(共66张PPT)
10．2 事件的相互独立性
第十章 概 率
学习指导 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率． 1.数学抽象：理解相互独立事件的含义．
2．逻辑推理、数学建模：利用概率的乘法公式判断事件的独立性，并能将古典概型与事件独立性相结合，计算简单问题的概率．
01
必备知识 落实
知识点 相互独立事件
P(A)P(B)
B
两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
【解】 因为二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)定义法：根据定义，看一个事件的发生是否影响另一事件的发生，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件．
(2)公式法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
从除去大小王的一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立，并说明理由．
(1)A与B；
(2)C与A.
解：不独立．理由：事件A与事件C互斥，因此事件A与事件C不相互独立．
02
关键能力 提升
(2)至多1个人译出密码的概率．
(变设问)在本例条件下，求：
(1)2个人都译不出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件；
(2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率．
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
03
课堂巩固 自测
√
√
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
√
事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．选B．
04
课后达标 检测
√
√
√
√
√
√
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在这两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
9．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
10．据某保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6，购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率；
(2)求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
√
√
√
解析：对于A，如果B A，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正确；
对于B，如果A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正确；
√
√
√
14．在一次考试中，某学生的语、数、英三科考试成绩排名全班第一的概率分别为0.9，0.8，0.85，问：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
√
√
√
16．如图所示，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．系统N1，N2正常工作的概率分别为p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(0
10．2 事件的相互独立性
学习指导 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率． 1.数学抽象：理解相互独立事件的含义． 2．逻辑推理、数学建模：利用概率的乘法公式判断事件的独立性，并能将古典概型与事件独立性相结合，计算简单问题的概率．
知识点 相互独立事件
相互独 立事件 相关内容
定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立
两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)定义法：根据定义，看一个事件的发生是否影响另一事件的发生，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件．
(2)公式法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
从除去大小王的一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立，并说明理由．
(1)A与B；
(2)C与A.
考点一 相互独立事件概率的计算
甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)至多1个人译出密码的概率．
(变设问)在本例条件下，求：
(1)2个人都译不出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件；
(2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率．
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
考点二 相互独立事件的综合应用
一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后3道题能得出正确答案的概率分别为p，，，且每题答对与否相互独立．
(1)当p＝时，求考生填空题得满分的概率；
(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值．
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
1．掷一枚质地均匀的硬币，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与不相互独立 D．P(AB)＝
2．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A． B．
C． D．
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P()＝________．
[A 基础达标]
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，设A1＝“第一次摸到白球”，A2＝“第二次摸到白球”，则事件A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派一名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A． B．
C． D．
3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．互斥 B．相互独立
C．互为对立 D．无法判断
4．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球 D．2个球恰好有1个白球
5．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
A． B．
C． D．
6．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )
A． B．
C． D．
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在这两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
9．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
10．据某保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6，购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率；
(2)求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
[B 能力提升]
11．(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则( )
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3
B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18
12．(多选)出租车司机从饭店到火车站途中经过三个交通岗．假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则( )
A．这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为
B．这位司机到达火车站途中只遇到一次红灯的概率为
C．这位司机一路都未遇到红灯的概率为
D．这位司机一路遇到且仅遇到两次红灯的概率为
13．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为________．
14．在一次考试中，某学生的语、数、英三科考试成绩排名全班第一的概率分别为0.9，0.8，0.85，问：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
16．如图所示，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．系统N1，N2正常工作的概率分别为p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
10．2 事件的相互独立性
学习指导 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率． 1.数学抽象：理解相互独立事件的含义． 2．逻辑推理、数学建模：利用概率的乘法公式判断事件的独立性，并能将古典概型与事件独立性相结合，计算简单问题的概率．
知识点 相互独立事件
相互独 立事件 相关内容
定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立
两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
【解】 (1)因为二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件．
(2)样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，
事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}．
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B).
故事件A与B相互独立．
当“出现6点”时事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)定义法：根据定义，看一个事件的发生是否影响另一事件的发生，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件．
(2)公式法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
从除去大小王的一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立，并说明理由．
(1)A与B；
(2)C与A.
解：(1)独立．理由：P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，
即“抽到红桃K或方块K”，
故P(AB)＝＝，
从而有P(A)P(B)＝P(AB)，
因此事件A与B相互独立．
(2)不独立．理由：事件A与事件C互斥，因此事件A与事件C不相互独立．
考点一 相互独立事件概率的计算
甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)至多1个人译出密码的概率．
【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2个人都译出密码”的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－＝.
