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类型一 “放回”与“不放回”抽取问题
箱中有6张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6.
(1)抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；
(2)抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少有一个为偶数的概率．
【解】 (1)根据题意，设“两次之和为偶数”为事件A，抽取一张后不放回，再抽取一张，其结果如表，共30种．
(1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
(2，1) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
(3，1) (3，2) (3，4) (3，5) (3，6)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，5) (4，6)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，6)
(6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5)
两次之和为偶数即两次取的都是偶数或都是奇数，两次都是偶数有(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，共6种，两次都是奇数有(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，共6种，故P(A)＝＝.
(2)根据题意，设“两个号码中至少有一个为偶数”为事件B，则为“两个号码都是奇数”．抽取一张后放回，再抽取一张，共有如表所示的36种结果．
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
(6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
其中两个号码都为奇数的情况有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9种，所以两个号码中至少有一个为偶数的情况有36－9＝27(种)，故P(B)＝＝.
解决抽取问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响. 另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取．
类型二 涉及函数与方程的概率问题
已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取1个数，作为a和b，得到数对(a，b).
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数f(x)有零点的概率；
(2)求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．
【解】 (1)(a，b)所有可能的结果为(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种．
若函数f(x)有零点，则b2－4a≥0，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，
所以函数f(x)有零点的概率为＝.
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝，a>0，
又f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则≤1，有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13种，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率为.
对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数．解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算．
类型三 概率与统计的综合
某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
(1)若所得分数大于等于80认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少？
(2)在(1)中的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
【解】 (1)由题图可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，
女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含的男生人数为30×＝2，
女生人数为45×＝3.
设两名男生分别为A1，A2，三名女生分别为B1，B2，B3，则从5人中任意选取2人的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
记事件C为“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
所以P(C)＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
概率问题常常与统计问题结合在一起考查. 在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算. 解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
1．(2022·高考全国卷甲)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.故选C．
2．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C． 所有样本点的个数为36，且每个样本点出现的可能性相等. 由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.
3．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A． B．
C． D．1
解析：选C． 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如下表所示).
b a 1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
因为A∩B＝B，所以B可能为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．
当B＝ 时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.
综上，符合条件的结果有8种．
故所求概率为.
4．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分. 用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
解：(1)因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90，
这6位同学成绩的方差s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩的样本点有(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种．
恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，
故所求的概率为＝0.4.
即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
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类型一 “放回”与“不放回”抽取问题
箱中有6张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6.
(1)抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；
(2)抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少有一个为偶数的概率．
解决抽取问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响. 另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取．
类型二 涉及函数与方程的概率问题
已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取1个数，作为a和b，得到数对(a，b).
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数f(x)有零点的概率；
(2)求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．
对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数．解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算．
类型三 概率与统计的综合
某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
(1)若所得分数大于等于80认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少？
(2)在(1)中的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
概率问题常常与统计问题结合在一起考查. 在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算. 解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
1．(2022·高考全国卷甲)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
2．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A． B．
C． D．
3．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A． B．
C． D．1
4．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分. 用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
故所求的概率为＝0.4.
即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
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第十章 概 率
培优点4 古典概型的综合应用
类型一 “放回”与“不放回”抽取问题
箱中有6张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6.
(1)抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；
【解】 根据题意，设“两次之和为偶数”为事件A，抽取一张后不放回，再抽取一张，其结果如表，共30种．
(1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
(2，1) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
(3，1) (3，2) (3，4) (3，5) (3，6)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，5) (4，6)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，6)
(6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5)
(2)抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少有一个为偶数的概率．
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
(6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
解决抽取问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响. 另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取．
类型二 涉及函数与方程的概率问题
已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取1个数，作为a和b，得到数对(a，b).
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数f(x)有零点的概率；
(2)求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．
对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数．解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算．
类型三 概率与统计的综合
某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
(1)若所得分数大于等于80认定为优秀，
求男、女生优秀人数各有多少？
【解】 由题图可得，男生优秀人数为
100×(0.01＋0.02)×10＝30，
女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)在(1)中的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
概率问题常常与统计问题结合在一起考查. 在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算. 解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
√
√
√
解析：因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如下表所示).
b a 1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
因为A∩B＝B，所以B可能为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．
当B＝ 时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.
4．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分. 用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
解：从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩的样本点有(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种．
