北师大版2024年九年级下册开学数学巩固试题2（含解析）

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2024年九年级开学数学巩固2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）已知的半径为，，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法判断
2．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ）

A．6 B． C． D．
3．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，劣弧的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．（2022上·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象关系可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
6．（2022上·广东深圳·九年级统考期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020上·广东深圳·九年级统考期末）二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023深圳·九年级校联考期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④对于方程，有两个不相等的实数根，正确的有( )

①② B．①②④ C．③④ D．①②③④
10．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
11．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）如图，已知：是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果， ，那么等于（　　）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
12．（2023上·广东深圳·九年级深圳市桂园中学校考阶段练习）点在函数图像上，下列说法中错误的是( )
A．它的图象分布在二、四象限 B．当时，的值随的增大而增大
C．当时，的值随的增大而减小 D．它的图象过点
评卷人得分
二、填空题
13．（2020·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，是的直径，过C点的切线与的延长线交于P点．若，则的度数为 ．
14．（2023上·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
15．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为1600米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度为 米（结果保留根号）．
16．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安第一外国语学校校联考阶段练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为3，则的值为 ．
17．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点D，与交于点F，与交于点G，当点G是的中点时，连接，若的面积为9，则k=
18．（2024上·广东深圳·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ．
评卷人得分
三、解答题
19．（2023上·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
(3)计算：．
（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）
（1）解方程：．
（2）计算：．
（2022上·广东深圳·九年级深圳实验学校中学部校考阶段练习）
（1）计算：；
（2）解方程：．
22．（2022上·深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存．
(1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式；
(2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？
(3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？
23．（2023上·广东深圳·九年级深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和．

(1)分别求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)请直接写出当时，的解集．
24．（2022下·广东深圳·九年级校考周测）如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．
(1)求证：直线与半圆相切；
(2)若已知，求的值．
25．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，E，C是上两点，且，连接，．过点C作交的延长线于点D．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点F，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
26．（2023·广东深圳·模拟预测）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37
y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
27．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．
(1)经过测量，得出了和的几组对应值，如表．
米
米
请求出拱桥距离水面的高度与之间的函数关系式，画出确定的函数的图象；
(2)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为米，宽为米，露出水面高度为米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为 米．（精确到米）
28．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富，为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）
29．（2023上·广东深圳·九年级深圳市桂园中学校考阶段练习）消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，伸缩范围为，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，张角范围为，转动点A距离地面的高度为（参考数据：）

(1)当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号）
(2)某栋楼高，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．
30．（2023上·广东深圳·八年级深圳市海湾中学校考期中）综合与实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．

(1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？
(2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上(云梯长度不改变)，，那么它的底部在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．
(3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
31．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）如图，中，，，．
(1)请画出将向右平移8个单位长度后的；
(2) ；
(3)以O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出并直接写出的坐标．
32．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
①直接写出____，____，____；
②请直接写出不等式的解集____；连接、，则_______．
（2）如图 2，直线 与 x，y轴分别交于 A、B 两点，点 M是双曲上一点，分别连接、．在双曲线上是否存在点 M，使得以为斜边的与相似？若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．

33．（2023·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考三模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
34．（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：
(1)请在图中画出函数：的图像；

(2)结合图像直接写出方程：的解为：_______；
(3)在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出方程：的解为： ．

35．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据“若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内”，即可求解．
【详解】解：∵的半径为，，
∴的半径，
∴点和的位置关系是点在圆外．
故选：C
2．B
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，首先根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）和勾股定理（若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则）．
【详解】∵
∴
∵的半径为6，
∴
∴．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了弧所对的度数求解，只需求出弧所对的圆心角度数即可．连接，根据结合即可求出．
【详解】解：连接，如图所示：

