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10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义． 2．理解随机事件与样本点的关系． 1.数学抽象：随机试验的概念及特点，样本点和样本空间的含义． 2．数学建模：能判断随机事件、必然事件、不可能事件．
知识点一 随机试验及样本空间
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义 表示
样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 ω
样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 Ω
有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
对样本点和样本空间的再理解
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)只讨论样本空间为有限集的情况下，即有限样本空间．
指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，它们的差．
1．(变条件)在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
2．(变条件)在本例(2)中，从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
找样本点的三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)画树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果，可以用树状图表示．
1．某人将一枚硬币连续抛掷6次，观察正面朝上的次数，则样本空间为( )
A．{3} B．{1，2，3，4，5，6}
C．{0，1，2，3，4，5，6} D．{2，3，4}
2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．
知识点二 随机事件
随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 样本空间Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
(1)随机事件是样本空间的子集，基本事件是样本空间的单元素子集．
(2)必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况．
下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1，2，3，4，5，6的六张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子也会发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
1．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
2．(多选)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是( )
A．3件都是红色 B．3件都是白色
C．至少有1件红色 D．有1件白色
考点 随机事件的含义
在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义．
(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}．
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)事件M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)事件N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)事件P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
1．(多选)下列事件是随机事件的有( )
A．如果a>b，那么a－b>0
B．任取一实数a(a>0且a≠1)，则函数y＝logax是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从装有1红、2白共3个球的袋子中，摸出1个黄球
2．先后抛掷两枚质地均匀的1分、2分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件含有3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上”
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________．
4．写出下列试验的样本空间．
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果．
[A 基础达标]
1．下列事件为随机事件的是( )
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
2．从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
3．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
7．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是________．(选填“确定性”或“随机性”)
8．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是________．
9．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上的面的点数之和小于2.
[B 能力提升]
11．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
12．(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是一个样本点的是( )
A．取出的两球标号为3和7 B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3 D．取出的两球标号的和为8
13．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(3)说出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的实际意义．
[C 拓展冲刺]
14．(多选)下列事件是随机事件的是( )
A．函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称
B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C．函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号
15．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
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10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
第十章 概 率
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义． 2．理解随机事件与样本点的关系． 1.数学抽象：随机试验的概念及特点，样本点和样本空间的含义．
2．数学建模：能判断随机事件、必然事件、不可能事件．
01
必备知识 落实
知识点一 随机试验及样本空间
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在__________下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且__________；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果．
相同条件
不止一个
不能确定
2．样本点和样本空间
定义 表示
样本点 随机试验E的每个可能的__________称为样本点 ω
样本 空间 全体________的集合称为试验E的样本空间 Ω
有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间_______________________为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
基本结果
样本点
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
对样本点和样本空间的再理解
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)只讨论样本空间为有限集的情况下，即有限样本空间．
指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
【解】 样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，它们的差．
【解】 由题意可知1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．
1．(变条件)在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
解：样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
2．(变条件)在本例(2)中，从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
解：由题意可知，样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
找样本点的三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)画树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果，可以用树状图表示．
1．某人将一枚硬币连续抛掷6次，观察正面朝上的次数，则样本空间为( )
A．{3} B．{1，2，3，4，5，6}
C．{0，1，2，3，4，5，6} D．{2，3，4}
解析：正面朝上的次数有可能为0，1，2，3，4，5，6次．
√
2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
解：一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间Ω＝{(正，反)，(正，正)，(反，反), (反，正)}．
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．
解：一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间Ω＝{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
知识点二 随机事件
随机 事件 我们将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
子集
一个
