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章末复习提升
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中．
题组1 随机抽样
1．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为________．
2．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶中的添加剂是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号．若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则最先抽取的5袋牛奶的编号为________．(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
两种抽样方法的比较
素养二 数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段．在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中．
题组2 百分位数的计算
1．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
上述数据的50%分位数为________．
2．某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10 000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少？
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)按从小到大排列原始数据．
(2)计算i＝n×p%.
(3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
题组3 平均数、中位数的计算
1．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )
A．7 B．5
C．6 D．11
2．(多选)(2021·新高考全国卷Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
3．某展览馆22天中每天进馆参观的人数如下：
180 158 170 185 189 180 184 185
140 179 192 185 190 165 182 170
190 183 175 180 185 148
则参观人数的中位数是________，平均数是________．
根据样本数据对总体的数字特征进行估计
(1)众数就是样本数据中出现最多的那个值．
(2)中位数就是把样本数据按照大小顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或中间两个数据(当数据个数是偶数时)的平均数．
(3)平均数就是所有样本数据的平均值．
素养三 数学分析
数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集中趋势的估计中．
题组4 频率分布直方图
1．(2021·高考全国卷甲)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至8.5万元之间
2．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
频率分布直方图的绘制方法与步骤
(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系，横轴表示总体，纵轴表示.
(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形．这样得到的直方图就是频率分布直方图．
题组5 统计在实际问题中的决策作用
1．某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如下表格：
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
根据表中的数据，该中学应选________参加比赛．
2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m·s－1)的数据如下：
甲 2.7，3.8，3.0，3.7，3.5，3.1；
乙 3.3，2.9，3.8，3.4，2.8，3.6.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．
(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况．
(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断．
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章末复习提升
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中．
题组1 随机抽样
1．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为________．
解析：因为分层随机抽样的抽样比应相等，所以＝，样本量＝＝32.
答案：32
2．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶中的添加剂是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号．若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则最先抽取的5袋牛奶的编号为________．(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的数是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877，它大于799，故舍去，第五个数是047.
答案：331，572，455，068，047
两种抽样方法的比较
素养二 数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段．在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中．
题组2 百分位数的计算
1．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
上述数据的50%分位数为________．
解析：把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，因为10×50%＝5.
所以50%分位数为＝＝44.5.
答案：44.5
2．某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10 000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少？
解：考生中成绩在130分以下的频率为
(0.016＋0.004＋0.012＋0.016＋0.024)×10＝0.72，
考生中成绩在140分以下的频率为
0．72＋0.020×10＝0.92，
所以成绩的第80百分位数一定在[130，140)内．
由130＋×10＝134，
所以估计考生成绩的第80百分位数为134分．
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)按从小到大排列原始数据．
(2)计算i＝n×p%.
(3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
题组3 平均数、中位数的计算
1．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )
A．7 B．5
C．6 D．11
解析：选B．这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3，5，5，7，11，则中位数为5.
2．(多选)(2021·新高考全国卷Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
解析：选CD．设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确，故选CD．
3．某展览馆22天中每天进馆参观的人数如下：
180 158 170 185 189 180 184 185
140 179 192 185 190 165 182 170
190 183 175 180 185 148
则参观人数的中位数是________，平均数是________．
解析：将数据从小到大排列，依次是140，148，158，165，170，170，175，179，180，180，180，182，183，184，185，185，185，185，189，190，190，192，其中中间两个数是180，182，所以中位数为＝181，平均数为≈177.
答案：181 177
根据样本数据对总体的数字特征进行估计
(1)众数就是样本数据中出现最多的那个值．
(2)中位数就是把样本数据按照大小顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或中间两个数据(当数据个数是偶数时)的平均数．
(3)平均数就是所有样本数据的平均值．
素养三 数学分析
数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集中趋势的估计中．
题组4 频率分布直方图
1．(2021·高考全国卷甲)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至8.5万元之间
解析：选C．对于A，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，正确；对于B，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，正确；对于C，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，错误；对于D，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，正确．
2．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3 (2)6 000
频率分布直方图的绘制方法与步骤
(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系，横轴表示总体，纵轴表示.
(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形．这样得到的直方图就是频率分布直方图．
题组5 统计在实际问题中的决策作用
1．某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如下表格：
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
根据表中的数据，该中学应选________参加比赛．
解析：因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越好，所以选乙参加比赛．
答案：乙
2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m·s－1)的数据如下：
甲 2.7，3.8，3.0，3.7，3.5，3.1；
乙 3.3，2.9，3.8，3.4，2.8，3.6.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
解：甲＝×(2.7＋3.8＋3.0＋3.7＋3.5＋3.1)＝＝3.3，
s＝×[(2.7－3.3)2＋(3.8－3.3)2＋…＋(3.1－3.3)2]＝×0.94≈0.16；
乙＝×(3.3＋2.9＋3.8＋3.4＋2.8＋3.6)＝＝3.3，
s＝×[(3.3－3.3)2＋(2.9－3.3)2＋…＋(3.6－3.3)2]＝×0.76≈0.13.
所以甲＝乙，s＞s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．
(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况．
(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断．
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第九章 统 计
章末复习提升
01
知识网络 贯通
02
素养培优 突破
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中．
题组1 随机抽样
1．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为________．
答案：32
2．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶中的添加剂是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号．若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则最先抽取的5袋牛奶的编号为________．(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的数是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877，它大于799，故舍去，第五个数是047.
答案：331，572，455，068，047
两种抽样方法的比较
素养二 数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段．在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中．
题组2 百分位数的计算
1．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
上述数据的50%分位数为________．
答案：44.5
2．某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10 000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少？
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)按从小到大排列原始数据．
(2)计算i＝n×p%.
(3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
题组3 平均数、中位数的计算
1．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )
A．7 B．5
C．6 D．11
解析：这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3，5，5，7，11，则中位数为5.
√
2．(多选)(2021·新高考全国卷Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
√
√
解析：设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为 ，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为 ＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确，故选CD．
3．某展览馆22天中每天进馆参观的人数如下：
180 158 170 185 189 180 184 185
140 179 192 185 190 165 182 170
190 183 175 180 185 148
则参观人数的中位数是________，平均数是________．
答案：181 177
根据样本数据对总体的数字特征进行估计
(1)众数就是样本数据中出现最多的那个值．
(2)中位数就是把样本数据按照大小顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或中间两个数据(当数据个数是偶数时)的平均数．
(3)平均数就是所有样本数据的平均值．
素养三 数学分析
数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集中趋势的估计中．
题组4 频率分布直方图
1．(2021·高考全国卷甲)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至8.5万元之间
√
解析：对于A，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，正确；
对于B，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，正确；
对于C，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，错误；
对于D，根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，正确．
2．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
解析：由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
答案：3
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
解析：消费金额在区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：6 000
题组5 统计在实际问题中的决策作用
1．某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如下表格：
根据表中的数据，该中学应选________参加比赛．
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
解析：因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越好，所以选乙参加比赛．
答案：乙
2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m·s－1)的数据如下：
甲 2.7，3.8，3.0，3.7，3.5，3.1；
乙 3.3，2.9，3.8，3.4，2.8，3.6.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．
(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况．
(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断．
