2.6利用三角函数测高学案（含答案）
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文档简介
鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.6利用三角函数测高
学习目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
2、能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
重难点
能够根据题目的要求设计出合理的方案。
能够选择恰当的三角函数解决问题。
学习过程
一、预习提纲
（1）测量物体的高度常用的工具有：测角的工具是 ，测量长度的工具是 。
（2）测角仪测倾斜角的步骤：把枝干竖直插入地面，使枝干的中心线、铅垂线和0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；转动度盘，使直径对准目标，记下此时铅垂线所指的刻度，则该度数就是所测目标的仰角或俯角。
（3）测量底部可以到达的物体的高度的基本步骤是： 、 、 、 。
二、典例解析
为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写） ；
（2）在图中画出你的测量方案示意图；
（3） 你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据： ；
（4）写出求树高的算式：AB= ．
跟踪训练：（1）学习《测量建筑物的高度》后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度．
参考示意图1，他的测量方案如下：
第一步，测量数据：测出CD=1.6米，CF=1.2米，AE=9米．
第二步，计算：请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度．
（2）如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座．现在有卷尺、标 杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离．
要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据．（注意不能到达底部点N对完成测量任务的影响，不需计算）
你选择出的必须工具是 ；需要测量的数据是 ．
三、对应训练
1、（2015 济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
（1题图） （2题图） （3题图） （5题图）
2．（2015 临清市二模）某人沿坡度i=1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为（ ）
A．25米 B．50米 C．25米 D．50米
3．（2015 江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
4．（2015 道里区二模）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）
A．12m B．3m C．4m D．12m
5、（2014秋 东城区期末）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED．
四、体验中考
6、（2015 黄岩区一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
7、初三（1）班数学兴趣小组，用高为1.2米的测倾器、皮尺测量校内一办公楼的高AB时，设计如图所示的测量方案（测点E、F与楼底B在同一直线上），并有四个同学分别测量出以下四组数据（角的度数、线段的长）：
①∠2、FB；②∠1、∠2、EF；③∠2、EF；④∠1、EB，则能根据所测数据求出楼高AB的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（6题图） （7题图） （8题图） （9题图） （10题图）
8、为测量被荷花池相隔的两树A，B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C，E，再定出AP的垂线FE，使F，C，B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：①AC，BC ②AC，CE ③EF，CE，AC．能根据所测数据，求得A，B两树距离的是（ ）
A．② B．①② C．②③ D．①③
9、（2014秋 怀远县期末）如图，一学生要测量校园内一颗水杉树的高度，他站在距离水杉树10m的B处，测得树顶的仰角为∠CAD=30°，已知测角仪的架高AB=2m，那么这棵水杉树高是（ ）
A．（+2）m B．（10+2）m C．m D．7m
10、（2015 广东）一天，小虎想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小虎的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小虎的身高为1.60米，则旗杆的高度为（ ）米．
A．8 B．10 C．20 D．16
11、（2004春 昆山市期末）校园内有一个高大的树，在实践活动课上，准备了如下测量工具“皮尺”、“高为1米的测角器”、“长为2米的标杆”来测量树的高度，请你设计测量方案并回答下列问题．
（1）在你的设计方案中，选用的测量工具是 ；
（2）在如图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测量的数据 ；
（4）写出求树高的算式．
参考答案
1、A．2、A．3、D．4、C
5、解：过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H．
由题意可得 四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，
AB∥CF∥DE．
∴△AHF∽△AGE．∴．
由题意可得
AH=BC=1，AG=BD=6，FH=FC﹣HC=FC﹣AB=3.1﹣1.6=1.5．
∴．∴GE=9．
∴ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6．
答：树高ED为10.6米．
6、D．7、C．8、D．9、A．10、D．
11、解：（1）镜子，皮尺；
（2）测量方案示意图；
（3）EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c；
（4）根据相似三角形的性质；可得：=；即AB=．
