，
整理得．
此方程有两个不等实根，于是，
且整理得
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为．
由题设可得．
整理得．
将上式代入式得，
整理得．
解得或．
所以的取值范围是．
【解析】【分析】由题意，解方程组即可得解．
由题意不妨设联立双曲线方程，所以，，进一步由韦达定理，中点坐标公式得线段的垂直平分线方程，结合题意得，由此即可进一步求解．
关键点睛：第二问的关键是得由三角形面积得关系式，联立判别式得关于的不等式，由此即可顺利得解．
19.【答案】
解：因为，则，
若，则函数，不合乎题意，所以，，
设切点坐标为，则，解得，
且，整理可得，可得，解得．
解：因为，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，则对任意的恒成立，
则函数在上单调递增，
不妨设，由可得，
即．
记，则，
则函数在上为减函数，
在恒成立，则对任意的，则，
令，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在区间上为增函数，则，
所以，函数在上为增函数，则，
又因为，则实数的取值范围是．
【解析】【分析】分析可知，，设，由可求得实数的值；
利用导数分析函数、在上的单调性，令，分析可知函数在上为减函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最小值，结合可得出实数的取值范围．
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
函数在区间上存在单调递减区间，使得成立．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的方向向量，则( )
A. B. C. D.
2.若方程表示双曲线，则的取值范围是
( )
A. 或 B.
C. 或 D.
3.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为
( )
A. B.
C. D. 或
4.在棱长为的正方体中，点到的距离为
( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为，则它的斜率为
B. 直线过定点
C. 圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D. 与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线只有一条
6.已知数列的前项和，则的值是
( )
A. B. C. D.
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率其中的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的公差为，前项和若，则下列结论正确的是
( )
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 中最大的是
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若，为上关于原点对称的两点，则
( )
A. 的标准方程为
B.
C.
D. 四边形的周长随的变化而变化
11.已知函数，则
( )
A. 有两个极值点 B. 有两个零点
C. 直线是的切线 D. 点是的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．
13.已知数列满足，，若为数列前项和，则 ．
14.若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列为等差数列，为等比数列，公比．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆的方程为．
直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点．
求证：
求与所成角的余弦值
求的长．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，且经过点．
求双曲线的方程；
若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数、
若函数的图象与轴相切，求的值；
设，、，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解．
【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．
【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得；
若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解．
综上所述，．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】设出切线斜率，分类讨论推出斜率一定存在，在利用圆心到直线的距离和半径相等列出方程求解参数，最后得到方程即可．
【详解】设斜率为，圆心到直线的距离为，
当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除，
即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
由题意得，可得，解得或，
即切线方程为或，显然 D正确．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，首先求出在上的投影长度为，进一步由勾股定理即可求解．
【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意，
所以，
在上的投影长度为，
所以点到的距离为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】取为直角，可判断选项；求出直线所过定点的坐标，可判断选项；求出圆上到直线的距离等于的直线方程，将问题转化为直线与圆的公共点个数，可判断选项；对所求直线是否过原点进行分类讨论，设出所求直线的方程，根据直线与圆的位置关系求出参数的值，确定所求直线的条数，可判断选项．
【详解】对于选项，当为直角时，直线的斜率不存在，错；
对于选项，对于直线的方程，由可得
故直线过定点，错；
对于选项，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为或，
所以，圆上到直线的距离等于的点在直线和上，
圆的圆心为原点，半径为，显然直线过圆心，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相切，
所以，圆上有且仅有个点到直线的距离等于，对；
对于选项，圆的圆心为，半径为，
当所求直线过原点时，设直线的方程为，可得，则，
此时，所求直线的方程为，
当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
则，解得或，
此时，所求直线的方程为或，
