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章末综合检测(五)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A． B．
C． D．
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)＝( )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．0.2
4．从1，2，4，6这四个数字中随机地取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
5．甲在聊天群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B．
C． D．
6．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定，骰子朝上的面的点数为奇数时，甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
7．连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a＋b，则下列说法正确的是( )
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m>11”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
8．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题是( )
A．① B．②
C．③ D．④
10．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是( )
A．抛掷一枚骰子8 000次，其中奇数朝上出现了4 002次，抛掷一枚骰子奇数向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
11．某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则( )
A．两件都是次品的概率为0.28 B．至多有一件正品的概率为0.72
C．恰有一件正品的概率为0.26 D．至少有一件正品的概率为0.98
12．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”，他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1，p2，则下列判断错误的是( )
A．p1＝p2＝ B．p1＝p2＝
C．p1＝，p2＝ D．p1＝，p2＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是______________________．
14．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________．
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．
16．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为________，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示．
派出的培训人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人培训的概率；
(2)求至少有3人培训的概率．
18．(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
19．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
20．(本小题满分12分)某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了书法、诗词、理学三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2022年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的书法、诗词、理学三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入书法社的学生增加校本选修学分1分，对进入诗词社的学生增加校本选修学分2分，对进入理学社的学生增加校本选修学分3分．求该新生在社团方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
21．(本小题满分12分)2022年“五一”国际劳动节期间，我市某学校部分学生前往某面包生产作坊，通过社会实践了解到某种面包的成本单价为2元，经过保鲜加工后全部装箱(每箱100个，平均每个面包的加工费为1元)，然后以每箱400元的价格整箱出售．由于面包的保鲜特点制定如下促销策略：若每天下午2点之前所生产的面包没有售完，则对未售出的面包以每箱200元的价格出售(降价后能把剩余面包全部处理完毕，且当天不再生产该种面包)，根据作坊要求每天最多生产6箱．
(1)若某天该作坊加工了6箱该种面包，且被6家不同的门店购买，其中在下午2点之前售出的有4箱．现从这6家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，则恰好一家是以400元购买的门店，另一家是以200元购买的门店的概率是多少？
(2)该作坊统计了100天内该种面包在每天下午2点之前的销售量x(单位：箱)，结果如下表(视频率为概率)：
x(箱) 4 5 6
频数(天) 20 40 40
求每天生产6箱该种面包的平均利润．
22．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球)，乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种．
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照(1)中选择的猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
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章末综合检测(五)
第十章 概 率
√
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
√
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)＝( )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．0.2
解析：因为A，B是互斥事件，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5.
因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A．
√
√
√
6．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定，骰子朝上的面的点数为奇数时，甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
√
√
事件“m＝2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；
a＝b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件．故D正确．
√
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题是( )
A．① B．② C．③ D．④
√
√
√
解析：因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x B，则x A是必然事件，故④正确．所以①③④正确．故选ACD．
10．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是( )
A．抛掷一枚骰子8 000次，其中奇数朝上出现了4 002次，抛掷一枚骰子奇数向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
解析：B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.
√
√
11．某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则( )
A．两件都是次品的概率为0.28
B．至多有一件正品的概率为0.72
C．恰有一件正品的概率为0.26
D．至少有一件正品的概率为0.98
√
√
√
√
√
1 2 3 n1 n2
A B C √
A C B √
B A C √
B C A √
C A B √
C B A
故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是______________________．
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
解析：“年降水量在[200，300](mm)范围内”由“年降水量在[200，250)(mm)范围内”和“年降水量在[250，300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.
