(共25张PPT)
17.1.3勾股定理
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
新知导入
欣赏下面海螺的图片
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
新知讲解
我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．请画出图形，写出已知、求证，并用勾股定理证明这一定理.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'.
新知讲解
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:
又 AB=A'B'，AC=A'C'，
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
新知讲解
实数与数轴上的点是一一对应的.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？
则：点A表示.
你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？
新知讲解
9
9
18
用同样的方法作呢？
可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
小结
新知讲解
9
9
18
你能在数轴上画出表示的点吗？
新知讲解
9
9
18
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交
于C点，则点C即为表示 的点.
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
归纳总结
9
9
18
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
新知讲解
9
9
18
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，点A表示的实数是（ ）
A. B. C.- D.-
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A.2 B. C. D.
C
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD
＝4，则AB＝ .
4. 如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2 cm，则AF的长
为 cm.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，数轴上点B，C表示的数分别是1，－2，过点B作AB垂直于数轴，AB的长为1个单位长度，以点C为圆心，CA长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数是 －2 .
－2
6.如图，已知∠AOM＝45°，OA＝，点B是射线OM上的一个动点，当
△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 .
1或或2
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：在中，两直角边，，
由折叠的性质可知：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：,
．
课堂总结
利用勾股定理
作图或计算
把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边，再在数轴上（或网格线中）表示出该无理数
利用勾股定理
证明“HL”定理
板书设计
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C.若以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( ).
A. B. C. D.
B
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，以BP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A.-7和-6之间 B.-6和-5之间 C.-5和-4之间 D.-4和-3之间
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为( )
A. B. C. D.2-
D
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
∴S△AFC= AF BC=10．
∴AF=AB-FB=8-3=5，
解得x=3.
解：易证△AFD′≌△CFB(AAS)，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42，
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册17章
课标要求 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；2.通过具体的例子，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
内容分析 勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜想→证明的基本流程.
学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。
单元目标 （一）教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程；知道这两个定理的联系与区别能运用这两个定理解决一些简单的实际问题.2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几何问题.3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感：通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的信心.（二）教学重点、难点教学重点：勾股定理及其逆定理的探索与运用教学难点：勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数17.1 勾股定理317.2勾股定理逆定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1勾股定理1.掌握勾股定理2.理解勾股定理的几何意义3.用勾股定理解决实际问题学生会用几何图形探究勾股定理，并且能利用勾股定理解决实际问题任务1.探究勾股定理任务2.出示例题任务3.在数轴上表示无理数17.2勾股定理逆定理1．掌握勾股定理逆定理2．熟练运用勾股定理以及逆定理解决问题学生会利用勾股定理及逆定理解决实际问题任务1：探究勾股定理逆定理任务2.出示例题
《17章勾股定理》单元教学设计
活动1：通过历史故事情境引入课题
活动3：探究一般直角三角形三边关系
17.1.勾股定理(第1课时)
活动2：由特殊的等腰直角三角形得出边的关系
活动4：例题
活动1：引入课题
17.1勾股定理(第2课时)
勾股定理
活动2：例题
活动1：引入课题
活动2：证明直角三角形全等的判定定理
17.1勾股定理(第3课时)
活动3：探究在数轴上表示无理数的方法
活动4：例题
活动1：引入课题
活动2：探究勾股定理逆定理
17.2勾股定理逆定理
活动3：例题
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分课时教学设计
第一课时《17.1.3勾股定理》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 勾股定理在教学中占有非常重要的位置，定理本身也有重要的实际应用价值。在直角三角形中，已知任意两条边的长，就可以求出第三条边的长。在利用勾股定理在数轴上表示无理数时，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长，让学生学习运用勾股定理解决问题。
学习者分析 学生已经能熟练运用勾股定理解答一些问题了，对在数轴上表示无理数会有些茫然。引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数学结合
教学目标 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
教学重点 在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．
教学难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 欣赏下面海螺的图片 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽. 这个图是怎样绘制出来的呢？学生活动1： 学生观察图，回答问题活动意图说明：出示情境在展示知识的同时营造了一个具有浓郁文化气息的文化场，学生潜移默化的接受数学文化熏陶与感染的同时，激发起他们浓烈的好奇心与求知欲.环节二：教师活动2： 我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．请画出图形，写出已知、求证，并用勾股定理证明这一定理. 已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A’B’C’ 中，∠C=∠C’=90°，AB=A’B’ ，AC=A’C’． 求证：△ABC≌△A’B’C’． 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得 ，
又 AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 学生活动2： 通过画图探究得到过直角三角形全等的一个判定方法运用勾股定理更容易证明，学生自主发挥． 活动意图说明：发挥学生自主性，通过对勾股定理的理解，进一步熟悉定理．建立勾股定理与全等的联系，在解决实际问题或在数学应用时，往往活学活用，体会内在联系．环节三：教师活动3： 实数与数轴上的点是一一对应的. 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？ 则：点A表示. 你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？ 探究:你能在数轴上画出表示的点吗？ 步骤： 1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3； 2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2； 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点. 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点. 学生活动3： 独立完成探究学习，小组讨论交流自己的收获活动意图说明：引导学生及时总结，应用勾股定理求解相关数学问题的步骤．
板书设计 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，点A表示的实数是（ ） A. B. C.- D.- 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ） A.2 B. C. D. 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，则AB＝ . 4. 如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2 cm，则AF的长为 cm. 选做题： 5.如图，数轴上点B，C表示的数分别是1，－2，过点B作AB垂直于数轴，AB的长为1个单位长度，以点C为圆心，CA长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数是 . 6.如图，已知∠AOM＝45°，OA＝，点B是射线OM上的一个动点，当
△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 . 【综合拓展类作业】 7.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C.若以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( ). A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，以BP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( ) A.-7和-6之间 B.-6和-5之间 C.-5和-4之间 D.-4和-3之间 选做题： 3.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为( ) A. B. C. D.2- 【综合拓展类作业】 4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
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