则
∵，
∴
∴
故劣弧的度数是
故选：D
4．C
【分析】根据题意得：二次函数的图象与x轴的对称点为，再结合二次函数与一次函数的图象，确定a，b的取值范围，即可求解．
【详解】解：根据题意得：二次函数的图象与x轴的对称点为，
A、观察一次函数的图象得，由二次函数的图象得，则，矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得，由二次函数的图象得，矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得，由二次函数的图象得，则，相一致，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得，由二次函数的图象得，矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C
5．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
【详解】解：①当时，过一、三、四象限；位于一、三象限；
②当时，过一、二、四象象限；位于二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选D．
6．C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式判断出反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∵点在反比例函数的图象上，，
∴，
故选C．
7．C
【分析】此题考查反比例函数和一次函数的图象共存问题；结合图象分别分析一次函数与反比例函数中，的符号，得出一致的符合题意，得出矛盾的不符合题意，从而可得答案.
【详解】解：A选项：由反比例函数的性质知k、b同号，由一次函数图象得，，得k、b异号．两者不一致，故A不符合题意；
B选项：由反比例函数的性质知k、b同号，由一次函数图象得，，两者不一致，故B不符合题意；
C选项：由反比例函数的性质知k、b异号，由一次函数图象得，，k、b异号，两者一致，故C符合题意；
D选项：由反比例函数的性质知k、b异号，由一次函数图象得，，k、b同号，两者不一致．故D不符合题意；
故选C
8．A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意．
B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意．
C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意．
D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
9．B
【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程、二元一次方程组的知识；根据题意，得时，；结合二次函数对称轴的性质，根据函数图象以及对称轴，即可得到抛物线与轴的交点，再根据二次函数图像的性质分析，即可完成求解．
【详解】根据题意，时，
∵抛物线的对称轴为直线,
∴．
∵抛物线与轴的一个交点坐标为
∴另一个交点为,
∵抛物线与轴有2个交点，
∴
∴成立，
∴①正确；
∴方程的两个根是，，
∴②正确；
∵图象与x轴交于点,
∴
∴③不正确；
∵对于方程，有两个不相等的实数根，
观察函数图象，可得与 有2个交点，
∴④正确；
∴结论正确的是①②④
故选：B．
10．C
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，
对称轴在y轴左侧，左同右异，，
∴，一次函数与y轴正半轴有交点，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
11．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，设，先证明，根据等角的正切值相等可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
12．C
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质，先把点代入，求得，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：把点代入，得
，
解得：，
∴，
A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
13．/115度
【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意可得，，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．
【详解】解：由题知，抛物线的开口向上，且对称轴是直线，
∴函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】由题意易得，然后根据米及三角函数可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
∵米
∴（米），
（米），
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
17．12
【分析】连接，根据题意以及反比例函数系数k的几何意义得到，从而表示出矩形的面积，设设，则，最后列出方程求解即可．
【详解】解∶连接OD，
∵矩形的边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，矩形交反比例函数于点D、F，
∴，
∵点G是的中点，的面积为9，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
设，则，
∴，
解得，
故答案为∶12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形的面积，能用含k的式子表示出矩形的面积以及点B的坐标是解题的关键．
18．80
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
【详解】解：连接，
由题意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：80．
19．(1)，
(2)，
(3)
【分析】此题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值化简，然后进行二次根式的加减运算即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
除以2，得，
配方，得，
即，
开方得，
解得：，；
（2）解：，
整理得：，
，
或，
解得：，；
（3）解：原式
．
20．（1），；（2）0
【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算：
（1）利用配方法或公式法求解；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
解得，．
（2）
21．（1）；（2），
【分析】本题主要考查负指数幂，特殊角的三角函数值的计算，绝对值的性质，因式分解求一元二次方程，掌握实数的计算方法，因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．
（1）先算负指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，再根据实数的混合运算法则即可求解；
（2）移项，提取公因式进行因数分解即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
移项得，
提取公因式得，，整理得，
∴或，
∴，．
22．(1)
(2)30
(3)160人
【分析】（1）根据工作时间工作总量工作效率可得函数关系式；
（2）直接把代入解析式求解即可；
（3）根据题意求出剩余的玉米一天内全部入库需职工人数为200人，所以需增加的人数即可求出．
【详解】（1）解：根据关系式：工作时间工作总量工作效率可得：
入库所需的时间 t 与入库速度 v 的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
∴预计将全部大米入库最快可在30天内完成；
（3）粮库的职工连续工作了25天的入库量为，
由题可知：剩下的粮食需要再一天内完成入库，
则所需人数为 （人），
（人）．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
23．(1)一次函数表达式为；反比例函数表达式为
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题；
（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式即可；
（2）根据图象得出当时，的解集即可．
【详解】（1）解：∵点和在反比例函数的图象上，
∴，
∴，．
∴反比例函数表达式为，点B的坐标为．
∵点和在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可知，当或时反比例函数在一次函数的上面，
∴当时，的解集是或．
24．(1)见解析
(2)9
【分析】（1）连接，根据已知条件和圆的基本性质证明，得到即可．
（2）连接，根据圆周角定理得到，进一步证明，得到，可得结论．
【详解】（1）解：证明：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
（2）连接，如图．