(变设问)在本例条件下，求：
(1)2个人都译不出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率．
解：(1)2个人都译不出密码的概率为
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝×＝.
(2)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件；
(2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率．
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
解：(1)设“甲队获第一名且丙队获第二名”为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.
考点二 相互独立事件的综合应用
一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后3道题能得出正确答案的概率分别为p，，，且每题答对与否相互独立．
(1)当p＝时，求考生填空题得满分的概率；
(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值．
【解】 设考生填空题得满分，15分，10分分别为事件A，B，C.
(1)P(A)＝××＝.
(2)P(B)＝p××＋p××＋(1－p)××＝＋，
P(C)＝p××＋(1－p)××＋(1－p)××＝－，
因为P(B)＝P(C)，
所以＋＝－，解得p＝.
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
解：(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
1．掷一枚质地均匀的硬币，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与不相互独立 D．P(AB)＝
解析：选C．由题得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A与不相互独立，A，B，D不正确．故选C．
2．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A． B．
C． D．
解析：选D．根据题意可得该学生三项均合格的概率为××＝.故选D．
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
解析：选B．事件甲发生的概率 P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．选B．
4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P()＝________．
解析：因为P(A)＝，P(B)＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P(A)P()＝×＝，
P( )＝P()P()＝×＝.
答案：
[A 基础达标]
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，设A1＝“第一次摸到白球”，A2＝“第二次摸到白球”，则事件A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
解析：选A．由题意知A2＝“第二次摸到的不是白球”，即A2＝“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派一名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．互斥 B．相互独立
C．互为对立 D．无法判断
解析：选B．因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，所以事件A与事件B不对立，又因为P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选B．
4．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球 D．2个球恰好有1个白球
解析：选C．从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，所以两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.
5．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
6．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为P＝××＝.故选B．
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在这两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
解析：设此队员每次罚球的命中率为P，
则1－P2＝，所以P＝.
答案：
9．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
解析：因为P(A)＝，P(B)＝，
所以P()＝，P()＝.
又A，B为相互独立事件，
所以P()＝P()P()＝×＝.
所以A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝1－＝.
答案：
10．据某保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6，购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率；
(2)求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
解：记事件A表示“购买车损险”，事件B表示“购买第三者人身安全险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
[B 能力提升]
11．(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则( )
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3
B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18
解析：选ABD．对于A，如果B A，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正确；对于B，如果A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正确；对于C，如果A与B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正确；对于D，如果A与B相互独立，则P(B)＝P()P(B)＝(1－P(A))P(B)＝(1－0.4)×0.3＝0.18，P()＝P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42.故D正确．故选ABD．
12．(多选)出租车司机从饭店到火车站途中经过三个交通岗．假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则( )
A．这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为
B．这位司机到达火车站途中只遇到一次红灯的概率为
C．这位司机一路都未遇到红灯的概率为
D．这位司机一路遇到且仅遇到两次红灯的概率为
解析：选ACD．对于A，概率P1＝××＝，故A正确．
对于B，概率P2＝××＋××＋××＝，故B错误．
对于C，概率P3＝××＝，故C正确．
对于D，概率P4＝××＋××＋××＝，故D正确．
13．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为________．
解析：记师傅加工两个零件都是精品的概率为P(A)，则P(A)＝×＝，徒弟加工两个零件都是精品的概率为P(B)，则师徒二人各加工两个零件都是精品的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝，求得P(B)＝，故徒弟加工两个零件都是精品的概率为.
答案：
14．在一次考试中，某学生的语、数、英三科考试成绩排名全班第一的概率分别为0.9，0.8，0.85，问：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，则P()＝P()P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB两两互斥，
则P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋
P(A)P(B)P()
＝(1－P(A))P(B)P(C)＋P(A)(1－P(B))P(C)＋P(A)P(B)(1－P(C))
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.
[C 拓展冲刺]
15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
解析：选ACD．由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；
D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，因此D正确．
16．如图所示，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．系统N1，N2正常工作的概率分别为p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(0解：(1)设元件A，B，C正常工作分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，
故p1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24.
p2＝P(A)P(B∪C)＝P(A)(1－P())
＝P(A)[1－(1－P(B))(1－P(C))]
＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.
(2)由题知P(A)＝P(B)＝P(C)＝p，p1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝p3，
p2＝P(A)P(B∪C)＝P(A)(1－P())＝p[1－(1－p)2]，
p1－p2＝p3－p[1－(1－p)2]＝2p3－2p2＝2p2(p－1).
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