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10．3.2 随机模拟
学习指导 核心素养
结合具体实例，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 1.数学抽象：随机数的意义． 2．数学建模：用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．
知识点 随机模拟
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：按照确定的算法产生．
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
3．产生随机数的常用方法
①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法．
要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
产生随机数方法的比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
考点 用随机模拟估计概率
盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率．
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
1．掷两枚质地均匀的骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
2．袋子中有四个小球，分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“二”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次停止的概率为( )
A． B．
C． D．
3．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．
[A 基础达标]
1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
2．设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换成y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
3．用抛硬币的方法产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次硬币，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A． B．
C． D．
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率，先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数．由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812 832 569 683 271 989 730 537 925 907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
5．由天气预报知某地8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率．在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9 533 9 522 0 018 7 472 0 018 3 879 5 869 3 281
7 890 2 692 8 280 8 425 3 990 8 460 7 980 2 436
5 987 3 882 0 753 8 935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
A． B．
C． D．
6．袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止．用随机模拟的方法估计“取球直到第二次停止”的概率，先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
据此估计，“取球直到第二次停止”的概率为( )
A． B．
C． D．
7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，求抽选出2个男生，2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数“4678”，则它代表的含义是________．
8．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法估计“向上点数的和是6的倍数”的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示向上的点数是1，2，3，4，5，6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上点数的和是6的倍数________．(填“是”或“否”)
9．通过模拟试验产生了20组随机数：
6 830 3 013 7 055 7 430 7 740 4 422 7 884
2 604 3 346 0 952 6 807 9 706 5 774 5 725
6 576 5 929 9 768 6 071 9 138 6 754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
10．某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1～9的9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一首古诗，3→奖品钢笔，4→说俗语，5→表演小品，6→智力测试，7→奖品笔记本，8→做数学题，9→讲笑话．要求每人抽得各个项目的机会均等．
(1)试替此晚会设计一个模拟试验，能简便操作；
(2)试分析第1个人中奖的概率．
[B 能力提升]
11．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计“恰好在第3次停止摸球”的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此可以估计恰好在第3次停止摸球的概率为( )
A． B．
C． D．
12．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
总的投掷次数 50 150 300
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内次数n 29 85 186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
13．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)
[C 拓展冲刺]
14．为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的概率P，设计了如下随机模拟试验，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内，再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟的方法产生了如下30组随机数，请根据这批随机数求概率P；
907 966 191 925 271 569 812 458 932
683 431 257 393 027 556 438 873 730
113 669 206 232 433 474 537 679 138
598 602 231
(2)为了进一步进行调查，用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20名学生中，再从线上学习时间在[350，450]的学生中任意选择2名，求这2名学生来自同一组的概率．
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10．3.2 随机模拟
学习指导 核心素养
结合具体实例，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 1.数学抽象：随机数的意义． 2．数学建模：用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．
知识点 随机模拟
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：按照确定的算法产生．
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
3．产生随机数的常用方法
①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法．
要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
【解】 方法一：可以把25个大小、形状、质地相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
方法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
产生随机数方法的比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
解：要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)；
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0001，0002，…，1 200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，…，依次类推．
考点 用随机模拟估计概率
盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率．
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
【解】 用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球．
(1)步骤：
①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
(2)步骤：
①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；
②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
解：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
1．掷两枚质地均匀的骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
解析：选B．由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．故选B．
2．袋子中有四个小球，分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“二”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次停止的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由随机模拟产生的随机数可知，共有20个样本点，直到第二次停止的有13，43，23，13，13，共5个样本点，故所求的概率为P＝＝.
3．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．
解：利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为一组．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.
[A 基础达标]
1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
解析：选B．随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值．
2．设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换成y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
解析：选C．当x＝时，y＝2×＋3＝4.故选C．
3．用抛硬币的方法产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次硬币，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．抛硬币两次，所发生的情况有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
即(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，
共4种情况．其中出现的随机数之和为3的情况有2种，
故所求概率P＝＝.故选A．
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率，先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数．由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812 832 569 683 271 989 730 537 925 907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选A．由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569，989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.
