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10．1.4 概率的基本性质
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解概率的基本性质． 2．掌握随机事件概率的运算法则． 1.数学抽象：理解并识记概率的性质． 2．数学运算：会利用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题．
知识点 概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
推广：如果事件A1，A2，…，Am 两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
(1)当A与B互斥(即AB＝ )时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
(2)P(A)＋P()＝1.
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率是0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率是( )
A．0.6 B．0.3
C．0.1 D．0.5
解析：选D．“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，所以P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝0.9－0.4＝0.5.
2．投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A．P(A)＞P(B) B．P(A)＝P(B)
C．P(A)＜P(B) D．不确定
解析：选A．因为n(A)＝3，n(B)＝1，所以P(A)＝＝，P(B)＝，故P(A)＞P(B).
考点一 互斥事件、对立事件的概率
某射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1. 计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，
所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
含“至多”“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07. 求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分).
解：设“小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)”分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设“小王的成绩在80分以上(含80分)”为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)设“小王数学考试及格”为事件E，由于事件E与事件C互为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
考点二 概率性质的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
【解】 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，
所以P(E)＝1－P()＝1－＝.
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法较简便．
袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
分别求得到黑球、黄球、绿球的概率．
解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝.
联立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
1．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
解析：选C． 因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的并事件的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.故选C．
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为. 事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C． 由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
3．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
解析：因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.
答案：0.3
4．某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.1，0.2，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
解：记事件A＝“他乘火车去”，B＝“他乘轮船去”，C＝“他乘汽车去”，D＝“他乘飞机去”．
由题意可知，P(A)＝0.3，P(B)＝0.1，P(C)＝0.2，P(D)＝0.4，且事件A，B，C，D两两互斥．
(1)“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D，
则P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)记“他不乘轮船去”的事件为，所以P()＝1－P(B)＝1－0.1＝0.9.
即他不乘轮船去的概率为0.9.
[A 基础达标]
1．若A，B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1
解析：选D．因为A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.30 B．0.40
C．0.60 D．0.90
解析：选B． 记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件A，由题意可得P(A)＝0.20＋0.30＋0.10＝0.60，所以，此射手在一次射击中不够8环的概率P()＝1－P(A)＝0.40.故选B．
3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14 B．0.20
C．0.40 D．0.60
解析：选A．由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14.故选A．
4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选C．因为事件A与B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，又因为P(A)＝3P(B)，所以P(A)＝0.6. 故选C．
5．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.9
解析：选C．因为P(C)＝0.6，事件B与C对立，所以P(B)＝0.4，又P(A)＝0.3，A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7.故选C．
6．(多选)某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为，，则( )
A．甲班级不输的概率为
B．乙班级不输的概率为
C．该年级取得冠军的概率为
D．该年级得不到冠军的概率为
解析：选CD． “得冠军”与“不输”并不等同，还有第2名，3名等，A，B显然错. 该年级得冠军是甲或乙得到冠军，其概率为＋＝，那么该年级得不到冠军的概率为1－＝.
7．甲、乙两名队员代表本校参加乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么该校夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“该校夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件的概率加法公式，得该校夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
解析：(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.
P(AB)＝P( )＝0.
答案：(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
9．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________．
解析：由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，由互斥条件概率的加法公式，得该城市2021年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝.
答案：
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解：记事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”；
事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险”；
事件C表示“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意可知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
[B 能力提升]
11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.6
解析：选A．设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率为P(C)，所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1，所以P(B)＋P(C)＝0.7.故选A．
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则摸出的数是偶数或能被5整除的数的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B． 设事件A＝“摸出的数为偶数”，事件B＝“摸出的数能被5整除”，
则P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝. 故选B．
13．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D．因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，
所以即解得
14．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为4，5. 从这五张卡片中任取两张，如果五张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率．
(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；
(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；
(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”；
(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”．
解：从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10个样本点．
(1)A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)}，共有6个样本点，所以P(A)＝＝.
(2)B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)}，共有6个样本点，所以P(B)＝＝.
(3)C＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)}，共有3个样本点，
所以P(C)＝.
(4)由题意得，事件D与事件B是对立事件，
所以P(D)＝1－P(B)＝.
[C 拓展冲刺]
15．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．
解析：由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝，因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案：
16．袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
(3)经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？
解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，
根据已知，得
解得
所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为9×＝3，黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
(2)由(1)知黑球、黄球个数分别为3，2, 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，黑球与黄球各得一个的概率是＝.
