第一章 三角形的证明数学作业（含解析）

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2024年初二第一章三角形证明数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2022下·广东深圳·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是　　；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
2．（2022下·广东深圳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段OA为边作等边三角形，使点B落在第四象限内，点C为x正半轴上一动点，连接BC，以线段BC为边作等边三角形，使点D落在第四象限内.
（1）如图1，在点C运动的过程中，连接AD．
①和全等吗？请说明理由：
②延长DA交y轴于点E，若，求点C的坐标：
如图2，已知，当点C从点O运动到点M时，点D所走过的路径的长度为_________
3．（2022下·广东深圳·八年级深圳市光明区光明中学校考期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
4．（2022上·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．
5．（2022下·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）判断DF与DE的大小关系，并说明理由；
（2）若BE＝8，CF＝6，求：
①EF的长；
②△DEF的面积．
6．（2022上·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知，是等腰直角三角形，，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

(1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作轴于D，请写出线段，，之间等量关系并说明理由；
(3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数是关系？直接写出结论即可．
7．（2022下·广东深圳·八年级校考阶段练习）【问题提出】（1）如图1，和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
【类比延伸】（2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为 　　；线段与之间的数量关系为 　　．
【拓展研究】（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．

8．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）对于平面直角坐标系中，已知是边长为6的等边三角形．

(1)如图Ⅰ，点Q在第一象限，点Q坐标是________；
(2)如图Ⅱ，在y轴正半轴有一点，连接线段，以为底在线段上方作等边，此时P、Q，C三点共线，求出的值；
(3)如图Ⅲ，在y轴正半轴有一动点，连接线段，以为底在线段下方作等边，连接，请问线段是否存在最小值，若存在，请直接写出点P坐标．
9．（2022下·广东深圳·八年级统考期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，．
(1)，求的度数；
(2)若，，求的长．
10．（2022上·广东深圳·八年级统考期中）阅读下面材料：
某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
在中，，，，D是的中点，
(1)问题发现：如图1，若点E、F分别在线段、上，且，连接、、、，此时小明发现___________°，__________（填“>、<、=”）；接下来小明和同学们继续探究，发现一个结论：线段与长的比值是一个固定值，即______．
(2)变式探究：如图2，E、F分别在线段、的延长线上，且，若，求的长并写出过程．
(3)拓展应用：如图3，，动点M在的延长线上，点H在直线上，且满足，，请直接写出的长为___________．
参考答案：
1．解：（1）DE=BC
（2）BF+BP=DE；
（3）BF﹣BP=DE
【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案为DE=BC．
（2）BF+BP=DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC﹣BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴BC=DE，
∴BF+BP=DE；
（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF﹣BP=BC，
∴BF﹣BP=DE．
【点睛】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形．
2．（1）①全等，见解析；②点C（6，0）；（2）6．
【分析】（1）①先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
②由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=60°，可得∠EAO=60°，可求AE=2OA=4，即可求点C坐标；
（2）由题意可得点E是定点，点D在AE上移动，点D所走过的路径的长度=OC=6．
【详解】解：（1）①△OBC和△ABD全等，
理由是：
∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=4
∴OC=OA+AC=6
∴点C（6，0）；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，AD=OC，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴AE=2OA=4，OE=2
∴点E（0，2）
∴点E不会随点C位置的变化而变化
∴点D在直线AE上移动
∵当点C从点O运动到点M时，
∴点D所走过的路径为长度为AD=OC=6．
故答案为（1）①全等，见解析；②点C（6，0）；（2）6．
【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．
3．（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
4．1
【分析】过点D作BA的垂线交AB于点H，分别证Rt△DEB≌Rt△DHB和Rt△DEC≌Rt△DHA，再利用全等三角形的性质即可求出BE的长．
【详解】解：过点D作BA的垂线交AB于点H，
∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
在Rt△DEB和Rt△DHB中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），
∴BE＝BH，
在Rt△DEC和Rt△DHA中，
，
∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），
∴AH＝CE，
由图易知：
AH＝AB BH，CE＝BE＋BC，
∴AB BH＝BE＋BC，
∴BE＋BH＝AB BC＝5 3＝2，
而BE＝BH，
∴2BE＝2，
故BE＝1．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，通过观察题目，正确作出辅助线并通过三角形全等去推理是解题关键．
5．（1）相等，见解析；（2）①10；②25
【分析】（1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得后即可证得DF=DE；
（2）①由（1）知：AE=CF，AF=BE，在中，运用勾股定理可将EF的值求出，②根据DE=DF，即为等腰直角三角形，运用勾股定理可求出DE、DF的值，即可求解的面积．
【详解】解：（1）连接AD，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD＝BD，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF＝∠EDA+∠ADF，
即∠CDF＝∠ADE，
在△DCF和△ADE中，
，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE；
（2）①解：由（1）知：AE＝CF＝6，同理AF＝BE＝8．
∵∠EAF＝90°，
∴EF2＝AE2+AF2＝62+82＝100．
∴EF＝10，
②∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2＝EF2＝100，
∴DE＝DF＝，
∴S△DEF＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
6．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）作轴于点H，如图1，易得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据等角的余角相等得到，再利用“”证明，得到，，即可求解；
（2）证明，得到，，即可得出结论；
（3）如图3，和的延长线相交于点D，证明得到，再利用对称性得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：作轴于点H，如图1，
∵A的坐标是，点B的坐标是，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图2，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图3，和的延长线相交于点D，
∴，
∴
∵轴，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵x轴平分，轴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及坐标与图形的性质，利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（1）见解析；（2），；（3）；，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．
（2）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可．
（3）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；证明，得出，，进而求出；再根据，，，可得，得出，判断出即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；．
（3）解：和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
；
即线段、、之间的数量关系为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）过点Q作轴于点E，利用等边三角形的性质以及勾股定理求得，，即可求得点Q坐标；
（2）利用勾股定理求得的长，即等边的边长，利用两点之间的距离公式求得的长，即可求得的值；
（3）连接，利用证明，推出，当轴时，有最小值，即有最小值，据此即可求解．
【详解】（1）过点Q作轴于点E，

∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∴，
∵点Q在第一象限，
∴点Q的坐标是；
故答案为：；
（2）∵是边长为6的等边三角形，
∴点A坐标是（6，0），
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
、、三点共线，
；
（3）连接，

∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴当轴时，有最小值，即有最小值，
此时点P点的坐标是．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．(1)
(2)cm
【分析】（1）根据垂直平分线性质得到等腰三角形从而得到底角相等，结合三角形内角和定理及内外角关系即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出，得到再根据勾股定理即可得到答案；
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
在中，，
；
【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是根据垂直平分线得到边相等角相等．
10．(1)45，，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的三线合一即可得到，由此推出，证明，得到，求出是等腰直角三角形，勾股定理得到 ；
（2）证明，得到，，推出，再由勾股定理得到答案；
（3）分两种情况，①当H在线段上时，②当H在线段的延长线上时，连接，过点M作于F，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45，，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴；
（3）解：①当H在线段上时，如图，连接，过点M作于F，
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，D是的中点，
∴，
∴；
②当H在线段的延长线上时，如图，连接，过点M作于F，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，根据已知得出是解题的关键．
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