必然 事件 样本空间Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中________________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在____________都不会发生，我们称 为不可能事件
总有一个样本点
每次试验中
(1)随机事件是样本空间的子集，基本事件是样本空间的单元素子集．
(2)必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况．
下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1，2，3，4，5，6的六张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子也会发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
【解】 由定义知(1)(6)是必然事件；(3)(5)是不可能事件；(2)(4)是随机事件．
(1)看清条件，因为3种事件都是相对于一定条件而言的．
(2)看该事件是一定发生，不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：掷出的3枚骰子全是6点，该事件可能发生，但发生的可能性较小
√
2．(多选)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是( )
A．3件都是红色
B．3件都是白色
C．至少有1件红色
D．有1件白色
√
√
解析：在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，对于A，抽取的3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；
对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件都是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件；
对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，C为必然事件；
对于D，抽出的3件中，白色的件数有0，1，2三种可能，即有1件白色是随机事件，所以D是随机事件．故选AD．
02
关键能力 提升
考点 随机事件的含义
在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义．
(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
【解】 事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}．
【解】 事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)事件M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
解：事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
解：事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
解：事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”．
03
课堂巩固 自测
1．(多选)下列事件是随机事件的有( )
A．如果a>b，那么a－b>0
B．任取一实数a(a>0且a≠1)，则函数y＝logax是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从装有1红、2白共3个球的袋子中，摸出1个黄球
解析：A是必然事件；
B中当a>1时，y＝logax单调递增，当0
C是随机事件；
D是不可能事件．
√
√
2．先后抛掷两枚质地均匀的1分、2分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件含有3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上”
解析：试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示抛掷1分硬币可能的结果，y表示抛掷2分硬币可能的结果，所以事件“至少一枚硬币正面向上”包括(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)3个样本点．故选A．
√
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________．
答案：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8
4．写出下列试验的样本空间．
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
解：该试验的样本空间Ω＝{3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18}．
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果．
解：该试验所有可能的结果如图所示．
因此，该试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．下列事件为随机事件的是( )
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
解析：A中事件为必然事件；
B，D中事件为不可能事件；
C中事件为随机事件．
√
2．从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C．
√
3．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
解析：把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故选C．
√
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，所以M含有4个样本点．
√
5．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因为集合A中有9个非零数，故选C．
√
6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
√
解析：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4” 即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．故选C．
7．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是________．(选填“确定性”或“随机性”)
解析：由题意可知，从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，该事件是必然事件，所以这个现象是确定性．
答案：确定性
8．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是________．
解析：事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，所以事件A包含的样本点的个数为6.
答案：6
9．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
解析：对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
答案：Ω＝{胜，平，负}
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：从含有6件次品的50件产品中任取4件，其中次品的件数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
答案：Ω＝{0，1，2，3，4}
10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上的面的点数之和小于2.
解：由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(3)中事件一定会发生，是必然事件．由于骰子朝上的面的点数最小是1，两次朝上的面的点数之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
[B 能力提升]
11．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
解析：由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，所以x＝3或x＝4.故选C．
√
12．(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是一个样本点的是( )
A．取出的两球标号为3和7 B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3 D．取出的两球标号的和为8
√
√
√
解析：对于A，取出的两球标号为3和7是一个样本点，故选项A正确；
对于B，取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是一个样本点，故选项B正确；
对于C，取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是一个样本点，故选项C正确；
对于D，取出的两球标号的和为8，包括取出的两球标号为1和7，3和5，是两个样本点，故选项D不正确．故选ABC．
13．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
解：试验的样本空间为：
{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，
(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，
(5，3)，(6，3)}．
(2)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
解：“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3).
(3)说出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的实际意义．
解：事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}表示得到的点是第三象限内的点．
[C 拓展冲刺]
14．(多选)下列事件是随机事件的是( )
A．函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称
B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C．函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号
√
√
√
解析：A为必然事件；
B，C，D为随机事件．
对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
15．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以a>18，a∈N*.