(3)因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本点是3个，两个黄球的样本点是1个，两个绿球的样本点是6个，于是，两个球同色的概率为＝，则两个球颜色不相同的概率是1－＝.
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10．1.4 概率的基本性质
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解概率的基本性质． 2．掌握随机事件概率的运算法则． 1.数学抽象：理解并识记概率的性质． 2．数学运算：会利用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题．
知识点 概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
推广：如果事件A1，A2，…，Am 两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
(1)当A与B互斥(即AB＝ )时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
(2)P(A)＋P()＝1.
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率是0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率是( )
A．0.6 B．0.3
C．0.1 D．0.5
2．投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A．P(A)＞P(B) B．P(A)＝P(B)
C．P(A)＜P(B) D．不确定
考点一 互斥事件、对立事件的概率
某射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1. 计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
含“至多”“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07. 求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分).
考点二 概率性质的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法较简便．
袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
分别求得到黑球、黄球、绿球的概率．
1．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为. 事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A． B．
C． D．
3．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
4．某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.1，0.2，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
[A 基础达标]
1．若A，B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.30 B．0.40
C．0.60 D．0.90
3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14 B．0.20
C．0.40 D．0.60
4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.7
5．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.9
6．(多选)某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为，，则( )
A．甲班级不输的概率为
B．乙班级不输的概率为
C．该年级取得冠军的概率为
D．该年级得不到冠军的概率为
7．甲、乙两名队员代表本校参加乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么该校夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
9．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________．
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[B 能力提升]
11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.6
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则摸出的数是偶数或能被5整除的数的概率是( )
A． B．
C． D．
13．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
14．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为4，5. 从这五张卡片中任取两张，如果五张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率．
(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；
(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；
(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”；
(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”．
[C 拓展冲刺]
15．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．
16．袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
(3)经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？
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10．1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
第十章 概 率
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解概率的基本性质． 2．掌握随机事件概率的运算法则． 1.数学抽象：理解并识记概率的性质．
2．数学运算：会利用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题．
01
必备知识 落实
知识点 概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有___________．
性质2：必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___，即P(Ω)＝___，P( )＝___．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________．
推广：如果事件A1，A2，…，Am 两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
P(A)≥0
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1－P(A)
1－P(B)
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率是0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率是( )
A．0.6 B．0.3
C．0.1 D．0.5
解析：“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，所以P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝0.9－0.4＝0.5.
√
2．投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A．P(A)＞P(B) B．P(A)＝P(B)
C．P(A)＜P(B) D．不确定
√
02
关键能力 提升
考点一 互斥事件、对立事件的概率
某射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1. 计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)至少射中7环的概率．
【解】 因为射中7环以下的概率为0.1，
所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
含“至多”“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07. 求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
解：设“小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)”分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
设“小王的成绩在80分以上(含80分)”为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分).
解：设“小王数学考试及格”为事件E，由于事件E与事件C互为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
考点二 概率性质的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P( )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法较简便．
03
课堂巩固 自测
1．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
解析： 因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的并事件的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.故选C．
√
√
3．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
解析：因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.
答案：0.3
4．某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.1，0.2，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
解：记事件A＝“他乘火车去”，B＝“他乘轮船去”，C＝“他乘汽车去”，D＝“他乘飞机去”．
由题意可知，P(A)＝0.3，P(B)＝0.1，P(C)＝0.2，P(D)＝0.4，且事件A，B，C，D两两互斥．
“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D，
则P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)求他不乘轮船去的概率．
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．若A，B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1
解析：因为A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).
√
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.30 B．0.40
C．0.60 D．0.90
√
3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14 B．0.20
C．0.40 D．0.60
√
4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：因为事件A与B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，又因为P(A)＝3P(B)，所以P(A)＝0.6. 故选C．
√
5．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.9
解析：因为P(C)＝0.6，事件B与C对立，所以P(B)＝0.4，又P(A)＝0.3，A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7.故选C．
√
√
√
8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
解析：因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
答案：0.4 0.2
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
解析：如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.
P(AB)＝P( )＝0.
答案：0.6 0
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
解：记事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”；
事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险”；
事件C表示“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”．
由题意可知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[B 能力提升]
11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.6
√
解析：设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率为P(C)，所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1，所以P(B)＋P(C)＝0.7.故选A．
√
√
14．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为4，5. 从这五张卡片中任取两张，如果五张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率．
(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；
(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；
(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”；
(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”．
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
(3)经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？