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7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的加减运算． 2.了解复数加、减运算的几何意义． 1.数学运算：复数代数形式的加、减运算． 2.直观想象：复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识点一 复数加、减法的运算
1．复数的加、减运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可．
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i.
所以解得
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
复数加、减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
1．计算＋(2－i)－＝________．
解析：原式＝＋i＝1＋i.
答案：1＋i
2．已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即
解得所以z＝4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：4＋i
知识点二 复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
已知 OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求表示的复数；
(2)求表示的复数．
【解】 (1)因为＝－，
所以表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
1．(变设问)若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
2．(变设问)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i.
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
已知 ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数．
解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋，于是＝－＝(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
所以对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
所以对应的复数是5.
考点 复数模的最值问题
若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
【解】 复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以C(－，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)，如图所示，||＝＝2.
所以|z|max＝||＝2＋1＝3，|z|min＝||＝2－1＝1.
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
已知复数z满足|z|＝1，求|z－2i|的取值范围．
解：|z|＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点．|z－2i|表示单位圆上的点与(0，2)之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以|z－2i|的取值范围为[1，3].
1.计算(1－i)－(2＋i)＋3i＝( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：选A.原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b＝( )
A．5 B．1
C．0 D．－3
解析：选B.因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
3．设 ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是_______________．
解析：由题意知，对应的复数为3＋2i，对应的复数为2－4i，又＝＋，所以对应的复数为(3＋2i)＋(2－4i)＝5－2i，所以点C对应的复数是5－2i.
答案：5－2i
4．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：
(1)由复数减法的运算法则得
z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)
＝－1－i.
(2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中.
[A 基础达标]
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝( )
A．0 B．＋i
C．－i D．－i
解析：选C.z1＋z2＝－i＝－i.
2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选A.依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.
3．设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则|z|＝( )
A．6 B．6
C．5 D．5
解析：选D.因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－3＋i－(1－2i)＝－4＋3i，所以|z|＝＝5.故选D.
4．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋i
解析：选C.因为＝－＝－(＋)，
所以表示的复数为3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i.
5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选C.因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得，z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i.
故选C.
6．(多选)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是( )
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(2，1)到原点的距离
D．坐标为(－2，－1)的向量的模
解析：选ACD.由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确；B错误；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i与向量(2，1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i与向量(－2，－1)一一对应，故C，D正确．故选ACD.
7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
答案：4－3i
8．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________．
解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.
答案：4＋i
9．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
答案：5 －1 2
10．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
[B 能力提升]
11．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A． B．5
C． D．5
解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
12．(多选)在复平面内有一个 OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是( )
A．点C位于第二象限 B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝|AC| D．|z2＋z3|＝
解析：
选BC.如图，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，＝(0，1)
因为四边形OABC为平行四边形，所以＝(0，1)，则C(0，1)，
所以z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；
z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；
|z1－z3|＝|1＋i－i|＝1＝|AC|，故C正确；
|z2＋z3|＝|(1＋2i)＋i|＝|1＋3i|＝，故D错误．故选BC.
13．若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，
因为复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，
所以解不等式组得3＜m＜4.
答案：(3，4)
14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．
解析：因为z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.
由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，
故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
答案：1＋i(答案不唯一)
15．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4.
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，
则解得a＝1.
[C 拓展冲刺]
16．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的集合是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点的集合，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．所以|z－1|min＝1.
答案：1
17．已知在复平面内的 ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2) ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1).
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝.
因为0所以S ABCD＝||||sin B＝××＝7，
所以 ABCD的面积为7.
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7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的加减运算． 2.了解复数加、减运算的几何意义． 1.数学运算：复数代数形式的加、减运算． 2.直观想象：复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识点一 复数加、减法的运算
1．复数的加、减运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可．
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
复数加、减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
1．计算＋(2－i)－＝________．
2．已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
知识点二 复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
已知 OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求表示的复数；
(2)求表示的复数．
1．(变设问)若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
2．(变设问)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
已知 ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数．
考点 复数模的最值问题
若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
已知复数z满足|z|＝1，求|z－2i|的取值范围．
1.计算(1－i)－(2＋i)＋3i＝( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
2．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b＝( )
A．5 B．1
C．0 D．－3
3．设 ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是_______________．
4．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
[A 基础达标]
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝( )
A．0 B．＋i
C．－i D．－i
2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
3．设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则|z|＝( )
A．6 B．6
C．5 D．5
4．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋i
5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
6．(多选)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是( )
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(2，1)到原点的距离
D．坐标为(－2，－1)的向量的模
7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
8．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________．
9．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．
10．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
[B 能力提升]
11．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A． B．5
C． D．5
12．(多选)在复平面内有一个 OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是( )
A．点C位于第二象限 B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝|AC| D．|z2＋z3|＝
13．若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．
15．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
[C 拓展冲刺]
16．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
17．已知在复平面内的 ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2) ABCD的面积．
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7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的加减运算． 2.了解复数加、减运算的几何意义． 1.数学运算：复数代数形式的加、减运算．
2.直观想象：复数代数形式的加、减运算的几何意义．
01
必备知识 落实
知识点一 复数加、减法的运算
1．复数的加、减运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝______________________，z1－z2＝___________________．
2．复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1＋z2＝__________．
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_______________________．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可．
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
【解】 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i.
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
复数加、减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
1＋i
4＋i
z1＋z2
z1－z2
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
02
关键能力 提升
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
已知复数z满足|z|＝1，求|z－2i|的取值范围．
解：|z|＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点．|z－2i|表示单位圆上的点与(0，2)之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以|z－2i|的取值范围为[1，3].
03
课堂巩固 自测
√
1.计算(1－i)－(2＋i)＋3i＝( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
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2．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b＝( )
A．5 B．1
C．0 D．－3
解析：因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
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5－2i
4．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
解：由复数减法的运算法则得
z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)
＝－1－i.
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中
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04
课后达标 检测
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2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.
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5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得，z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i.故选C.
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6．(多选)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是( )
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(2，1)到原点的距离
D．坐标为(－2，－1)的向量的模
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解析：由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确；B错误；
(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i与向量(2，1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i与向量(－2，－1)一一对应，故C，D正确．故选ACD.
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7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
4－3i
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8．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________．
解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.
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10．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
解：(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解：z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
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12．(多选)在复平面内有一个 OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是( )
A．点C位于第二象限 B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝|AC| D．|z2＋z3|＝
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(3，4)
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1＋i(答案不唯一)
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15．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.
若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4.
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[C 拓展冲刺]
16．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的集合是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点的集合，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．所以|z－1|min＝1.
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