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10．1.3 古典概型
学习指导 核心素养
1.了解概率的含义． 2．结合具体实例，理解古典概型． 3．能计算古典概型中随机事件的概率． 1.数学抽象：理解古典概型的概念及其特征． 2．数学运算、数学建模：应用古典概型的概率公式解决实际问题．
知识点一 古典概型
1．事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)定义
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
判断下列试验是否为古典概型：
(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．
【解】 (1)这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性．而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型．
(2)属于有放回地抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能的结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(3)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型．
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
(多选)下列问题中是古典概型的是( )
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共5条路线，且这5条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
解析：选BD．对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于C选项，在区间[1，4]中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个，是古典概型．故选BD．
知识点二 古典概型的计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数．
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. 求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率．
【解】 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
求古典概型概率的步骤
(1)判断所给概率模型是否为古典概型；
(2)算出样本点的总数n；
(3)算出事件A包含的样本点个数m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
1．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．因为n＝100，m＝14，
所以P＝＝＝.
2．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B． 从1，2，3，4中任取2个不同的数，样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，而事件“2个数之差的绝对值为2”的样本点只有：(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4个，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝.
考点 复杂古典概型的概率计算
先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．
(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6).故P(A)＝＝.
(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4).故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，从图中可以看出，事件C包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).故P(C)＝＝.
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性．
(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料. 公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料. 若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格. 假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种．
令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好及以上”的事件，则
(1)D中含有：(1，2，3)，共1个样本点，故P(D)＝.
(2)E中共含有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共7个样本点，故P(E)＝.
1．(多选)下列有关古典概型的说法中，正确的是( )
A．试验中样本点的个数是有限的
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本空间中的样本点个数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝
解析：选ACD．B中所说的事件不一定是基本事件，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D正确．故选ACD．
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A． B．
C． D．1
解析：选C． 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝. 故选C．
3．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
解析：两数之和等于5有两种情况(1，4)和(2，3)，总的样本点有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝＝0.2.
答案：0.2
4．掷一颗骰子，观察掷出的点数．
(1)求掷得点数为3的倍数的概率；
(2)求掷得点数不大于4的概率．
解：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，样本点总数为6.
(1)事件A＝“掷得点数为3的倍数”＝{3，6}，含有样本点的个数为2，所以P(A)＝＝.
(2)事件B＝“掷得点数不大于4”＝{1，2，3，4}，含样本点的个数为4，所以P(B)＝＝.
[A 基础达标]
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C．A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C．
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．甲、乙、丙三名同学站成一排可能的结果为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在中间的有乙甲丙，丙甲乙共2个可能的结果，所以甲站在中间的概率P＝＝.
3．用3种不同的颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C． 三种不同的颜色分别用A，B，C表示，样本空间所包含的样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中表示两个小球颜色不同的样本点有6个，则两个小球颜色不同的概率为P＝＝.
4．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.
5．若连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝4－x上的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．连续掷两次骰子出现的结果共有6×6＝36(种)，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P(m，n)在直线y＝4－x上包含的结果有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3种，所以点P(m，n)在直线y＝4－x上的概率是＝.故选D．
6．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共10个样本点，其中3个数构成一组勾股数的样本点为(3，4，5)，共1个，所以所求概率为.
7．一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是________________________．
解析：一枚硬币连掷两次，出现的结果可能是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，恰好出现一次正面的有：(正，反)，(反，正)，共2种，
故所求概率为＝.
答案：
8．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是________．
解析：设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球的样本点有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6种，其中至少摸到一个黑球的样本点有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共5种，故至少摸到一个黑球的概率为P＝.
答案：
9．某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为________．
解析：此人从商场A前往商场H的所有最短路径有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条，所以所求概率为.
答案：
10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10个样本点．
(2)上述10个样本点发生的可能性相等，记“摸到两只白球”为事件A，包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，故P(A)＝. 故摸出2只球都是白球的概率为.
[B 能力提升]
11．把一枚质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一组解的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．点(a，b)的取值集合共有36个元素. 方程组只有一组解等价于≠，即b≠2a，而满足b＝2a的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一组解的概率为＝.
12．(多选)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝7时的概率为 B．≥2时的概率为
C．ab＝6时的概率为 D．a＋b是6的倍数的概率是
解析：选CD． 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形．
A．a＋b＝7时满足的情形有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，故P1＝＝，故A错误；B．≥2时满足的情形有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，故P2＝＝，故B错误；C．ab＝6时满足的情形有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，故P3＝＝，故C正确；D．a＋b是6的倍数的情形有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，故a＋b是6的倍数的概率是P4＝＝，故D正确. 故选CD．
13．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，则P1，P2，P3从小到大的顺序为________．
解析：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，所有可能的样本点有6×6＝36种，且每个样本点都是等可能的．而点数之和为7的样本点为(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，有6个，点数之和为8的样本点为(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，有5个，点数之和为9的样本点为(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，有4个．所以P1＝，P2＝，P3＝，故P3
答案：P314．某区有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D. 现从这6名教师代表中选出3名教师组成某宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．
(1)请列出此宣讲团组成人员的全部样本点；
(2)求教师A1被选中的概率；
(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．
解：(1)从6名教师代表中选出3名教师组成宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).
(2)组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，
所以教师A1被选中的概率为P＝.
(3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，
所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P＝＝.
