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9．2.3 总体集中趋势的估计
学习指导 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数 (平均数、中位数、众数). 2．理解集中趋势参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析众数、中位数、平均数的含义． 2．数学运算、数据分析：利用样本的数字特征估计总体的数字特征．
知识点 众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这17名运动员成绩的众数、中位数与平均数．
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[提醒] 如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．
1．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A．5 B．6
C．4 D．5.5
2．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考点一 中位数、众数、平均数的应用
高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班的平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少名；
(3)男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
考点二 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到的频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______.
1．一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为( )
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
2．一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则a＝( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
3．某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
[A 基础达标]
1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A．众数是83 B．中位数是83
C．极差是30 D．平均数是83
2．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是( )
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x＋y的值为( )
A．152 B．168
C．190 D．170
5．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为( )
A．3 B．4
C．4.5 D．5
6．(多选)已知一组数据按从小到大排列为0，4，5，x，8，10，12，15，且这组数据的中位数是7，则下列结论正确的是( )
A．x＝6 B．该数据的平均数为7.5
C．该数据的25%分位数是4.5 D．该数据的25%分位数是6
7．10名学生开展“1分钟跳绳比赛”，他们的成绩分别为65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其众数为________．
8．一个样本按从小到大的顺序排列为10，12，13，x，17，19，21，24，其中位数为16，则x＝________．
9．如图所示是某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分．
10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[B 能力提升]
11．2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：
排名 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数
1 挪威 16 8 13 37
2 德国 12 10 5 27
3 中国 9 4 2 15
4 美国 8 10 7 25
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷兰 8 5 4 17
7 奥地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄罗斯奥委会 6 12 14 32
10 法国 5 7 2 14
则对这10个代表团来说，下列结论正确的是( )
A．金牌数的众数是16
B．银牌数的中位数是7
C．铜牌数的平均数是9
D．奖牌数总数的极差是22
12．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c则( )
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．＞b D．＞c
13．(多选)某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，则下列结论正确的是( )
A．这组数据的中位数是18
B．这组数据的众数是20
C．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20
D．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19
14．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
[C 拓展冲刺]
15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为________．(用“＜”连接)
16．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共65张PPT)
9．2 用样本估计总体
9．2.3 总体集中趋势的估计
第九章 统 计
学习指导 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数 (平均数、中位数、众数). 2．理解集中趋势参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析众数、中位数、平均数的含义．
2．数学运算、数据分析：利用样本的数字特征估计总体的数字特征．
01
必备知识 落实
知识点 众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
分别求这17名运动员成绩的众数、中位数与平均数．
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[提醒] 如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．
1．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A．5 B．6
C．4 D．5.5
√
2．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
√
02
关键能力 提升
考点一 中位数、众数、平均数的应用
高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班的平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少名；
【解】 因为男生的中位数是75分，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女生的中位数是80分，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分).
(3)男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
【解】 男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生成绩两极分化现象严重，高分的和低分的相差较大．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
解：平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
考点二 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
【解】 设中位数为x，由于前三个小矩形的面积之和为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个小矩形内，得0.1＝0.030(x－70)，解得x≈73.3.故这次测试数学成绩的中位数为73.3.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到的频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；
解析：在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
答案：13
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______.
解析：0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：64
03
课堂巩固 自测
1．一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为( )
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
√
2．一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则a＝( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
√
3．某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标的和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
√
4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
答案：85
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A．众数是83 B．中位数是83
C．极差是30 D．平均数是83
√
解析：由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；
把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为 83，83，所以中位数是83 ，故B说法正确；
极差是96－66＝30，故C说法正确；
由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D说法错误，故选D．
2．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
√
3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A．
√
4．从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x＋y的值为( )
A．152 B．168
C．190 D．170
√
解析：由数据知，乙班学生成绩的中位数是y＝85.又甲班学生成绩的平均分为85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85，所以x＋y＝170.故选D．
√
6．(多选)已知一组数据按从小到大排列为0，4，5，x，8，10，12，15，且这组数据的中位数是7，则下列结论正确的是( )
A．x＝6 B．该数据的平均数为7.5
C．该数据的25%分位数是4.5 D．该数据的25%分位数是6
√
√
√
7．10名学生开展“1分钟跳绳比赛”，他们的成绩分别为65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其众数为________．
解析：数据65，67，64，60，65，67，67，66，64，62中，出现次数最多的数据是67，即众数为67.
