北师大版2024年九年级下册开学数学巩固试题（含解析）

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2024年九年级开学数学巩固
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．（2024上·广东深圳·九年级统考期末）下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，随的增大而减小
C．关于的方程是一元二次方程
D．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
2．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
4．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．y值随着x值的增大而减小 B．图象关于原点中心对称
C．当时， D．图象可能与坐标轴相交
5．（2023·广东深圳·校联考一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当时， B．I与R的函数关系式是
C．当时， D．当时，I的取值范围是
6．（2023·深圳·南山实验教育集团南海中学校考三模）下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·广东深圳·九年级深圳实验学校校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．当时，函数的最大值是4
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于的方程的所有实数根的和为4
10．（2023上·广东深圳·九年级深圳市桂园中学校考阶段练习）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧
12．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是（　　）
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
13．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C． D．
评卷人得分
二、填空题
14．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）反比例函数和一次函数的图象交于点A，B，若点A的纵坐标是2，B的横坐标是，则关于x的不等式的解集是 ．
15．（2022上·广东深圳·九年级深圳实验学校中学部校考阶段练习）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ．
16．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，若，则的长为 ．

评卷人得分
三、解答题
17．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴负半轴交于点，与y轴交于B点，与反比例函数交于，D两点．
(1)求反比例函数的解析式，画出一次函数的图象；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
18．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）
设计货船通过双曲线桥的方案
素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．
素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
问题解决
任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式）
19．（2023上·广东深圳·九年级深圳市桂园中学校考阶段练习）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
（1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？　 　（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4．宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因；
（3）如果长为5，宽为4的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k需要满足的不等式．
20．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安第一外国语学校校联考阶段练习）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；理由为______．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围______．
21．（2023上·广东深圳·九年级期末）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、踪踪和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为20元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，
①写出w与x的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
22．（2023上·广东深圳·九年级深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为万千克，已知每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率．
(2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大．
23．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
24．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，若米，米，斜坡的坡角．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．
(1)求点D到地面的距离；
(2)求立柱的高为多少米．
25．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
（2021上·广东深圳·九年级校考期中）
（1）
（2）
27．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)解方程：．
28．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值．（结果可保留根号，参考数据：，，）
29．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π）
30．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，E，C是上两点，且，连接，．过点C作交的延长线于点D．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点F，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
31．（2023·广东深圳·广东省深圳市盐田区外国语学校校考模拟预测）如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
32．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
33．（2023上·广东深圳·九年级深圳实验学校校考阶段练习）如图，内接于，，的延长线交于点D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求和的长．
34．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，，求证是定值．
35．（2023·广东深圳·深圳市福田区上步中学校考三模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的正切值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定判定即可．
【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以本选项不符合题意；
B、对于反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，所以本选项不符合题意；
C、关于的方程，当时是一元二次方程，所以本选项不符合题意；
D、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，所以本选项符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，掌握一次函数和反比例函数的性质是解答此题的关键．
本题中两个函数的系数相同，两个函数必有交点，然后根据比较系数的符号来确定正确选项即可．
【详解】Ａ、由反比例函数图象在一、三象限可知；一次函数图象中y随x的增大而增大，可知，且一次函数过交y轴与正半轴，且两图象中有交点，故选项符合题意；
B、由过得，函数交y轴与负半轴，而选项中图象与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；
C、由过得，函数交y轴与负半轴，而选项中图象与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；
D、由反比例函数图象在一、三象限可知，一次函数图象y随x的增大而减小，可知，且图象中无交点，故选项不符合题意；
故选：A
3．C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大．反比例函数的图象即是轴对称图形又是中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：函数中，，
A，这个函数的图象位于第一、第三象限，该选项说法正确；
B，这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项说法正确；
C，当时，y随x的增大而减小，该选项说法错误；
D，当时，y随x的增大而减小，该选项说法正确；
故选C．
4．B
【分析】本题了考查了反比例函数的性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． 根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、反比例函数的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确；
C、当 时，，故本选项错误；
D、因为x、y都不等于0，所以图象不可能与坐标轴相交，故本选项错误．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，I的取值范围是，故D符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的判断，熟练掌握二次函数和一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
根据直线经过的象限得到，，与矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，由此可对B进行判断；根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，由此可对C进行判断；根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【详解】解：A、直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的，不符合题意；
B、抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的，不符合题意；
C、根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的，不符合题意；
D、根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数图象的综合判断；解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质．
【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意；
B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意；
C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意；
D、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误．
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．D
【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A错误；
由图象可得，函数没有最大值，故B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，