[C 拓展冲刺]
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，所以由a，b，c∈{1，2，3，4}组成的三位自然数共有24个. 由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以这个三位自然数为“有缘数”的概率为＝.
答案：
16．为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间(单位：分钟)的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．
A组：128 100 151 125 120
B组：100 102 97 101 100
(1)该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；
(2)试比较A，B两组数据方差的大小(不要求计算)，并说明其实际意义．
解：(1)设事件M为“这两个数据对应的两次运行中至少有一次‘正点运行’”，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，该试验的样本空间共有25个样本点．从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，97，100，共有12个样本点；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，97，101，100，共有5个样本点．因此事件M所含的样本点共有12＋5＝17(个)，所以P(M)＝.
(2)B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．
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10．1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
第十章 概 率
学习指导 核心素养
1.了解概率的含义． 2．结合具体实例，理解古典概型． 3．能计算古典概型中随机事件的概率． 1.数学抽象：理解古典概型的概念及其特征．
2．数学运算、数学建模：应用古典概型的概率公式解决实际问题．
01
必备知识 落实
知识点一 古典概型
1．事件的概率
对随机事件发生________大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用________表示．
可能性
P(A)
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性______．
(2)定义
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
有限个
相等
判断下列试验是否为古典概型：
(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
【解】 这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性．而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型．
(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
【解】 属于有放回地抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能的结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．
【解】 从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型．
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
(多选)下列问题中是古典概型的是( )
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共5条路线，且这5条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
√
√
解析：对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；
对于C选项，在区间[1，4]中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；
对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个，是古典概型．故选BD．
应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数．
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. 求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
【解】 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6.
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
【解】 事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．
(3)摸出2个黑球的概率．
√
√
02
关键能力 提升
考点 复杂古典概型的概率计算
先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
解：如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性．
(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料. 公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料. 若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格. 假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
03
课堂巩固 自测
解析：B中所说的事件不一定是基本事件，所以B不正确；
根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D正确．故选ACD．
√
√
√
√
3．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
答案：0.2
4．掷一颗骰子，观察掷出的点数．
(1)求掷得点数为3的倍数的概率；
(2)求掷得点数不大于4的概率．
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[-1，5]上任取一个实数x，使x2-3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
√
解析：A中两个样本点不是等可能的；
B中样本点的个数是无限的；
D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；
C符合古典概型的两个特征，故选C．
√
√
√
√
√
7．一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是_________________．
8．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是________．
9．某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中
心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某
人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场
H，则他经过市中心O的概率为________．
10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
解：分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10个样本点．
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
√
√
√
13．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，则P1，P2，P3从小到大的顺序为________．
答案：P314．某区有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D. 现从这6名教师代表中选出3名教师组成某宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．
(1)请列出此宣讲团组成人员的全部样本点；
解：从6名教师代表中选出3名教师组成宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).
(2)求教师A1被选中的概率；
(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．
[C 拓展冲刺]
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
16．为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间(单位：分钟)的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．
A组：128 100 151 125 120
B组：100 102 97 101 100
(1)该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；
(2)试比较A，B两组数据方差的大小(不要求计算)，并说明其实际意义．
解：B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．中小学教育资源及组卷应用平台
10．1.3 古典概型
学习指导 核心素养
1.了解概率的含义． 2．结合具体实例，理解古典概型． 3．能计算古典概型中随机事件的概率． 1.数学抽象：理解古典概型的概念及其特征． 2．数学运算、数学建模：应用古典概型的概率公式解决实际问题．
知识点一 古典概型
1．事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)定义
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
判断下列试验是否为古典概型：
(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
(多选)下列问题中是古典概型的是( )
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共5条路线，且这5条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
知识点二 古典概型的计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数．
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. 求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率．
求古典概型概率的步骤
(1)判断所给概率模型是否为古典概型；
(2)算出样本点的总数n；
(3)算出事件A包含的样本点个数m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
1．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是( )
A． B．
C． D．
2．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B．
C． D．
考点 复杂古典概型的概率计算
先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性．
(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料. 公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料. 若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格. 假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
1．(多选)下列有关古典概型的说法中，正确的是( )
A．试验中样本点的个数是有限的
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本空间中的样本点个数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A． B．
C． D．1
3．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
4．掷一颗骰子，观察掷出的点数．
(1)求掷得点数为3的倍数的概率；
(2)求掷得点数不大于4的概率．
[A 基础达标]
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B．
C． D．
3．用3种不同的颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为( )
A． B．
C． D．
4．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A． B．
C． D．
5．若连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝4－x上的概率是( )
A． B．
C． D．
6．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A． B．
C． D．
7．一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是________________________．
8．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是________．
9．某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为________．
10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
[B 能力提升]
11．把一枚质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一组解的概率为( )
A． B．
C． D．
12．(多选)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝7时的概率为 B．≥2时的概率为
C．ab＝6时的概率为 D．a＋b是6的倍数的概率是
13．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，则P1，P2，P3从小到大的顺序为________．
14．某区有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D. 现从这6名教师代表中选出3名教师组成某宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．
(1)请列出此宣讲团组成人员的全部样本点；
(2)求教师A1被选中的概率；
(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．
[C 拓展冲刺]
15．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
16．为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间(单位：分钟)的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．
A组：128 100 151 125 120
B组：100 102 97 101 100
(1)该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；
(2)试比较A，B两组数据方差的大小(不要求计算)，并说明其实际意义．
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