答案：67
8．一个样本按从小到大的顺序排列为10，12，13，x，17，19，21，24，其中位数为16，则x＝________．
答案：15
9．如图所示是某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分．
答案：46
10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[B 能力提升]
11．2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：
排名 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数
1 挪威 16 8 13 37
2 德国 12 10 5 27
3 中国 9 4 2 15
4 美国 8 10 7 25
排名 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷兰 8 5 4 17
7 奥地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄罗斯奥委会 6 12 14 32
10 法国 5 7 2 14
则对这10个代表团来说，下列结论正确的是( )
A．金牌数的众数是16
B．银牌数的中位数是7
C．铜牌数的平均数是9
D．奖牌数总数的极差是22
√
解析：根据众数的概念可知，金牌数的众数是8，故A不正确；
奖牌总数的极差为37－14＝23，故D不正确．故选B．
√
13．(多选)某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，则下列结论正确的是( )
A．这组数据的中位数是18
B．这组数据的众数是20
C．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20
D．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19
√
√
解析：由题意，将这组数据按从小到大的顺序排列：6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根据中位数和众数的定义，可得数据的中位数和众数分别是19和20，则A错误，B正确；
若漏掉了一个数据后，新数据中出现最多的数仍然是20，则C正确；
若漏掉的数据大于或等于19，则新数据的中位数是18.5，故D错误．故选BC．
14．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
解：依题意，可得使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
解：使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以选B款订餐软件．
16．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7
乙
解：由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；
乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
解：由(1)知，甲、乙的平均数相同．
①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．中小学教育资源及组卷应用平台
9．2.3 总体集中趋势的估计
学习指导 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数 (平均数、中位数、众数). 2．理解集中趋势参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析众数、中位数、平均数的含义． 2．数学运算、数据分析：利用样本的数字特征估计总体的数字特征．
知识点 众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这17名运动员成绩的众数、中位数与平均数．
【解】 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m．
题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m．
这组数据的平均数＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).
故这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m．
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[提醒] 如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．
1．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A．5 B．6
C．4 D．5.5
解析：选B．由题意得×(4＋x)＝5，得x＝6，从而这组数据的众数为6.故选B．
2．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选B．从小到大排列为10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数为
a＝
＝14.4，中位数b＝＝14.5，
众数c＝17，所以c＞b＞a.故选B．
考点一 中位数、众数、平均数的应用
高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班的平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少名；
(3)男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
【解】 (1)由平均数公式得＝×(82×27＋80×21)≈81.13(分).
(2)因为男生的中位数是75分，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女生的中位数是80分，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分).
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生成绩两极分化现象严重，高分的和低分的相差较大．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
解：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是＝×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t).
每天用水量的中位数是＝42.5(t).
(2)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
考点二 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
【解】 (1)由题图知众数为＝75.
(2)设中位数为x，由于前三个小矩形的面积之和为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个小矩形内，得0.1＝0.030(x－70)，解得x≈73.3.故这次测试数学成绩的中位数为73.3.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到的频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______.
解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13 (2)64
1．一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为( )
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
解析：选D．因为数据为30，29，28，27，26，24，23，22，所以中位数为＝26.5.故选D．
2．一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则a＝( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
解析：选D．＝＝1，解得a＝－1.故选D．
3．某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
解析：选C．平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标的和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分).