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．(1)相切，见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）①连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，于是得到结论；
②根据勾股定理和矩形的性质得到， ，求得，根据梯形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：如图，连接，与相交于点F，
∵，
∴，，
∴AB是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
②解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，垂径定理，不规则图形的面积，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．(1)见解析；
(2)出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
(3)出水口至少需要降低0.52m．
【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax +bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax +bx+2.44，
将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：，解得：，
∴y=-0.75x +1.8x+2.44，
∴抛物线的对称轴为：，
∴y=-0.75×1.2 +1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax +bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2 +1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
27．(1)，画图见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，通过描点法画出函数图象；
（2）①根据表格数据可得当时，，即可求解；
②根据题意，令，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设，把、、代入得，
，
解得，
，对称轴为直线，
在下面的平面直角坐标系中，画出所确定的函数图象；

（2）①当时，，
∴桥墩露出水面的高度为米，
②令，则，解得（舍去）或．
故答案为：，．
28．(1)；
(2)每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用；
（1）设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为，代入数据，解二元一次方程组，即可求解；
（2）等量关系式：销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，据此即可求解；
找出等量关系式，根据二次函数的性质求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为，由题意得
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：；
（2）解：设利润为w元，由题意得
，
当时，
w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
29．(1)距地面的高度为
(2)能实施有效救援，理由见解析
【分析】（1）过点作，过点B作，交于点F，交于点G，在中求出的长度，然后计算即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点作，过点B作，交于点F，交于点G，

∵,
∴四边形是矩形，
∴，，
，
，
在中，
，
，
．
（2）解：能实施救援；
当起重臂最长，转动张角最大时，云梯消防车最高点B距地面最高，
即：米，，
，
，
．
，
能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．
30．(1)m
(2)不是m，而是m
(3)云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员
【分析】（1）本题考查解直角三角形，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米；
（2）根据勾股定理求出，再与作差，求出的长度；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较，即可求得．
【详解】（1）解：（1）在中，
∴．
（2）解：云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是m．理由如下：
由（1）可知m，
∴．
在中，
∴，
∴．
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵，
∴，
因此，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
31．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换和解直角三角形，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用正切的定义结合勾股定理得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，
由图知：，，，
∴．
故答案为：；
（3）解：如图，即为所求，

．
32．（1）①1，1，2；②或；；（2）
【分析】（1）①将代入求出k的值，得到，然后将代入求出，然后利用待定系数法将，代入求解即可；
②根据图象结合A，B两点的坐标即可求出不等式的解集；设直线与y轴交于点C，首先求出点C的坐标，得到，然后利用代数求解即可；
（2）首先根据题意求出，，过点M作轴于点M，过点A作交于点F，根据相似三角形的性质得到，，然后证明出，进而得到，然后代入求解即可．
【详解】（1）①根据题意得，
将代入得，，
解得，
∴，
将代入得，，
∴，
将，代入，
得，解得；
故答案为：1，1，2；
②∵，，
∴根据图象可得，不等式的解集或；
如图所示，设直线与y轴交于点C，

∵，，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或；；
（2）∵直线 与 x，y轴分别交于 A、B 两点，
∴当时，，
∴，
当时，，解得，
∴，
如图所示，过点M作轴于点M，过点A作交于点F，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵点 M是双曲上一点，
∴，即，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，相似三角形的性质和判定等知识，数形结合是解题的关键．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
33．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】（1）解：证明：

连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，，
，
；
（2）
由（1）可知，，
是的直径，
，
，
，，
，
，即，
解得，．
【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
34．(1)作图见解析
(2)
(3)或或，作图见解析
【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；
（2）作出一次函数的函数图象，然后根据函数图象得出方程：的解即可；
（3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程可以变为，作出函数的函数图象，最后找出两个函数图象的交点，即可得出的解．
【详解】（1）解：列表：
x … 0 5 10 …
… 14 9 4 9 14 …
描点，连线，如图所示：

（2）解：如图，一次函数与函数的交点的横坐标为，
∴方程的解为，
故答案为：．

（3）解：列表：
x … 0 1 2 3 …
… 7 4 3 4 3 4 7 …
描点，连线：

方程可以变为，
如图，函数的图象与函数的图象交点的横坐标为：，，，
∴方程的解为或或，
即方程的解为或或．

【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数图象的作图方法，数形结合．
35．探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
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