答案：0.25
14．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________．
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示．
派出的培训人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人培训的概率；
解：设“派出的培训人数为2人及以下”为事件A，“有3人培训”为事件B，“有4人培训”为事件C，“有5人培训”为事件D，“派出的培训人数为6人及以上”为事件E，事件A，B，C，D，E两两互斥．
有4人或5人培训的概率P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)求至少有3人培训的概率．
解：“至少有3人培训”的对立事件为“派出的培训人数为2人及以下”，所以至少有3人培训的概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
19．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
故续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入书法社的学生增加校本选修学分1分，对进入诗词社的学生增加校本选修学分2分，对进入理学社的学生增加校本选修学分3分．求该新生在社团方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
21．(本小题满分12分)2022年“五一”国际劳动节期间，我市某学校部分学生前往某面包生产作坊，通过社会实践了解到某种面包的成本单价为2元，经过保鲜加工后全部装箱(每箱100个，平均每个面包的加工费为1元)，然后以每箱400元的价格整箱出售．由于面包的保鲜特点制定如下促销策略：若每天下午2点之前所生产的面包没有售完，则对未售出的面包以每箱200元的价格出售(降价后能把剩余面包全部处理完毕，且当天不再生产该种面包)，根据作坊要求每天最多生产6箱．
(1)若某天该作坊加工了6箱该种面包，且被6家不同的门店购买，其中在下午2点之前售出的有4箱．现从这6家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，则恰好一家是以400元购买的门店，另一家是以200元购买的门店的概率是多少？
解：设这6家不同的门店分别是A，B，C，D，E，F，其中2点以前购买的门店是A，B，C，D，2点以后购买的门店是E，F，从这6家不同的门店中任选2家有15种选法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F).
(2)该作坊统计了100天内该种面包在每天下午2点之前的销售量x(单位：箱)，结果如下表(视频率为概率)：
求每天生产6箱该种面包的平均利润．
x(箱) 4 5 6
频数(天) 20 40 40
22．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球)，乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种．
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
解：用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同的结果，它们等可能，
令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含的结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照(1)中选择的猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．中小学教育资源及组卷应用平台
章末综合检测(五)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关．故选D．
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
解析：选A．由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)＝( )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．0.2
解析：选A．因为A，B是互斥事件，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5.
因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A．
4．从1，2，4，6这四个数字中随机地取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．所有两位数有12，14，16，21，24，26，41，42，46，61，62，64，共12个，其中是4的倍数的两位数有12，16，24，64，共4个，所以所求概率为P＝＝.故选A．
5．甲在聊天群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元，y元，z元．
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).
乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).
根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.
6．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定，骰子朝上的面的点数为奇数时，甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
解析：选A．由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以继续游戏最多赛2局，甲获胜的概率是＋×＝，乙获胜的概率是×＝，所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张).故选A．
7．连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a＋b，则下列说法正确的是( )
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m>11”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
解析：选D．事件“m＝2”的概率为，故A错误；事件“m>11”的概率为，故B错误；事件“m＝2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；a＝b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件．故D正确．
8．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝，所以灯泡亮的概率为1－＝.故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选ACD．因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x B，则x A是必然事件，故④正确．所以①③④正确．故选ACD．
10．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是( )
A．抛掷一枚骰子8 000次，其中奇数朝上出现了4 002次，抛掷一枚骰子奇数向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
解析：选AC．B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.
11．某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则( )
A．两件都是次品的概率为0.28 B．至多有一件正品的概率为0.72
C．恰有一件正品的概率为0.26 D．至少有一件正品的概率为0.98
解析：选CD．记事件A为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E为“抽取的两件产品中至少有一件正品”．由题意知A，B是相互独立事件，则P()＝P()P()＝0.1×0.2＝0.02，故A错误；
P(C)＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝0.28，故B错误；P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.9×0.2＋0.1×0.8＝0.26，故C正确；P(E)＝1－P()＝1－0.02＝0.98，故D正确．故选CD．
12．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”，他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1，p2，则下列判断错误的是( )
A．p1＝p2＝ B．p1＝p2＝
C．p1＝，p2＝ D．p1＝，p2＝
解析：选ABD．记“车况好、中、差”分别为A，B，C，方案一包含的样本点数为n1，方案二包含的样本点数为n2，列表如下，由表中所列事件数可知，p1＝＝，p2＝＝，所以选项C正确，不符合题意．
1 2 3 n1 n2
A B C √
A C B √
B A C √
B C A √
C A B √
C B A
故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是______________________．
解析：“年降水量在[200，300](mm)范围内”由“年降水量在[200，250)(mm)范围内”和“年降水量在[250，300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.