综上所述，与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线有三条，错．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用前项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可．
【详解】易知，，
故，当时符合题意，故成立，
显然．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程及其应用，属于中档题．
先求出直线的方程，然后求出的坐标，代入可得结果．
【解答】
解：依题意有四点共圆，设点坐标为，
则四边形外接圆方程为，
又方程为，
将两圆方程：与相减，
得：，解得，，
则
．
8.【答案】
【解析】【分析】求出，计算出，结合已知条件即可得解．
【详解】因为，则，
则，
所以，，
所以，，故．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】利用数列的性质逐个选项分析即可．
【详解】由题意得，，
化简得，，即，，故，
由得，，代入得，，
解得，故 C正确，
则，故数列是递减数列，故 A错误，
而，故 B错误，
易知数列前项为正，从开始，数列所有项为负，
故中最大的值是，故 D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】对于，利用已知求出方程即可，对于，运用椭圆的定义结合基本不等式的代换处理即可，对于，设出点，求斜率定值即可，对于，运用椭圆的定义转化为定值即可．
【详解】
由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，
故的标准方程为，显然 A正确，
连接，由对称性得，
结合椭圆的定义得，
故，
当且仅当时取等，故 B正确，
设，，而，故，
故，，故，故 C正确，
易知四边形的周长为，为定值，故 D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】对于，极值点不是点，由此即可判断；对于，令即可判断；对于，由即可判断；对于，由即可判断．
【详解】
对于，令，解得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以有两个极值点，故 A错误；
对于，令，得或，
所以有两个零点，故 B正确；
对于，因为，所以直线不可能是的切线，故 C错误；
对于，因为，
所以点是的对称中心，故 D正确．
故选：．
关键点睛：选项的关键是明确极值点不是“点”，由此即可顺利得解．
12.【答案】或
【解析】【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果．
【详解】由已知可得，，
所以，向量在上的投影向量的模为
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】由题意可得：，，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解．
【详解】因为，
令，则，解得，
且，可得，
当为奇数，则；
当为偶数，则；
所以
，
即．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解．
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得．
故答案为：．
15.【答案】
设等差数列得公差为，联立，即
解得，或，又，所以
故，
令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，，
所以．
【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，建立方程组，可得答案．
利用错位相乘法，可得答案．
16.【答案】
解：圆的圆心为坐标原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，则．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
解：取点，则，
如下图所示，设直线交圆于点、，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
当点与点重合时，取最大值，且．
因此，的最大值为，最小值为．
【解析】【分析】求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程；
取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解．
17.【答案】解：
证明： 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
，，
因为，
所以，即．
因为，
，
，
所以，
．
又因为异面直线所成角的范围是，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
由知， ．
【解析】本题考查利用空间向量判定垂直以及异面直线的所成的角和求距离问题，是中档题．
建立空间直角坐标系，根据可以证明
根据可以求出角的余弦值；
根据两点间的距离公式可以得出答案．
18.【答案】
因为的右焦点为，且经过点，
所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
设直线的方程为．
点的坐标满足方程组
所以得，
整理得．
此方程有两个不等实根，于是，
且整理得
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为．
由题设可得．
整理得．
将上式代入式得，
整理得．
解得或．
所以的取值范围是．
【解析】【分析】由题意，解方程组即可得解．
由题意不妨设联立双曲线方程，所以，，进一步由韦达定理，中点坐标公式得线段的垂直平分线方程，结合题意得，由此即可进一步求解．
关键点睛：第二问的关键是得由三角形面积得关系式，联立判别式得关于的不等式，由此即可顺利得解．
19.【答案】
解：因为，则，
若，则函数，不合乎题意，所以，，
设切点坐标为，则，解得，
且，整理可得，可得，解得．
解：因为，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，则对任意的恒成立，
则函数在上单调递增，
不妨设，由可得，
即．
记，则，
则函数在上为减函数，
在恒成立，则对任意的，则，
令，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在区间上为增函数，则，
所以，函数在上为增函数，则，
又因为，则实数的取值范围是．
【解析】【分析】分析可知，，设，由可求得实数的值；
利用导数分析函数、在上的单调性，令，分析可知函数在上为减函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最小值，结合可得出实数的取值范围．
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
函数在区间上存在单调递减区间，使得成立．
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