(共57张PPT)
9.1 随机抽样
9.1.2 分层随机抽样
第九章 统 计
学习指导 核心素养
1.通过案例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值. 4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 1.数学抽象:分层随机抽样的概念.
2.数据分析、数学建模:会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题.
01
必备知识 落实
知识点一 分层随机抽样
(1)定义
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行______________,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为________,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为____.
简单随机抽样
总样本
层
(2)比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小________,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
成比例
下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1 000名工人中,抽取100人调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
√
【解析】 A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样.C和D中总体所含个体无差异且个数较多,不适合用分层随机抽样.B中总体所含个体差异明显,适合用分层随机抽样.
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[注意] 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而层内个体间差异较小.
某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样法 B.抽签法
C.随机数法 D.分层随机抽样法
解析:样本由差异较大的两部分组成,每层样本量与层的大小比例相等,即为分层随机抽样法.
√
某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程.
分层随机抽样的步骤
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=()
A.9 B.10
C.12 D.13
√
某校高二有重点班学生400人,普通班学生800人,为调查总体学生数学成绩的平均值,按比例分配进行分层随机抽样,从重点班抽出20人,从普通班抽出40人,通过计算重点班平均成绩为125分,普通班平均成绩为95分,则高二总体数学成绩平均值为( )
A.110 B.125
C.95 D.105
√
为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高为1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为( )
A.1.57 m B.1.56 m
C.1.55 m D.1.54 m
√
02
课堂巩固 自测
1.现要完成下列两项调查:①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法是( )
A.①简单随机抽样,②分层随机抽样
B.①分层随机抽样,②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样
D.①②都用分层随机抽样
√
解析:在①中,由于购买能力与收入有关,应该采用分层随机抽样;在②中,由于个体没有明显差别,而且数目较少,应该采用简单随机抽样.故选B.
2.下列抽样调查中,宜用分层随机抽样的是( )
A.为了研究班级同学父母的受教育状况,从班级的40名同学中抽取10名同学,调查他们的父母受教育状况
B.为了研究全校同学的肺活量,从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学,调查他们的肺活量
C.质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D.园林绿化人员调查一块的草坪土质,在草坪中提取部分泥土进行检验
√
解析:A.班级的40名同学没有明显差异,不宜用分层随机抽样;
B.全校三个年级的1 500名同学有明显的差异,宜用分层随机抽样;
C.同一批的产品,没有明显差异,不宜用分层随机抽样;
D.同一块的草坪土质没有明显差异,不宜用分层随机抽样;故选B.
3.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事,某粮油店经营A,B,C三类品牌的食用油,其中A类品牌的食用油40桶,B类品牌的食用油30桶,C类品牌的食用油20桶,为防止“地沟油”,要从中抽取一个容量为9的样本,若用分层随机抽样抽取,且在各层中按比例分配样本,则在A,B,C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为( )
A.3,3,3 B.4,3,2
C.4,2,3 D.3,2,4
√
03
课后达标 检测
[A 基础达标]
1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况,拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.简单随机抽样
C.分层随机抽样 D.随机数法
解析:根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知,最合理的抽样方法为分层随机抽样.
√
√
3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
√
4.2022年北京冬奥会于2月4日开幕,某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位:min),采用样本量比例分配的分层随机抽样,分别抽取了男生60人、女生40人,其平均收看时长分别为120 min和90 min,据此估计本校全体学生的平均收看时长为( )
A.90 min B.105 min
C.108 min D.120 min
√
5.某小学三年级有甲、乙两个班,其中甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查,则两个班共抽取男生人数是( )
A.10 B.11
C.20 D.21
√
6.(多选)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和 2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是( )
A.应采用分层随机抽样方法抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
√
√
√
7.某校高一、高二、高三共有2 800名学生,为了解暑假学生在家的每天学习情况,计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本,已知从高二学生中抽取的人数为19,则该校高二学生人数为________.
答案:950
8.某校为了解学生的学习情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4,抽取的样本中高一学生有120人,则k的值为________.
答案:6
9.已知甲、乙两地人口之比为2∶3,其中甲地人均年收入为8万元,乙地人均年收入为10万元,则甲、乙两地的人均年收入为________万元.
答案:9.2
10.某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层随机抽样的方法抽取5人,在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数是多少?