答案：0.25
14．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________．
解析：事件A，B为互斥事件，可知P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．
解析：组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有24个，而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423，共8个，所以这个三位数为“凹数”的概率为＝.
答案：
16．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为________，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________．
解析：设“甲射击一次，命中目标”为事件A，“乙射击一次，命中目标”为事件B，则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件，
则P(A)＝，P()＝1－＝，
P(B)＝p，P()＝1－p，
依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
得分之和不少于2的对立事件为得分之和为0，
故所求概率为1－×＝.
答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示．
派出的培训人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人培训的概率；
(2)求至少有3人培训的概率．
解：设“派出的培训人数为2人及以下”为事件A，“有3人培训”为事件B，“有4人培训”为事件C，“有5人培训”为事件D，“派出的培训人数为6人及以上”为事件E，事件A，B，C，D，E两两互斥．
(1)有4人或5人培训的概率P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)“至少有3人培训”的对立事件为“派出的培训人数为2人及以下”，所以至少有3人培训的概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
18．(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
解：(1)由题意可知＝，解得n＝2.
(2)记标号为0和1的小球分别为0，1，标号为2的小球分别为21，22，不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个样本点，事件A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．故P(A)＝＝.
19．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
故续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
20．(本小题满分12分)某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了书法、诗词、理学三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2022年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的书法、诗词、理学三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入书法社的学生增加校本选修学分1分，对进入诗词社的学生增加校本选修学分2分，对进入理学社的学生增加校本选修学分3分．求该新生在社团方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
解：(1)依题意，得
解得
(2)设该新生在社团方面获得校本选修学分的分数为X，“获得校本选修学分分数不低于4分”为事件A，
则P(X＝4)＝××＝；
P(X＝5)＝××＝；
P(X＝6)＝××＝.
故P(A)＝＋＋＝.
21．(本小题满分12分)2022年“五一”国际劳动节期间，我市某学校部分学生前往某面包生产作坊，通过社会实践了解到某种面包的成本单价为2元，经过保鲜加工后全部装箱(每箱100个，平均每个面包的加工费为1元)，然后以每箱400元的价格整箱出售．由于面包的保鲜特点制定如下促销策略：若每天下午2点之前所生产的面包没有售完，则对未售出的面包以每箱200元的价格出售(降价后能把剩余面包全部处理完毕，且当天不再生产该种面包)，根据作坊要求每天最多生产6箱．
(1)若某天该作坊加工了6箱该种面包，且被6家不同的门店购买，其中在下午2点之前售出的有4箱．现从这6家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，则恰好一家是以400元购买的门店，另一家是以200元购买的门店的概率是多少？
(2)该作坊统计了100天内该种面包在每天下午2点之前的销售量x(单位：箱)，结果如下表(视频率为概率)：
x(箱) 4 5 6
频数(天) 20 40 40
求每天生产6箱该种面包的平均利润．
解：(1)设这6家不同的门店分别是A，B，C，D，E，F，其中2点以前购买的门店是A，B，C，D，2点以后购买的门店是E，F，从这6家不同的门店中任选2家有15种选法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F).
其中恰好一家是以400元价格购买的门店，另一家是以200元价格购买的门店的有8种：(A，E)，(A，F)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，
根据古典概型的概率公式得所求的概率为P＝.
(2)每天生产6箱该种面包的平均利润为
×(4×400＋2×200－6×100×3)＋×(5×400＋1×200－6×100×3)＋×(6×400－6×100×3)＝×200＋×400＋×600＝440(元)
所以每天生产6箱该种面包的平均利润为440元．
22．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球)，乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种．
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照(1)中选择的猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
解：(1)用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同的结果，它们等可能，
令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含的结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
令事件B为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含的结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，
于是得P(A)＝＝，P(B)＝＝，显然，＜，为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
(2)由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为P＝，游戏结束时，乙获胜的事件M为乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，于是得
P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝×＋××＋××＝，
所以乙获得游戏胜利的概率是.
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