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10．3 频率与概率
10．3.1 频率的稳定性
学习指导 核心素养
结合具体实例，会用频率估计概率． 1.数学抽象、数据分析：通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，识别频率与概率的区别． 2．数学建模：会用频率的稳定性解释生活中的实际问题．
知识点 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
频率与概率的区别
(1)频率是随机的：在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．
(2)概率是确定值：与每次试验无关，是用来度量事件发生可能性大小的量．
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
【解】 (1)根据优等品频率＝，
可得优等品的频率从左到右依次为0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
下列说法一定正确的是( )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三次都投不中的情况
B．一枚骰子抛掷一次得到2的概率是，则抛掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
解析：选D．A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是频率的稳定值，与试验次数无关．
考点一 概率的实际意义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
【解】 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
以下说法：
①昨天没有下雨，则说明昨天气象局预报的“降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误的是________．(填序号)
解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多件次品，故④正确．
答案：①②③
考点二 游戏的公平性
某校高二年级(1)、(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一个代表先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．组织者利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
【解】 该方案是公平的，理由如下，各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，
所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，
(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
(变条件)在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
解：不公平．因为出现奇数的概率为＝，
出现偶数的概率为＝.
因为≠，所以游戏规则不公平．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
(多选)有三个游戏规则如表，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，则下列游戏不公平的是( )
游戏1 游戏2 游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球 袋中装有2个黑球和2个白球 袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球 从袋中取出2个球 从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜
A．游戏1 B．游戏2
C．游戏3 D．都不公平
解析：选AB．对于游戏1，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为，取出不同色的概率也为，公平．故选AB．
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C．必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A错；B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．
2．根据天气预报，明天降水概率为20%，后天降水概率为80%，假如你准备明天或后天去放风筝，你选________为佳．
解析：明天降水的可能性较小，而后天降水的可能性较大，故选明天．
答案：明天
3．若某厂产品的次品率为3%，则估计该厂8 000件产品中次品的件数为________．
解析：已知该厂的次品率为3%，所以该厂8 000件产品中次品的件数约为8 000×3%＝240.
答案：240
4．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．
解：不公平．所有可能情况如下表：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由上表可知P(和大于7)＝，P(和小于或等于7)＝，
即李红和张明得分的概率不相等，所以这个游戏对双方不公平．
对双方公平的游戏规则：点数之和大于7时，李红得1分，点数之和小于7时，张明得1分(答案不唯一).
[A 基础达标]
1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：选D．降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D．
2．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A．约为0.851 3 B．必为0.851 3
C．再孵一次仍为0.851 3 D．不确定
解析：选A．利用频率估计概率，这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，它近似地为孵化的概率．故选A．
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为( )
A．72% B．74%
C．75% D．76%
解析：选B．该同学这两场投篮的命中率为＝74%.故选B．
4．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
解析：选C．使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C正确；如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为100×90%＝90人，不一定必有90人被治愈，故A错误；如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为1－(1－90%)2＝99%，也可能不被治愈，故B错误；故选C．
5．某次考试中一共有16道选择题，每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有4道选择题的结果正确．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定正确 D．无法解释
解析：选B．把做1道选择题看作1次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验，其结果呈规律性，即选择正确的概率是.做16道选择题，即进行了16次试验，每次试验的结果都是随机的，不能保证每题的结果都选择正确，但有4道选择题的结果正确的可能性比较大，同时也有可能都选错，甚至16道题都选择正确，所以这句话是错误的．
6．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
答案：3∶1
7．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为________．
解析：设该学校人数为x，依题意得，近视的人数为0.4x，玩手机超过1小时的人有0.2x，近视人数为0.1x，于是玩手机不超过1小时但又近视的人数为(0.4－0.1)x＝0.3x，玩手机不超过1小时的总人数为(1－0.2)x＝0.8x，所以从玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，他近视的概率约为＝0.375.
答案：0.375
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
则该班成绩在[80，100]内的概率为________；该班成绩在[60，100]内的概率为________．
解析：记该班的测验成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是两两互斥的．该班成绩在[80，100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.该班成绩在[60，100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
答案：0.4 0.93
9．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解：设保护区中天鹅的数量约为n只，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任意捕出一定量的天鹅，设事件A＝{带有记号的天鹅}，
则P(A)＝ ①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝ ②，
由①②两式，得＝，解得n＝1 500，
所以估计该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
[B 能力提升]
10．某市交警部门在调查一辆超速行驶的汽车，监控显示该车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 D．以上都对
解析：选B．由于甲公司桑塔纳的比例为＝，乙公司桑塔纳的比例为＝，
可知该车在乙公司的可能性大些．
11．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的大小关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
解析：选A．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此，我们可以用近似地代替P(A).故选A．
12．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
解析：选ABC．依题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确．故选ABC．
13．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜(数字相等为平局).你认为此游戏是否公平？请说明理由．
解：(1)设红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示，方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)公平．理由如下：甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．
数字相等有2种情况：(4，4′)，(4′，4).
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，所以此游戏公平．
[C 拓展冲刺]
14．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
解析：因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
答案：60
15．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，
B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，
P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3 000元和4 000元，
所以其概率约为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆).