[B 能力提升]
11.某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价,采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查,若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a,b,c,且满足a+c=2b,则乙城市抽取的人数为( )
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
√
12.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
√
√
√
解析:因为各年级的年龄段不一样,所以应采用分层随机抽样法,故A正确;
由题意可知D正确.故选ABD.
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时.
解析:由分层随机抽样可知,第一分厂应抽取100×50%=50(件).由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命约为 1 020×50%+980×20%+1 030×30%=1 015(时).
答案:50 1 015
14.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核,统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,试估计该武警大队队员的平均射击水平.
√
√
√
16.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层随机抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于疏忽,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息,可得C产品有________件.
答案:800中小学教育资源及组卷应用平台
9.1.2 分层随机抽样
学习指导 核心素养
1.通过案例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值. 4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 1.数学抽象:分层随机抽样的概念. 2.数据分析、数学建模:会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题.
知识点一 分层随机抽样
(1)定义
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.
(2)比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1 000名工人中,抽取100人调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[注意] 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而层内个体间差异较小.
某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样法 B.抽签法
C.随机数法 D.分层随机抽样法
某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程.
分层随机抽样的步骤
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9 B.10
C.12 D.13
知识点二 样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,样本平均数分别为,,总体的样本平均数为,则= + =+,我们可以用样本平均数估计总体平均数.
某校高二有重点班学生400人,普通班学生800人,为调查总体学生数学成绩的平均值,按比例分配进行分层随机抽样,从重点班抽出20人,从普通班抽出40人,通过计算重点班平均成绩为125分,普通班平均成绩为95分,则高二总体数学成绩平均值为( )
A.110 B.125
C.95 D.105
分层随机抽样的相关计算常用的3个关系
(1)=.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为:=+=+ .
为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高为1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为( )
A.1.57 m B.1.56 m
C.1.55 m D.1.54 m
1.现要完成下列两项调查:①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法是( )
A.①简单随机抽样,②分层随机抽样 B.①分层随机抽样,②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层随机抽样
2.下列抽样调查中,宜用分层随机抽样的是( )
A.为了研究班级同学父母的受教育状况,从班级的40名同学中抽取10名同学,调查他们的父母受教育状况
B.为了研究全校同学的肺活量,从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学,调查他们的肺活量
C.质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D.园林绿化人员调查一块的草坪土质,在草坪中提取部分泥土进行检验
3.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事,某粮油店经营A,B,C三类品牌的食用油,其中A类品牌的食用油40桶,B类品牌的食用油30桶,C类品牌的食用油20桶,为防止“地沟油”,要从中抽取一个容量为9的样本,若用分层随机抽样抽取,且在各层中按比例分配样本,则在A,B,C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为( )
A.3,3,3 B.4,3,2
C.4,2,3 D.3,2,4
[A 基础达标]
1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况,拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.简单随机抽样
C.分层随机抽样 D.随机数法
2.从一个容量为m(m≥3,m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本,当选取简单随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是,则选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是( )
A. B.
C. D.
3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
4.2022年北京冬奥会于2月4日开幕,某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位:min),采用样本量比例分配的分层随机抽样,分别抽取了男生60人、女生40人,其平均收看时长分别为120 min和90 min,据此估计本校全体学生的平均收看时长为( )
A.90 min B.105 min
C.108 min D.120 min
5.某小学三年级有甲、乙两个班,其中甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查,则两个班共抽取男生人数是( )
A.10 B.11
C.20 D.21
6.(多选)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是( )
A.应采用分层随机抽样方法抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
7.某校高一、高二、高三共有2 800名学生,为了解暑假学生在家的每天学习情况,计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本,已知从高二学生中抽取的人数为19,则该校高二学生人数为________.
8.某校为了解学生的学习情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4,抽取的样本中高一学生有120人,则k的值为________.
9.已知甲、乙两地人口之比为2∶3,其中甲地人均年收入为8万元,乙地人均年收入为10万元,则甲、乙两地的人均年收入为________万元.
10.某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层随机抽样的方法抽取5人,在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数是多少?
[B 能力提升]
11.某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价,采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查,若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a,b,c,且满足a+c=2b,则乙城市抽取的人数为( )
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
12.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时.
