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7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 复 数
学习指导 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性． 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 1.数学抽象：复数的相关概念及复数的分类．
2.数学运算：能用复数相等求参数的值．
01
必备知识 落实
知识点一 复数的有关概念
(1)定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__________，满足i2＝_____．
(2)表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的_____．
(3)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
虚数单位
－1
实部
虚部
√
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
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知识点二 复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当_______ 且_______．
a＝c
b＝d
已知两个复数相等求参数的一般步骤
(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程(组).
(3)解方程(组)，求出相应的参数．
[注意] 只有两个复数为实数时，才能比较大小．
复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________．
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
5
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
a≠0
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
√
－3
02
课堂巩固 自测
√
1.下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
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解析：选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；
选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；
选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；
选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．
√
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2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
√
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
解析：因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
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课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：已知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，由题意得a＝－1.
√
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3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．
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4．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－ 的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
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±2
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－2i
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[B 能力提升]
8．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，
解得a＞3或a＜－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
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9．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．－1没有平方根
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
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12中小学教育资源及组卷应用平台
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
学习指导 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性． 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 1.数学抽象：复数的相关概念及复数的分类． 2.数学运算：能用复数相等求参数的值．
知识点一 复数的有关概念
(1)定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
(2)表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
(3)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(1)i2＝－1并不是说i＝±，只是说明i就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－i.
(2)复数a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b.
1．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
知识点二 复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c 且b＝d．
(1)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值；
(2)已知a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0(m∈R)成立，求实数a的值．
已知两个复数相等求参数的一般步骤
(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程(组).
(3)解方程(组)，求出相应的参数．
[注意] 只有两个复数为实数时，才能比较大小．
复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________．
知识点三 复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
2．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值为________．
1.下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
4．当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列数？
(1)纯虚数；(2)0.
[A 基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋2y的值为( )
A． B．2
C．0 D．1
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
5．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
6．已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋(4b－8)i均是纯虚数，则z＝________．
7．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
[B 能力提升]
8．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
9．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．－1没有平方根
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
10．定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________．
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝________．若z1＞z2，则a的值为________．
12．当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
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7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
学习指导 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性． 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 1.数学抽象：复数的相关概念及复数的分类． 2.数学运算：能用复数相等求参数的值．
知识点一 复数的有关概念
(1)定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
(2)表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
(3)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(1)i2＝－1并不是说i＝±，只是说明i就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－i.
(2)复数a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b.
1．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
解析：选A.3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3.所以所求的复数z＝3－3i.
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
知识点二 复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c 且b＝d．
(1)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值；
(2)已知a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0(m∈R)成立，求实数a的值．
【解】 (1)因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得或
(2)由两个复数相等的充要条件，
得
解得或
故实数a的值为或－.
已知两个复数相等求参数的一般步骤
(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程(组).
(3)解方程(组)，求出相应的参数．
[注意] 只有两个复数为实数时，才能比较大小．
复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________．
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
答案：5
知识点三 复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？
【解】 (1)当z是实数时，应满足＝0，
即解得m＝4或m＝－2.
(2)当z是虚数时，应满足≠0，
即因此m≠4且m≠－2且m≠0.
(3)当z是纯虚数时，应满足
解得m＝2.
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：选B.根据复数的分类知，需满足
解得
即a＝2.
2．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值为________．
解析：因为z＜0，所以
解得m＝－3.
答案：－3
1.下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
解析：选C.选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
解析：选C.因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
4．当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列数？
(1)纯虚数；(2)0.
解：(1)当时，
复数z是纯虚数，
所以m＝－3.
(2)当时，复数z＝0，
所以m＝－2.
[A 基础达标]
1．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选C.已知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，由题意得a＝－1.
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋2y的值为( )
A． B．2
C．0 D．1
解析：选A.由复数相等的充要条件知，解得所以x＋2y＝－1，所以2x＋2y＝2－1＝.
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．
4．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
解析：选BCD.对于A，若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为－的虚数可以表示为m－i(m∈R)，有无数个，故B正确；显然，C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确．故选BCD.
5．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
解析：由复数相等的充要条件知
解得
答案：2 ±2
6．已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋(4b－8)i均是纯虚数，则z＝________．
解析：由题意知且所以
所以z＝－2i.
答案：－2i
7．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得解得
(2)因为x∈R ，所以由复数相等的充要条件得即所以x＝3.
[B 能力提升]
8．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选B.由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，
解得a＞3或a＜－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
9．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．－1没有平方根
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
解析：选BD.取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误； a∈R，a2＋1＞0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确．故选BD.
10．定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________．
解析：由定义得＝3x＋2y＋yi，
所以(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
即解得
答案：－1 2
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝________．若z1＞z2，则a的值为________．
解析：由z1为纯虚数，得解得a＝.
由z1＞z2，得解得a＝0.
答案： 0
12．当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
解：(1)由得m＝2.
所以当m＝2时，z是实数．
(2)由得
即m≠2且m≠－3.
所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数．
(3)由得
即m＝3或m＝4.
所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数．
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