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
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10．3 频率与概率
10．3.1 频率的稳定性
学习指导 核心素养
结合具体实例，会用频率估计概率． 1.数学抽象、数据分析：通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，识别频率与概率的区别． 2．数学建模：会用频率的稳定性解释生活中的实际问题．
知识点 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
频率与概率的区别
(1)频率是随机的：在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．
(2)概率是确定值：与每次试验无关，是用来度量事件发生可能性大小的量．
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
下列说法一定正确的是( )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三次都投不中的情况
B．一枚骰子抛掷一次得到2的概率是，则抛掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
考点一 概率的实际意义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
以下说法：
①昨天没有下雨，则说明昨天气象局预报的“降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误的是________．(填序号)
考点二 游戏的公平性
某校高二年级(1)、(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一个代表先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．组织者利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
(变条件)在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
(多选)有三个游戏规则如表，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，则下列游戏不公平的是( )
游戏1 游戏2 游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球 袋中装有2个黑球和2个白球 袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球 从袋中取出2个球 从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜
A．游戏1 B．游戏2
C．游戏3 D．都不公平
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．根据天气预报，明天降水概率为20%，后天降水概率为80%，假如你准备明天或后天去放风筝，你选________为佳．
3．若某厂产品的次品率为3%，则估计该厂8 000件产品中次品的件数为________．
4．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．
[A 基础达标]
1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
2．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A．约为0.851 3 B．必为0.851 3
C．再孵一次仍为0.851 3 D．不确定
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为( )
A．72% B．74%
C．75% D．76%
4．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
5．某次考试中一共有16道选择题，每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有4道选择题的结果正确．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定正确 D．无法解释
6．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
7．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为________．
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
则该班成绩在[80，100]内的概率为________；该班成绩在[60，100]内的概率为________．
9．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[B 能力提升]
10．某市交警部门在调查一辆超速行驶的汽车，监控显示该车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 D．以上都对
11．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的大小关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
12．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
13．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜(数字相等为平局).你认为此游戏是否公平？请说明理由．
[C 拓展冲刺]
14．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
15．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
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10．3 频率与概率
10．3.1 频率的稳定性
第十章 概 率
学习指导 核心素养
结合具体实例，会用频率估计概率． 1.数学抽象、数据分析：通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，识别频率与概率的区别．
2．数学建模：会用频率的稳定性解释生活中的实际问题．
01
必备知识 落实
知识点 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有________．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
随机性
缩小
稳定
频率与概率的区别
(1)频率是随机的：在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．
(2)概率是确定值：与每次试验无关，是用来度量事件发生可能性大小的量．
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
【解】 由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
√
解析：A错误，概率小不代表一定不发生；
B错误，概率不等同于频率；
C错误，概率是预测，不必然出现；
D正确，随机事件发生的概率是频率的稳定值，与试验次数无关．
02
关键能力 提升
考点一 概率的实际意义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
【解】 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
答案：①②③
考点二 游戏的公平性
某校高二年级(1)、(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一个代表先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．组织者利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
【解】 该方案是公平的，理由如下，各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
(变条件)在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
(多选)有三个游戏规则如表，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，则下列游戏不公平的是( )
游戏1 游戏2 游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球 袋中装有2个黑球和2个白球 袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球 从袋中取出2个球 从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜
A．游戏1 B．游戏2 C．游戏3 D．都不公平
√
√
03
课堂巩固 自测
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A错；
B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．
√
2．根据天气预报，明天降水概率为20%，后天降水概率为80%，假如你准备明天或后天去放风筝，你选________为佳．
解析：明天降水的可能性较小，而后天降水的可能性较大，故选明天．
答案：明天
3．若某厂产品的次品率为3%，则估计该厂8 000件产品中次品的件数为________．
解析：已知该厂的次品率为3%，所以该厂8 000件产品中次品的件数约为8 000×3%＝240.
答案：240
4．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．
解：不公平．所有可能情况如下表：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
04
课后达标 检测
[A 基础达标]
1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D．
√
2．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A．约为0.851 3 B．必为0.851 3
C．再孵一次仍为0.851 3 D．不确定
√
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为( )
A．72% B．74%
C．75% D．76%
√
4．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
√
解析：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C正确；
如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为100×90%＝90人，不一定必有90人被治愈，故A错误；
如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为1－(1－90%)2＝99%，也可能不被治愈，故B错误；故选C．
√
6．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
答案：3∶1
7．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为________．
答案：0.375
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
则该班成绩在[80，100]内的概率为________；该班成绩在[60，100]内的概率为________．
分数段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
解析：记该班的测验成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是两两互斥的．该班成绩在[80，100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.该班成绩在[60，100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
答案：0.4 0.93
9．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[B 能力提升]
10．某市交警部门在调查一辆超速行驶的汽车，监控显示该车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 D．以上都对
√
√
12．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
√
√
√
13．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
解：设红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示，方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜(数字相等为平局).你认为此游戏是否公平？请说明理由．
[C 拓展冲刺]
14．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
答案：60
15．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3 000元和4 000元，
所以其概率约为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