5．由天气预报知某地8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率．在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9 533 9 522 0 018 7 472 0 018 3 879 5 869 3 281
7 890 2 692 8 280 8 425 3 990 8 460 7 980 2 436
5 987 3 882 0 753 8 935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9 533，9 522，0 018，0 018，3 281，8 425，2 436，0 753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为＝.故选B．
6．袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止．用随机模拟的方法估计“取球直到第二次停止”的概率，先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
据此估计，“取球直到第二次停止”的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计“取球直到第二次停止”的概率为＝.故选B．
7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，求抽选出2个男生，2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数“4678”，则它代表的含义是________．
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中，有1个男生，3个女生．
答案：选出的4人中，只有1个男生
8．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法估计“向上点数的和是6的倍数”的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示向上的点数是1，2，3，4，5，6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上点数的和是6的倍数________．(填“是”或“否”)
解析：16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则向上点数的和是1＋6＝7，不满足和是6的倍数．
答案：否
9．通过模拟试验产生了20组随机数：
6 830 3 013 7 055 7 430 7 740 4 422 7 884
2 604 3 346 0 952 6 807 9 706 5 774 5 725
6 576 5 929 9 768 6 071 9 138 6 754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
解析：表示三次击中目标分别是3 013，2 604，5 725，6 576，6 754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.
答案：0.25
10．某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1～9的9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一首古诗，3→奖品钢笔，4→说俗语，5→表演小品，6→智力测试，7→奖品笔记本，8→做数学题，9→讲笑话．要求每人抽得各个项目的机会均等．
(1)试替此晚会设计一个模拟试验，能简便操作；
(2)试分析第1个人中奖的概率．
解：(1)可用9张扑克牌分别代表编号1～9所对应的项目，其中2张分别代表“奖品钢笔”“奖品笔记本”，采用随机翻牌决定的方式．
(2)9张牌中只有2张有奖，因此第1个人中奖的概率为.
[B 能力提升]
11．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计“恰好在第3次停止摸球”的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此可以估计恰好在第3次停止摸球的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．在18组随机数中，代表“恰好在第3次停止摸球”的随机数是432，234，214，442，共4组，则“恰好在第3次停止摸球”的概率为P＝＝.
12．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
总的投掷次数 50 150 300
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内次数n 29 85 186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
解析：根据记录可得≈1∶2，
可见P(落在⊙O内)＝≈，
又P(落在⊙O内)＝，
图形ABC的面积为S总＝阴影面积＋⊙O的面积，
所以≈，S总≈3π(m2).
答案：3π
13．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)
解：①设计模拟试验
利用计算机(或计算器)产生0～9之间的(整数值)随机数，约定用0，1，2，3表示下雨，4，5，6，7，8，9表示不下雨，以体现下雨的概率是40%.模拟三天的下雨情况：连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果．
②进行模拟试验
例如：产生30组随机数，就相当于做了30次试验．
③统计试验结果
在一组数中，如恰有两个数在{0，1，2，3}中，
则表示三天中恰有两天下雨，统计出这样的随机数的组数n，
则在30次试验中，三天中恰有两天下雨的频率为，故可估计所求概率为.
[C 拓展冲刺]
14．为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的概率P，设计了如下随机模拟试验，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内，再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟的方法产生了如下30组随机数，请根据这批随机数求概率P；
907 966 191 925 271 569 812 458 932
683 431 257 393 027 556 438 873 730
113 669 206 232 433 474 537 679 138
598 602 231
(2)为了进一步进行调查，用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20名学生中，再从线上学习时间在[350，450]的学生中任意选择2名，求这2名学生来自同一组的概率．
解：(1)由题图可知，线上学习时间在[200，300)内的频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以可以用数字0，1，2，3表示线上学习时间在[200，300)内，数字4，5，6，7，8，9表示线上学习时间不在[200，300)内．观察题中随机数可得，3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12组．用频率估计概率可得，P＝＝0.4.