故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D正确，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：在中，，，
则：；
故选B．
11．C
【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确；
B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识．
12．C
【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可．
【详解】解：A、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误；
B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B错误；
C、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C正确；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误．
故选：C．
13．C
【分析】先利用勾股定理求出，设与分别相切于，连接，利用切线的性质和等面积法求出，再证明四边形是正方形，得到，最后根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
如图所示，设与分别相切于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系，勾股定理，正方形的性质与判定，求不规则图形面积，正确求出圆O的半径长是解题的关键．
14．或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意，画出图象，找到反比例函数图象在一次函数图象上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵点A的纵坐标是2，B的横坐标是，
∴点的横坐标为：，点的纵坐标为，
∴，，
由题意，画图如下：
由图可知：的解集是：或．
故答案为：或．
15．/
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
16．8
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理列式求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵直径，是的弦，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
17．(1)，画图见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解析式，然后描出点A，C，作直线即可画出一次函数图像；
（2）先求出一次函数解析式，再联立一次函数与反比例数解析式求得点D的坐标，结合函数图象即可求解．
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数经过，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
一次函数的图象如图，
（2）解：∵一次函数经过，，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴，
∵，即
∴根据函数图象可知：或；
（3）解：连接，，
．
18．任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为 ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾；
任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案；
本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：，
解得：，
∴曲线的解析式为，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称，
∴点是的中点，，
过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图，
则，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴点在双曲线上，
∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意，
故答案为：，，乙正确；
任务：设，，其中 ，则，如图，
∵点在直线上，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴ ，，
∵，
∴此时货船不能通过该桥洞，
设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：(舍去)， ，
∴
∴，即，
∵，
∴
故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞，
答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
19．（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案．
【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍，
∴正方形B的边长是正方形A边长的2倍，
∴正方形B的面积是正方形A面积的4倍，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体．
故答案为：不存在．
深入探究：长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，
理由：∵矩形的长为3，宽为2，
∴矩形的周长为10，面积为6，
小鸣方程流：
设新矩形长和宽为、，则依题意，，
联立，
整理得：，
解得：，，
∴新矩形的长为，宽为时，周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形．
小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，，
即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：

故长为，宽为的矩形存在完全倍体．
（2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
联立，得，
∴，
∴方程无解，
∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体．
方法2：如图，反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体．
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围．
20．（1）；4；2
（2）图象见解析，与函数 图象没有交点
（3）交点坐标为，
（4）
【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题．
（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解；
（2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解；
（3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为；
（4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围．
利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（2）不能围出面积为 的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形．
故答案为：与函数 图象没有交点；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
（4）∵和的长均不小于
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
∴．
21．(1)
(2)①；②该商品销售单价定为35元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是450元．
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法等知识．
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①根据总利润=每件产品利润×数量，列出二次函数表达式；②利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为，
把和分别代入得，
，
解得，．
∴y与x的函数关系式为；
（2）①由题意可得：，
∴w与x的函数关系式为．
②，
∵，w有最大，且对称轴为直线，
∴在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大，
又∵售价不低于30元且不高于38元，即，
∴当时，（元），
答：该商品销售单价定为35元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是450元．
22．(1)
(2)；当每箱售价为元时，这周利润最大为2025元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程或函数解析式．
（1）设销量增长率为x，根据2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为万千克，列出方程，解方程即可；
（2）先根据题意求出W与x的关系式，然后根据二次函数最值求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：
，
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为．
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，取最大值2025，
答：当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．
23．(1)y关于t的函数解析式为
(2)汽车刹车后，行驶了
(3)不会，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）求出当时的函数值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【详解】（1）解：设，
将代入得：
，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，汽车停下，行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
24．(1)点D到地面的距离是4米
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
（1）过点D作于点H，根据直角三角形的性质求出，得到答案；
（2）延长交于点G，根据余弦的定义求出，进而求出，再根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）解：过点D作于点H，则的长是点D到地面的距离，
，
∵在中，，
∴（米），
答：点D到地面的距离是4米．
（2）解：如图，延长交于点G，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵在中，，
，
∵，
，
在中，，
∴（米）．
25．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
（2）原式
26．（1）；（2），
【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据绝对值，乘方法则，特殊角的三角函数，零指数幂的意义计算即可；
（2）原方程变形后，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴，．
27．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角的三角函数值；
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，解一元二次方程的一般方法，准确计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
化为一般形式得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或．
28．米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得（米），在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线．
【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，，
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴塔高的值为米，
29．
【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程，解得，再解直角三角形得到，则，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
∴公路的转弯处的长为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形，正确求出是解题的关键．
30．(1)相切，见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）①连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，于是得到结论；
②根据勾股定理和矩形的性质得到， ，求得，根据梯形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：如图，连接，与相交于点F，
∵，
∴，，
∴AB是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
②解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，垂径定理，不规则图形的面积，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由各角之间的等量代换得出，利用切线的判定证明即可；
（2）根据（1）可知，，再由正切函数的定义得出，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，即是半径，
∴是的切线；
（2）由（1）知，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得（负值舍去），
即线段的长为．
【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
32．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
（2）先求出，利用勾股定理求出，证明求出，利用勾股定理求出，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

平分,
，
，
，
，
，
，
，
又点C在上，
直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，，

由（1）得，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
33．(1)见解析
(2)，．
【分析】（1）连接，根据圆的性质得，，利用证明，得，即可得；
（2）延长交于E，连接，延长交于H，交于F，则是的直径，，由圆周角定理得，由垂经定理得，根据得，由勾股定理得，，根据，得，，根据得，即，进行计算即可得，则，根据，得是的中位线得，，则，在中，根据勾股定理得的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
根据圆的性质得，，
在和中，
∴，
∴，
即平分．
（2）解：如图，延长交于E，连接，延长交于H，交于F，

则是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
即，．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定于性质，勾股定理，三角形中位线定理，垂经定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
34．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出，再由已知得出，则，从而证得是的切线；
（2）通过证得，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∵是的直径，
∴是的切线

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，故是定值．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
35．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，由是的切线，可得，由是直径，可得，由，可得，证明，进而可证；
（2）由勾股定理得，，由（1）可知，，则．由，可得，，由勾股定理得，，由点E是的中点，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∵是直径，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由勾股定理得，，
由（1）可知，，
∴．
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角为直角、等角对等边、同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键在于确定角度、线段之间的关系．
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