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9．2.4 总体离散程度的估计
学习指导 核心素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析方差、标准差的含义． 2.数学运算、数据分析：利用标准差、方差估计总体离散程度．
知识点一 方差和标准差
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为(xi－)2＝x－2，标准差为 .
方差与标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差与标准差越大，数据的离散程度越大；方差与标准差越小，数据的离散程度越小．
2．总体方差和总体标准差
(1)总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2 为总体方差，S＝为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2.
3．样本方差和样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差．
(1)某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，0.4
(2)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是( )
A．5， B．5，2
C．3，2 D．3，
【解析】 (1)由题意＝×(84＋84＋86＋84＋87)＝85.
s2＝×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4)＝＝1.6.
(2)因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，所以＝3，(xi－3)2＝，因此数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数为2－1＝5，方差为(2xi－1－5)2＝(2xi－6)2＝4×(xi－3)2＝4×＝2.故选B．
【答案】 (1)C (2)B
方差和标准差的算法
1．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下(单位：克)：125，124，121，123，127.则该样本的标准差s是( )
A．4 B．2
C．9 D．3
解析：选B．因为＝×(125＋124＋121＋123＋127)＝124(克)，所以s2＝×(12＋02＋32＋12＋32)＝4，所以标准差s＝2.故选B．
2．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为( )
A． B．
C． D．2
解析：选D．由平均数为1可得＝1，解得a＝－1.所以样本的方差s2＝
＝2，故选D．
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分別为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2].
甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
【解】 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]计算s2.
(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下，
样本量 平均数 方差
第1层 45 4 2
第2层 35 8 1
第3层 10 6 3
则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)( )
A．第1，2层所有数据的均值为5.75
B．第1，2层所有数据的方差为1.50
C．第1，2，3层所有数据的均值约为7.68
D．第1，2，3层所有数据的方差约为5.23
解析：选AD．第1，2层所有数据的均值为1，2＝×4＋×8＝5.75，A正确；第1，2层所有数据的方差为s＝×[2＋(4－5.75)2]＋×[1＋(8－5.75)2]≈5.50，B不正确；第1，2，3层所有数据的均值为＝×4＋×8＋×6≈5.78，C不正确；第1，2，3层所有数据的方差约为s2＝×[2＋(4－5.78)2]＋×[1＋(8－5.78)2]＋×[3＋(6－5.78)2]≈5.23，D正确．
考点 样本数字特征的综合应用
甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
【解】 (1)由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
甲＝＝13，
乙＝＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s＞s可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
平均数及方差、标准差的作用
(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度．
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为(单位：cm)：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工的零件的质量更稳定．
解：(1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)；
乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm).
s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝；
s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，因为s＞s，故乙机床加工的零件的质量更稳定．
1．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A．极差 B．平均数
C．方差 D．标准差
解析：选B．对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度的大小，故A不符合题意；对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故B符合题意；对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C不符合题意；对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D不符合题意．故选B．
2．样本数据2，4，6，8，10的标准差为( )
A．40 B．8
C．2 D．2
解析：选D．＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为＝2.故选D．
3．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
解析：选A．因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动比乙的小，甲发挥更稳定．故选A．
4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，求这组数的标准差．
解：由题意知＝4，x＋x＋…＋x＝200，
s＝
＝＝＝2.
[A 基础达标]
1．已知一组数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B．数据3，5，7，4，6的平均数＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，方差s2＝×[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2，所以标准差为，故选B．
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B．平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据按从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数．平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．故选B．
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4
C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
解析：选D．每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
4．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A．和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和9s2＋4
解析：选C．3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的方差为32s2＝9s2.
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
解析：选C．由题意可知两个班的数学成绩的平均数为
＝甲＝乙，
则两个班数学成绩的方差为
s2＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.
6．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
解析：选ABC．甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，所以A正确；s＝191＞110＝s，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，所以C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，所以B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误．
7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________．
解析：因为平均数＝＝7，所以方差s2＝×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2.
答案：3.2
8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．
解析：因为－1，0，4，x，7，14的中位数为5，
所以＝5，所以x＝6.
所以这组数据的平均数是＝5，
这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.
答案：5
9．为了调查公司员工的体重状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________．
解析：由题意知，样本的平均数＝＝58，故样本的方差s2＝×[42＋(70－58)2]＋×[62＋(50－58)2]＝124.
答案：124
10．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙的平均成绩谁较好？
(2)谁的各门功课发展较平衡？
解：(1)甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，
甲＞乙，故甲的平均成绩较好．
(2)s＝×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，
s＝×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，
由s＞s，知乙的各门功课发展较平衡．
[B 能力提升]
11．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70，25 B．70，50
C．70，1.04 D．65，25
解析：选B．甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2＝[x＋x＋…＋x＋502＋1002－48×702]＝75，更正后方差s′2＝[x＋x＋…＋x＋802＋702－48×702]＝[x＋x＋…＋x＋502＋1002－48×702－1 200]＝s2－×1 200＝50.故选B．
12．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访的9名职工的年龄数据分别为36，36，37，37，44，40，43，44，43.若用样本估计总体，则年龄在(－s，＋s)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%)( )
A．56% B．14%
C．25% D．67%
解析：选A．
＝＝40，
s2＝＝，
即s＝.