答案：85
[A 基础达标]
1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A．众数是83 B．中位数是83
C．极差是30 D．平均数是83
解析：选D．由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为 83，83，所以中位数是83 ，故B说法正确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D说法错误，故选D．
2．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是( )
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
解析：选C．由表格可知，射中7环的有7人，人数最多，所以这组数据的众数为7；这组数据按照从小到大顺序排序，则第10个数据是7，第11个数据是8，所以中位数为＝7.5.故选C．
3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A．
4．从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲：79 78 80 x 85 92 96
乙：72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x＋y的值为( )
A．152 B．168
C．190 D．170
解析：选D．由数据知，乙班学生成绩的中位数是y＝85.又甲班学生成绩的平均分为85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85，所以x＋y＝170.故选D．
5．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为( )
A．3 B．4
C．4.5 D．5
解析：选B．因为2＜x＜5，所以由小到大排列为1，2，2，x，5，10，则众数是2，中位数是(2＋x)，所以2＝×(2＋x)，解得x＝4，则平均数是×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.
6．(多选)已知一组数据按从小到大排列为0，4，5，x，8，10，12，15，且这组数据的中位数是7，则下列结论正确的是( )
A．x＝6 B．该数据的平均数为7.5
C．该数据的25%分位数是4.5 D．该数据的25%分位数是6
解析：选ABC．因为中位数为7，所以＝7，即x＝6，所以A正确；所以该组数据的平均数为×(0＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15)＝7.5，所以B正确；因为该组数据有8个数，所以8×25%＝2，所以数据的25%分位数是＝4.5，所以C正确，D错误．故选ABC．
7．10名学生开展“1分钟跳绳比赛”，他们的成绩分别为65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其众数为________．
解析：数据65，67，64，60，65，67，67，66，64，62中，出现次数最多的数据是67，即众数为67.
答案：67
8．一个样本按从小到大的顺序排列为10，12，13，x，17，19，21，24，其中位数为16，则x＝________．
解析：由中位数的定义知＝16，所以x＝15.
答案：15
9．如图所示是某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分．
解析：根据题中统计图，可知有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100]之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均分数为＝46.
答案：46
10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为6岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
[B 能力提升]
11．2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：
排名 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数
1 挪威 16 8 13 37
2 德国 12 10 5 27
3 中国 9 4 2 15
4 美国 8 10 7 25
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷兰 8 5 4 17
7 奥地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄罗斯奥委会 6 12 14 32
10 法国 5 7 2 14
则对这10个代表团来说，下列结论正确的是( )
A．金牌数的众数是16
B．银牌数的中位数是7
C．铜牌数的平均数是9
D．奖牌数总数的极差是22
解析：选B．根据众数的概念可知，金牌数的众数是8，故A不正确；将银牌数从左向右按由小到大的顺序排列如下：2，4，5，5，7，7，8，10，10，12，所以银牌数的中位数是＝7，故B正确；铜牌的平均数为
≈6，故C不正确；奖牌总数的极差为37－14＝23，故D不正确．故选B．
12．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c则( )
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．＞b D．＞c
解析：选A．由频率分布直方图可知：
众数a＝＝75；
中位数应落在[70，80)内，
则有0.004×10＋0.018×10＋0.040×(b－70)＝0.5，解得b＝77；
平均数c＝0.004×10×＋0.018×10×＋0.040×10×＋0.032×10×＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8，
所以b＞c＞a.故选A．
13．(多选)某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，则下列结论正确的是( )
A．这组数据的中位数是18
B．这组数据的众数是20
C．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20
D．若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19
解析：选BC．由题意，将这组数据按从小到大的顺序排列：6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根据中位数和众数的定义，可得数据的中位数和众数分别是19和20，则A错误，B正确；若漏掉了一个数据后，新数据中出现最多的数仍然是20，则C正确；若漏掉的数据大于或等于19，则新数据的中位数是18.5，故D错误．故选BC．
14．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
解：(1)依题意，可得使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以选B款订餐软件．
[C 拓展冲刺]
15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为________．(用“＜”连接)
解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；＝
≈5.97.故n＜m＜.
答案：n＜m＜
16．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)
甲 7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
解：(1)由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；
乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．
①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．
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