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以1≤a<33，a∈N*.中小学教育资源及组卷应用平台
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义． 2．理解随机事件与样本点的关系． 1.数学抽象：随机试验的概念及特点，样本点和样本空间的含义． 2．数学建模：能判断随机事件、必然事件、不可能事件．
知识点一 随机试验及样本空间
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义 表示
样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 ω
样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 Ω
有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
对样本点和样本空间的再理解
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)只讨论样本空间为有限集的情况下，即有限样本空间．
指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，它们的差．
【解】 (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．
1．(变条件)在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
解：样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
2．(变条件)在本例(2)中，从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
解：由题意可知，样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
找样本点的三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)画树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果，可以用树状图表示．
1．某人将一枚硬币连续抛掷6次，观察正面朝上的次数，则样本空间为( )
A．{3} B．{1，2，3，4，5，6}
C．{0，1，2，3，4，5，6} D．{2，3，4}
解析：选C．正面朝上的次数有可能为0，1，2，3，4，5，6次．
2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．
解：(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间Ω＝{(正，反)，(正，正)，(反，反), (反，正)}．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间Ω＝{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
知识点二 随机事件
随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 样本空间Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
(1)随机事件是样本空间的子集，基本事件是样本空间的单元素子集．
(2)必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况．
下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1，2，3，4，5，6的六张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子也会发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
【解】 由定义知(1)(6)是必然事件；(3)(5)是不可能事件；(2)(4)是随机事件．
(1)看清条件，因为3种事件都是相对于一定条件而言的．
(2)看该事件是一定发生，不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：选D．掷出的3枚骰子全是6点，该事件可能发生，但发生的可能性较小．
2．(多选)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是( )
A．3件都是红色 B．3件都是白色
C．至少有1件红色 D．有1件白色
解析：选AD．在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，对于A，抽取的3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件都是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件；对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，C为必然事件；对于D，抽出的3件中，白色的件数有0，1，2三种可能，即有1件白色是随机事件，所以D是随机事件．故选AD．
考点 随机事件的含义
在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义．
(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}．
【解】 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)事件M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)事件N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)事件P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
解：(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”．
1．(多选)下列事件是随机事件的有( )
A．如果a>b，那么a－b>0
B．任取一实数a(a>0且a≠1)，则函数y＝logax是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从装有1红、2白共3个球的袋子中，摸出1个黄球
解析：选BC．A是必然事件；B中当a>1时，y＝logax单调递增，当02．先后抛掷两枚质地均匀的1分、2分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件含有3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上”
解析：选A．试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示抛掷1分硬币可能的结果，y表示抛掷2分硬币可能的结果，所以事件“至少一枚硬币正面向上”包括(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)3个样本点．故选A．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________．
答案：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8
4．写出下列试验的样本空间．
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果．
解：(1)该试验的样本空间Ω＝{3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示．
因此，该试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
[A 基础达标]
1．下列事件为随机事件的是( )
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
解析：选C．A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件．
2．从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：选C．因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C．
3．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
解析：选C．把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故选C．
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，所以M含有4个样本点．
5．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C．“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因为集合A中有9个非零数，故选C．
6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
解析：选C．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4” 即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．故选C．
7．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是________．(选填“确定性”或“随机性”)
解析：由题意可知，从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，该事件是必然事件，所以这个现象是确定性．
答案：确定性
8．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是________．
解析：事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，所以事件A包含的样本点的个数为6.
答案：6
9．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其中次品的件数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4}
10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上的面的点数之和小于2.
解：由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(3)中事件一定会发生，是必然事件．由于骰子朝上的面的点数最小是1，两次朝上的面的点数之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
[B 能力提升]
11．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
解析：选C．由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，所以x＝3或x＝4.故选C．
12．(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是一个样本点的是( )
A．取出的两球标号为3和7 B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3 D．取出的两球标号的和为8
解析：选ABC．对于A，取出的两球标号为3和7是一个样本点，故选项A正确；
对于B，取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是一个样本点，故选项B正确；
对于C，取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是一个样本点，故选项C正确；
对于D，取出的两球标号的和为8，包括取出的两球标号为1和7，3和5，是两个样本点，故选项D不正确．故选ABC．
13．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(3)说出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的实际意义．
解：(1)试验的样本空间为：
{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，
(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，
(5，3)，(6，3)}．
(2)“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3).
(3)事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}表示得到的点是第三象限内的点．
[C 拓展冲刺]
14．(多选)下列事件是随机事件的是( )
A．函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称
B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C．函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号
解析：选BCD．A为必然事件；B，C，D为随机事件．对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
15．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
解：(1)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以a>18，a∈N*.
(2)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以1≤a<33，a∈N*.
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