14.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核,统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,试估计该武警大队队员的平均射击水平.
[C 拓展冲刺]
15.(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法正确的是( )
A.甲应付51钱
B.乙应付32钱
C.丙应付16钱
D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
16.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层随机抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于疏忽,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息,可得C产品有________件.
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9.1.2 分层随机抽样
学习指导 核心素养
1.通过案例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值. 4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 1.数学抽象:分层随机抽样的概念. 2.数据分析、数学建模:会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题.
知识点一 分层随机抽样
(1)定义
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.
(2)比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1 000名工人中,抽取100人调查上班途中所用的时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
【解析】 A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样.C和D中总体所含个体无差异且个数较多,不适合用分层随机抽样.B中总体所含个体差异明显,适合用分层随机抽样.
【答案】 B
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[注意] 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而层内个体间差异较小.
某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样法 B.抽签法
C.随机数法 D.分层随机抽样法
解析:选D.样本由差异较大的两部分组成,每层样本量与层的大小比例相等,即为分层随机抽样法.
某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程.
【解】 抽样过程如下:
第一步,确定抽样比.样本量与总体数量的比为=;
第二步,确定分别从3类人员中抽取的人数.从行政人员中抽取16×=2(人),从教师中抽取112×=14(人),从后勤人员中抽取32×=4(人);
第三步,采用简单随机抽样的方法,抽取行政人员2人,教师14人,后勤人员4人;
第四步,把抽取的人数组合在一起构成所需样本.
分层随机抽样的步骤
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9 B.10
C.12 D.13
解析:选D.由分配比例可得,=,解得n=13.
知识点二 样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,样本平均数分别为,,总体的样本平均数为,则= + =+,我们可以用样本平均数估计总体平均数.
某校高二有重点班学生400人,普通班学生800人,为调查总体学生数学成绩的平均值,按比例分配进行分层随机抽样,从重点班抽出20人,从普通班抽出40人,通过计算重点班平均成绩为125分,普通班平均成绩为95分,则高二总体数学成绩平均值为( )
A.110 B.125
C.95 D.105
【解析】 总体数学成绩平均值为=105.
【答案】 D
分层随机抽样的相关计算常用的3个关系
(1)=.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为:=+=+ .
为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高为1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为( )
A.1.57 m B.1.56 m
C.1.55 m D.1.54 m
解析:选B.因为从北方抽取了300个男孩,平均身高为1.60 m,从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m,所以这500名13岁男孩的平均身高是=1.56(m),据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m.
1.现要完成下列两项调查:①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法是( )
A.①简单随机抽样,②分层随机抽样 B.①分层随机抽样,②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层随机抽样
解析:选B.在①中,由于购买能力与收入有关,应该采用分层随机抽样;在②中,由于个体没有明显差别,而且数目较少,应该采用简单随机抽样.故选B.
2.下列抽样调查中,宜用分层随机抽样的是( )
A.为了研究班级同学父母的受教育状况,从班级的40名同学中抽取10名同学,调查他们的父母受教育状况
B.为了研究全校同学的肺活量,从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学,调查他们的肺活量
C.质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D.园林绿化人员调查一块的草坪土质,在草坪中提取部分泥土进行检验
解析:选B.A.班级的40名同学没有明显差异,不宜用分层随机抽样;B.全校三个年级的1 500名同学有明显的差异,宜用分层随机抽样;C.同一批的产品,没有明显差异,不宜用分层随机抽样;D.同一块的草坪土质没有明显差异,不宜用分层随机抽样;故选B.
3.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事,某粮油店经营A,B,C三类品牌的食用油,其中A类品牌的食用油40桶,B类品牌的食用油30桶,C类品牌的食用油20桶,为防止“地沟油”,要从中抽取一个容量为9的样本,若用分层随机抽样抽取,且在各层中按比例分配样本,则在A,B,C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为( )
A.3,3,3 B.4,3,2
C.4,2,3 D.3,2,4
解析:选B.分配比例为=,
则A类油中抽取的桶数为40×=4,
B类油中抽取的桶数为30×=3,
C类油中抽取的桶数为20×=2.
[A 基础达标]
1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况,拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.简单随机抽样
C.分层随机抽样 D.随机数法
解析:选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知,最合理的抽样方法为分层随机抽样.