故答案为：镜子，皮尺；EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c．
学习目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
2、能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
重难点
能够根据题目的要求设计出合理的方案。
能够选择恰当的三角函数解决问题。
学习过程
一、预习提纲
（1）测量物体的高度常用的工具有：测角的工具是 ，测量长度的工具是 。
（2）测角仪测倾斜角的步骤：把枝干竖直插入地面，使枝干的中心线、铅垂线和0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；转动度盘，使直径对准目标，记下此时铅垂线所指的刻度，则该度数就是所测目标的仰角或俯角。
（3）测量底部可以到达的物体的高度的基本步骤是： 、 、 、 。
二、典例解析
为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写） ；
（2）在图中画出你的测量方案示意图；
（3） 你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据： ；
（4）写出求树高的算式：AB= ．
跟踪训练：（1）学习《测量建筑物的高度》后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度．
参考示意图1，他的测量方案如下：
第一步，测量数据：测出CD=1.6米，CF=1.2米，AE=9米．
第二步，计算：请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度．
（2）如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座．现在有卷尺、标 杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离．
要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据．（注意不能到达底部点N对完成测量任务的影响，不需计算）
你选择出的必须工具是 ；需要测量的数据是 ．
三、对应训练
1、（2015 济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
（1题图） （2题图） （3题图） （5题图）
2．（2015 临清市二模）某人沿坡度i=1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为（ ）
A．25米 B．50米 C．25米 D．50米
3．（2015 江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
4．（2015 道里区二模）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）
A．12m B．3m C．4m D．12m
5、（2014秋 东城区期末）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED．
四、体验中考
6、（2015 黄岩区一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
7、初三（1）班数学兴趣小组，用高为1.2米的测倾器、皮尺测量校内一办公楼的高AB时，设计如图所示的测量方案（测点E、F与楼底B在同一直线上），并有四个同学分别测量出以下四组数据（角的度数、线段的长）：
①∠2、FB；②∠1、∠2、EF；③∠2、EF；④∠1、EB，则能根据所测数据求出楼高AB的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（6题图） （7题图） （8题图） （9题图） （10题图）
8、为测量被荷花池相隔的两树A，B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C，E，再定出AP的垂线FE，使F，C，B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：①AC，BC ②AC，CE ③EF，CE，AC．能根据所测数据，求得A，B两树距离的是（ ）
A．② B．①② C．②③ D．①③
9、（2014秋 怀远县期末）如图，一学生要测量校园内一颗水杉树的高度，他站在距离水杉树10m的B处，测得树顶的仰角为∠CAD=30°，已知测角仪的架高AB=2m，那么这棵水杉树高是（ ）
A．（+2）m B．（10+2）m C．m D．7m
10、（2015 广东）一天，小虎想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小虎的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小虎的身高为1.60米，则旗杆的高度为（ ）米．
A．8 B．10 C．20 D．16
11、（2004春 昆山市期末）校园内有一个高大的树，在实践活动课上，准备了如下测量工具“皮尺”、“高为1米的测角器”、“长为2米的标杆”来测量树的高度，请你设计测量方案并回答下列问题．
（1）在你的设计方案中，选用的测量工具是 ；
（2）在如图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测量的数据 ；
（4）写出求树高的算式．
参考答案
1、A．2、A．3、D．4、C
5、解：过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H．
由题意可得 四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，
AB∥CF∥DE．
∴△AHF∽△AGE．∴．
由题意可得
AH=BC=1，AG=BD=6，FH=FC﹣HC=FC﹣AB=3.1﹣1.6=1.5．
∴．∴GE=9．
∴ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6．
答：树高ED为10.6米．
6、D．7、C．8、D．9、A．10、D．
11、解：（1）镜子，皮尺；
（2）测量方案示意图；
（3）EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c；
（4）根据相似三角形的性质；可得：=；即AB=．
故答案为：镜子，皮尺；EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c．