年龄在(－s，＋s)，即(，)内的职工有5人，
所以年龄在(－s，＋s)内的人数占公司总人数的百分比是×100%≈56%.故选A．
13．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为________．
解析：根据题意，设剔除最高分、最低分之后的13个数据为a1，a2，a3，…，a13.由这13个数据的平均分为92，方差为16，
知(a1＋a2＋a3＋…＋a13)＝92，
[(a1－92)2＋(a2－92)2＋…＋(a13－92)2]＝16，
解得a1＋a2＋a3＋…＋a13＝1 196，
a＋a＋…＋a＝110 240，
对于原始得分96，58，a1，a2，a3，…，a13，
其平均数＝(96＋58＋a1＋a2＋a3＋…＋a13)＝90，
其方差为s2＝[(96－90)2＋(58－90)2＋(a1－90)2＋(a2－90)2＋…＋(a13－90)2]＝88.
答案：88
14．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．
解：根据题意，全班平均成绩为
＝90×＋80×＝85，
第一组的平均数为1＝90，方差为s＝16.
第二组的平均数为2＝80，方差为s＝36.
则该班学生的方差为
s2＝×[s＋(1－)2]＋×[s＋(2－)2]
＝×[16＋(90－85)2]＋×[36＋(80－85)2]＝51.
所以s＝.
综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和.
[C 拓展冲刺]
15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________．
解析：由题意得a＋b＝10×2＝20，＝×(2＋3＋3＋…＋21)＝10，
要使该总体的方差最小，方差化简后满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
故a＝b＝10，ab＝100.
答案：100
16．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标 值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解：(1)补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100，
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104，
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
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9．2.4 总体离散程度的估计
学习指导 核心素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析方差、标准差的含义． 2.数学运算、数据分析：利用标准差、方差估计总体离散程度．
知识点一 方差和标准差
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为(xi－)2＝x－2，标准差为 .
方差与标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差与标准差越大，数据的离散程度越大；方差与标准差越小，数据的离散程度越小．
2．总体方差和总体标准差
(1)总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2 为总体方差，S＝为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2.
3．样本方差和样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差．
(1)某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，0.4
(2)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是( )
A．5， B．5，2
C．3，2 D．3，
方差和标准差的算法
1．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下(单位：克)：125，124，121，123，127.则该样本的标准差s是( )
A．4 B．2
C．9 D．3
2．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为( )
A． B．
C． D．2
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分別为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2].
甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]计算s2.
(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下，
样本量 平均数 方差
第1层 45 4 2
第2层 35 8 1
第3层 10 6 3
则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)( )
A．第1，2层所有数据的均值为5.75
B．第1，2层所有数据的方差为1.50
C．第1，2，3层所有数据的均值约为7.68
D．第1，2，3层所有数据的方差约为5.23
考点 样本数字特征的综合应用
甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
平均数及方差、标准差的作用
(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度．
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为(单位：cm)：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工的零件的质量更稳定．
1．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A．极差 B．平均数
C．方差 D．标准差
2．样本数据2，4，6，8，10的标准差为( )
A．40 B．8
C．2 D．2
3．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，求这组数的标准差．
[A 基础达标]
1．已知一组数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为( )
A．1 B．
C． D．2
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4
C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
4．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A．和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和9s2＋4
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
6．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________．
8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．
9．为了调查公司员工的体重状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________．
10．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙的平均成绩谁较好？
(2)谁的各门功课发展较平衡？
[B 能力提升]
11．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70，25 B．70，50
C．70，1.04 D．65，25
12．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访的9名职工的年龄数据分别为36，36，37，37，44，40，43，44，43.若用样本估计总体，则年龄在(－s，＋s)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%)( )
A．56% B．14%
C．25% D．67%
13．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为________．
14．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．
[C 拓展冲刺]
15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________．
16．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标 值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
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9．2 用样本估计总体
9．2.4 总体离散程度的估计
第九章 统 计
学习指导 核心素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析方差、标准差的含义．
2.数学运算、数据分析：利用标准差、方差估计总体离散程度．
01
必备知识 落实
方差与标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差与标准差越大，数据的离散程度越大；方差与标准差越小，数据的离散程度越小．
(1)某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，0.4
√
√
方差和标准差的算法
1．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下(单位：克)：125，124，121，123，127.则该样本的标准差s是( )
A．4 B．2
C．9 D．3
√
√
甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下，
样本量 平均数 方差
第1层 45 4 2
第2层 35 8 1
第3层 10 6 3
则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)( )
A．第1，2层所有数据的均值为5.75
B．第1，2层所有数据的方差为1.50
C．第1，2，3层所有数据的均值约为7.68
D．第1，2，3层所有数据的方差约为5.23
√
√
02
关键能力 提升
考点 样本数字特征的综合应用
甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
平均数及方差、标准差的作用
(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度．
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为(单位：cm)：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工的零件的质量更稳定．
03
课堂巩固 自测
1．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A．极差
B．平均数
C．方差
D．标准差
√
解析：对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度的大小，故A不符合题意；
对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故B符合题意；
对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C不符合题意；
对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D不符合题意．故选B．
√
3．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
解析：因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动比乙的小，甲发挥更稳定．故选A．
√
4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，求这组数的标准差．
04
课后达标 检测
√
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
√
解析：平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据按从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数．平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．故选B．
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4
C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
√
解析：3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的方差为32s2＝9s2.
√
√
6．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
√
√
√
解析：甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，所以A正确；
甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，所以B正确；
由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误．
7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________．
答案：3.2
8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．
9．为了调查公司员工的体重状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________．
答案：124
10．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙的平均成绩谁较好？
(2)谁的各门功课发展较平衡？
[B 能力提升]
11．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70，25 B．70，50
C．70，1.04 D．65，25
√
√
13．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为________．
答案：88
14．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
[C 拓展冲刺]
15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________．
答案：100
16．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标 值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
解：补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
解：质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100，
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104，
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解：质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