2.从一个容量为m(m≥3,m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本,当选取简单随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是,则选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.因为在简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相等,所以选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性仍为.
3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2,则抽取的植物油类的种数为20×=2,抽取的果蔬类的种数为20×=4,二者种数之和为6,故选C.
4.2022年北京冬奥会于2月4日开幕,某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位:min),采用样本量比例分配的分层随机抽样,分别抽取了男生60人、女生40人,其平均收看时长分别为120 min和90 min,据此估计本校全体学生的平均收看时长为( )
A.90 min B.105 min
C.108 min D.120 min
解析:选C.依题意估计本校全体学生的平均收看时长为=108(min),故选C.
5.某小学三年级有甲、乙两个班,其中甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查,则两个班共抽取男生人数是( )
A.10 B.11
C.20 D.21
解析:选B.因为甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,各班按男,女生分层抽取20%的学生进行某项调查,所以甲班需抽取(30+20)×20%=10(人),其中男生抽取10×=6(人),乙班需抽取(25+25)×20%=10(人),其中男生抽取10×=5(人).则两个班共抽取男生人数是6+5=11.故选B.
6.(多选)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是( )
A.应采用分层随机抽样方法抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
解析:选ACD.由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层随机抽样抽取,A正确.
因为总体量较大,故不宜采用抽签法,所以B错误.
设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆,
则有
解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确.
由分层随机抽样的意义可知D也正确.
7.某校高一、高二、高三共有2 800名学生,为了解暑假学生在家的每天学习情况,计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本,已知从高二学生中抽取的人数为19,则该校高二学生人数为________.
解析:设该校高二学生人数为x,则=,解得x=950.
答案:950
8.某校为了解学生的学习情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4,抽取的样本中高一学生有120人,则k的值为________.
解析:由题意可得,=,解得k=6.
答案:6
9.已知甲、乙两地人口之比为2∶3,其中甲地人均年收入为8万元,乙地人均年收入为10万元,则甲、乙两地的人均年收入为________万元.
解析:因为甲、乙两地人口之比为2∶3,所以甲、乙两地的人均年收入为×8+×10=9.2(万元).
答案:9.2
10.某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层随机抽样的方法抽取5人,在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数是多少?
解:(1)由题意得
=,解得n=40.
(2)35岁以下的人数为×5=4,35岁以上(含35岁)的人数为×5=1.
[B 能力提升]
11.某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价,采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查,若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a,b,c,且满足a+c=2b,则乙城市抽取的人数为( )
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
解析:选C.因为在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a,b,c,且满足a+c=2b,所以乙城市抽取的人数占抽取的总人数的,所以乙城市抽取的人数为3 600×=1 200.故选C.
12.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
解析:选ABD.因为各年级的年龄段不一样,所以应采用分层随机抽样法,故A正确;因为比例为=,所以高一年级1 000人中应抽取100人,高二年级1 350人中应抽取135人,故B正确;甲、乙被抽到的可能性都是,故C错误;由题意可知D正确.故选ABD.
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时.
解析:由分层随机抽样可知,第一分厂应抽取100×50%=50(件).由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命约为1 020×50%+980×20%+1 030×30%=1 015(时).
答案:50 1 015
14.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核,统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,试估计该武警大队队员的平均射击水平.
解:该武警大队共有30+30+40=100(人),
按比例分配得第一中队参加考核人数为×30=9;
第二中队参加考核人数为×30=9;
第三中队参加考核人数为×30=12.
所以参加考核的30人的平均射击环数为
×8.8+×8.5+×8.1=8.43,
所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
[C 拓展冲刺]
15.(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法正确的是( )
A.甲应付51钱
B.乙应付32钱
C.丙应付16钱
D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
解析:选ACD.依题意,由分层随机抽样可知,
100÷(560+350+180)=,
则甲应付:×560=51(钱);
乙应付:×350=32(钱);
丙应付:×180=16(钱).
16.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层随机抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于疏忽,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息,可得C产品有________件.
解析:设C产品的数量为x,则A产品的数量为(1 700-x),C产品的样本量为a,则A产品的样本量为(10+a),由比例分配的分层随机抽样的定义知==,解得x=800.故C产品有800件.
答案:800
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