(2)抽取的20名学生中，线上学习时间在[350，450]内的学生有20×(0.003＋0.002)×50＝5(名)，其中线上学习时间在[350，400)内的学生有3名，设为A，B，C，线上学习时间在[400，450]内的学生有2名，设为a，b，则从5名学生中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10个样本点，设事件M＝“2名学生来自同一组”，则M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4个样本点，所以P(M)＝＝0.4.
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10．3 频率与概率
10．3.2 随机模拟
第十章 概 率
学习指导 核心素养
结合具体实例，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 1.数学抽象：随机数的意义．
2．数学建模：用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．
01
必备知识 落实
知识点 随机模拟
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：按照确定的算法产生．
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
3．产生随机数的常用方法
①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法．
要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
【解】 方法一：可以把25个大小、形状、质地相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
方法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
产生随机数方法的比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
解：要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)；
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0001，0002，…，1 200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，…，依次类推．
02
关键能力 提升
考点 用随机模拟估计概率
盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率．
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
03
课堂巩固 自测
1．掷两枚质地均匀的骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．故选B．
√
2．袋子中有四个小球，分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“二”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“天”“宫”“二”“号”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
√
3．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值．
√
√
√
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率，先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数．由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812 832 569 683 271 989 730 537 925 907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
√
5．由天气预报知某地8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率．在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9 533 9 522 0 018 7 472 0 018 3 879 5 869 3 281
7 890 2 692 8 280 8 425 3 990 8 460 7 980 2 436
5 987 3 882 0 753 8 935
√
6．袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止．用随机模拟的方法估计“取球直到第二次停止”的概率，先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
√
7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，求抽选出2个男生，2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数“4678”，则它代表的含义是________．
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中，有1个男生，3个女生．
答案：选出的4人中，只有1个男生
8．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法估计“向上点数的和是6的倍数”的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示向上的点数是1，2，3，4，5，6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上点数的和是6的倍数________．(填“是”或“否”)
解析：16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则向上点数的和是1＋6＝7，不满足和是6的倍数．
答案：否
9．通过模拟试验产生了20组随机数：
6 830 3 013 7 055 7 430 7 740 4 422 7 884
2 604 3 346 0 952 6 807 9 706 5 774 5 725
6 576 5 929 9 768 6 071 9 138 6 754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
答案：0.25
10．某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1～9的9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一首古诗，3→奖品钢笔，4→说俗语，5→表演小品，6→智力测试，7→奖品笔记本，8→做数学题，9→讲笑话．要求每人抽得各个项目的机会均等．
(1)试替此晚会设计一个模拟试验，能简便操作；
解：可用9张扑克牌分别代表编号1～9所对应的项目，其中2张分别代表“奖品钢笔”“奖品笔记本”，采用随机翻牌决定的方式．
(2)试分析第1个人中奖的概率．
[B 能力提升]
11．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计“恰好在第3次停止摸球”的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
√
12．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
总的投掷次数 50 150 300
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内次数n 29 85 186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
答案：3π
13．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)
解：①设计模拟试验
利用计算机(或计算器)产生0～9之间的(整数值)随机数，约定用0，1，2，3表示下雨，4，5，6，7，8，9表示不下雨，以体现下雨的概率是40%.模拟三天的下雨情况：连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果．
[C 拓展冲刺]
14．为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的概率P，设计了如下随机模拟试验，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内，再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟的方法产生了如下30组随机数，请根据这批随机数求概率P；
907 966 191 925 271 569 812 458 932
683 431 257 393 027 556 438 873 730
113 669 206 232 433 474 537 679 138
598 602 231
(2)为了进一步进行调查，用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20名学生中，再从线上学习时间在[350，450]的学生中任意选择2名，求这2名学生来自同一组的概率．
